1、技法篇 选择题、填空题常用解法 技法概述选择题、填空题是高考必考的题型，共占有80分，因此，探讨选择题、填空题的特点及解法是非常重要和必要的选择题的特点是灵活多变、覆盖面广，突出的特点是答案就在给出的选择项中而填空题是一种只要求写出结果，不要求写出解答过程的客观性试题，不设中间分，所以要求所填的是最简最完整的结果解答选择题、填空题时，对正确性的要求比解答题更高、更严格它们自身的特点决定选择题及填空题会有一些独到的解法方法一 直接法直接解法是直接从题设出发，抓住命题的特征，利用定义、性质、定理、公式等，经过变形、推理、计算、判断得出结果直接法是求解填空题的常用方法在用直接法求解选择题时，可利用选
2、项的暗示性作出判断，同时应注意：在计算和论证时尽量简化步骤，合理跳步，还要尽可能地利用一些常用的性质、典型的结论，以提高解题速度1 (1)2015xx卷 若tan ，tan() ，则tan ( )13 12A. B. C. D.17 16 57 56(2)2015xx卷 已知向量a(2，1)，b(1 ，2) ，若m anb(9，8)( m，nR )，则mn的值为_分析 (1)虽然已知， 的正切值，但还是不能确定， 的大小，由于tan()， 在这个公式中 ，唯一不知道的就是tan tan tan 1 tan tan 的值，所以直接使用此公式就可求解(2)可以利用向量的坐标运算，通过坐标相等，直接
3、得出参量 m，n的值答案 (1)A (2)3解析 (1)tan( ) ，解得tan .tan tan 1 tan tan 13 tan 1 13tan 12 17(2)因为manb (2mn，m2n)(9 ，8)，所以 解得 故m2m n 9，m 2n 8， ) m 2，n 5， )n3.式题 1若ABC的内角A，B ，C所对的边a，b，c满足(ab) 2c 24，且C60，则ab的值为( )A. B84 C1 D.43 3 232若f(x) a是奇函数，则a_12x 1方法二 特例求解法在解决选择题和填空题时，可以取一个(或一些) 特殊数值 (或特殊位置、特殊函数、特殊点、特殊方程、特殊数列
4、、特殊图形等)来确定其结果， 这种方法称为特值法特值法由于只需对特殊数值、特殊情形进行检验，省去了推理论证、烦琐演算的过程，提高了解题的速度特值法是考试中解答选择题和填空题时经常用到的一种方法，应用得当可以起到“四两拨千斤”的功效2 (1)2015xx卷 设f(x)ln x，0pCprq(2)2015xx卷 “对任意x(0， )，ksin xcos xf( ) ，r (f(1)fe e12 1 e2 e 12 12(e) ， 在这种特例情况下满 足prb1 ，则log ab，log ba，log abb的大小关系是_方法三 数形结合法数形结合法是一个将数学问题从“数”与“形”两个方面相互联系的
5、一种思想方法在解答选择题的过程中，可以先根据题意，作出草图，然后参照图形的形状、位置、性质，综合图像的特征，得出结论对于一些含有几何背景的填空题，若能根据题目条件的特点，作出符合题意的图形，做到数中思形，以形助数，并通过对图形的直观分析、判断得出正确的结果3 (1)2015xx卷 已知x，y满足约束条件 则z 2xy的最大值是 ( )x y 0，x y 4 0，y 1， )A1 B 2C5 D1(2)2015xx卷 函数 f(x)4cos 2 cos( x)2sin x 2x| ln(x1)| 的零点个数为 _分析 (1)要确定目标函数的最大值，需知道相应的x，y的值，从约束条件中不可能解出对
6、应的 x，y的值，所以只有通过图解法作出约束条件的可行域，据可行域数形结合得出目标函数的最大值(2)函数的零点即对应方程的根，但求对应方程的根也比较困难 ，所以进一步转化为求两函数的图像的交点，所以作出两函数的图像确定交点个数即可答案 (1)A (2)2解析 (1)二元一次不等式组表示的平面区域为如图1所示的ABC 内部及其边界，当直线y2xz过A点时z最大，又A(1，1) ， 因此z的最大值为1.图1图2(2)f(x)4cos 2 sin x2sin x| ln(x1)|2sin x |ln(x1)|sin x (2cos2x2 1)2x| ln(x1)|. 令 f(x)0，得sin 2x|
7、 ln(x1)|.在同一坐标系中作出函数ysin 2x与函数y|ln (x1)|的大致图像 ，如图2所示观察图像可知，两个函数的图像有2个交点，故函数f(x)有2个零点式题 5已知定义在R上的函数f(x) 满足：对任意实数x ，都有f(1x)f(1x) ，且f(x)在( ，1上单调递增若x 1f(x2) D不能确定6定义在区间(0， )上的函数y6cos x的图像与y 5tan 2x的图像的交点为 P，过点P作 PP1x轴于点P 1，直线PP 1与 ysin x的图像交于点 P2，则线段P 1P2的长为_方法四 验证法所谓验证法，就是从选项出发，将答案逐一代入题中去验证，看看是否满足题设的条件
8、，而从中选出正确答案的方法4 (1)点(4 ，0)关于直线5x4y210的对称点是( )A(6，8) B(8，6)C(6，8) D(6，8)(2)过抛物线y 24x的焦点的直线与抛物线交于M，N 两点，则MN中点的轨迹方程是( )Ay 22x1 By 22x2Cy 22x1 Dy 22x2分析 (1)据垂直、平分的条件可得出点(4 ，0)关于直线5x4y210的对称点坐标，但运算量较大，不可取注意到对称点已出现在选项中，所以只需代入验证即可(2)显然焦点(1 ， 0)一定是弦MN在某种状态下的中点，即在所求轨迹上，可代入选项中进行验证，并结合其他一些条件进行判断答案 (1)D (2)B解析 (
9、1)两点关于直 线对称，则它们的中点一定在已知直线上， 即中点满足直线方程选项A，中点为( 1，4) ， 代入直线方程5x4y210，得5(1) 4421320，不满足方程；选项B ， 中点为(2，3) ， 代入直线方程5x4y210 ，得5(2)4( 3)2110，不满足方程；选项C，中点 为(5，4)，代入直线方程 5x4y210，得554421620，不满足方程故选 D.(2)因为抛物线的焦点坐标为(1 ，0)，由题意可知轨迹曲线过点(1，0) ，将点(1，0)的坐标代入各选项可排除A，C.又由 题易知轨迹曲线的xx口向右 ，所以可排除D.故选B.式题 7设00，b0，ab2，则下列不等
10、式对一切满足条件的a，b恒成立的是_ab1； ；a 2b 22；a 3b 33；a b 2 2.1a 1b方法六 等价转化法所谓等价转化法，就是通过“化复杂为简单、化陌生为熟悉”，将问题等价地转化成便于解决的问题，从而得出正确的结果6 2015xx卷 若直线3x4y50与圆x 2y 2r 2(r0)相交于A，B两点 ，且AOB120(O为坐标原点)，则r_分析 注意到三角形OAB是一个特殊的等腰三角形，AB边上的高为边OA(即半径)的一半，而AB边上的高即点O到直线AB的距离 ，所以可通过点O 到直线 AB的距离求r.图5答案 2解析 如图5，直线3x4y50与圆x 2y 2r 2(r0)交于
11、A，B两点 ，O为坐标原点，且AOB120，则圆 心(0，0)到直线3x 4y50的距离为 r，即 r，r2.12 532 42 12式题 10若直线ykx1(kR)与圆x 2y 22axa 22a40恒有交点，则实数a的取值范围是_方法七 归纳推理法对所给问题比较熟悉，但直接求解又比较费时、费力；而有的问题比较新颖，如情境创新题中定义新概念、定义新图形、定义新数表等问题，可通过观察、分析题目特征、探索规律、发现关系进而求解7 观察下列等式：1 32 33 2，1 32 33 36 2，1 32 33 34 310 2，.根据上述规律，第5个等式为_分析 本题是根据现有三个等式，推导出第五个等
12、式，所以需仔细观察现有三个等式的特征、规律，即从等式左右两边的数字规律、项数、指数等方面归纳出第五个等式答案 1 32 33 34 35 36 321 2解析 观察1 32 33 2，1 32 33 36 2，1 32 33 34 310 2可知，第n个等式的左边是从1xx始的连续n1个自然数的立方和，而右边是这连续n1个自然数和的平方，即1 32 33 3(n1) 31 2 3(n 1)2，所以第5个等式为1 32 33 34 35 36 321 2.式题 11在如下数表中，已知每行、每列中的数都成等差数列，那么位于下表中的第n行第n1列的数是_.第1列 第2列 第3列 第1行 1 2 3
13、第2行 2 4 6 第3行 3 6 9 技法篇 选择题、填空题常用解法1A 解析 由(ab) 2 c24得a 2b 22abc 24，又C 60，cos C ，解得ab .a2 b2 c22ab 4 2ab2ab 12 432. 解析 f(x) a，12 12x 1f(x) a a.12 x 1 2x1 2x又f(x)是奇函数，f(x) f(x)，即 a( a) ，2x1 2x 12x 1解得a .123A 解析 (1)如数列为1， 2，3，4，去掉第3项，得1，2，4为等比数列 ，显然有 1.若改换成数列4a1d，3，2，1，去掉第2项，得4，2，1为等比数列，则 4，所以选A.a1d4lo
14、g abbf(x2)326. 解析 如图所示，设P(x，y)，线段P 1P2的长即为sin x的值，且其中的x满足6cos 23x5tan x，x(0， )解得sin x .故线段P 1P2的长为 . 2 23 237C 解析 取a ，代入不等式 ，得3x 28bx4b 20，解得x2b，这样必超过3个整数解，从12 2b3而排除A ，B ；取a4，代入不等式，得15x 22bxb 20， | |0，0)的部分图像如图82所示，则f(x)的解析式可以为( )图82Af(x)3sin (2x ) 4Bf(x)3sin (2x ) 4Cf(x)3sin ( x )12 34Df(x) 3sin (
15、 x )12 34听课笔记 小结 根据三角函数图像求函数的解析式，主要考虑两点：一是根据函数图像得出函数的最小正周期，从而求出 的值；二是根据函数 图像上特殊点( 一般是 “五点法”作图中的某个点)的坐标，得出三角函数的方程，从而求出的值式题 图83是函数yAsin(x)(A0，0，|0 ，否 则易出错；二是一定要结合图像进行分析式题 (1)将函数f(x)sin 2x的图像向右平移 个单位长度后得到函数g(x)的图像， 则下列说法正确的是( ) 4Ag(x) 的最大值为1，其图像关于直线x 对称 2Bg(x) 在(0， )上单调递增，且为奇函数 4Cg(x) 在( ， )上单调递增 ，且为偶函
16、数38 8Dg(x)的周期为 ，其图像关于点 ( ，0) 对称38(2)已知f(x)sin(2014x ) cos(2014x )的最大值为A ，若存在实数x 1，x 2，使得 6 3对任意实数x总有f(x 1)f(x) f(x2)成立，则A|x 1x 2|的最小值为 ( )A. B. C. D.1007 2014 21007 21007考点四 三角函数图像与性质的综合应用题型：选择、填空、解答 分值：510分难度：中等 热点：图像与性质的综合4 函数f(x)6cos 2 sin x2 3x3(0)在一个周期内的图像如图84所示，A为图像的最高点，B，C为图像与x轴的交点，且ABC为正三角形图
17、84(1)求函数f(x)的解析式；(2)求函数f(x)的单调递增区间和对称中心听课笔记 小结 三角函数的综合应用常表现为依据解析式的结构特点化简为yAsin(x)后，研究该函数的周期、单调区间及最值等高考易失分题7 根据三角函数部分图像考查三角函数的性质问题范例 2015全国卷 函数f(x)cos (x)的部分图像如图85所示，则f(x)的单调递减区间为( )图85A. ，kZ (k 14， k 34)B. ，k Z(2k 14， 2k 34)C. ，k Z(k 14， k 34)D. ，k Z(2k 14， 2k 34)失分分析 (1)将点( ，0)代入函数解析式后不能确定的值或确定错误；
18、(2)不了解余弦函数的单调递减14区间；(3)没有整体意识，不会将x看成一个整体，从而利用余弦函数ycos x的单调性求解高考预测 已知函数f( x)Asin(x )(0，A0， (0， )的部分图像如图86所示，其中点P 2是图像的一个最高点若( ，) ，且sin ，则f ( )_ 2 513 2图86三角函数的图像与性质 核心知识聚焦1. 解析 sin( ) sin ( )cos .15 52 2 152 解析 由sin ，且为第四象限角，则cos 512 513 ，则tan .1 sin21213 sin cos 5123右 解析 设将函数ysin 4x的图像向右平移个单位，得到函数ys
19、in 124(x) sin(4x4)sin 的图像，故 .(4x 3) 124奇 解析 因为ycos (2x )sin 2x，所以该函数为奇函数 25 解析 易得f(x)的最小正周期是 ，最小值是 .3 22 3 226f(x) 5sin(2x ) 0 解析 6 12 712 1312根据表中已知数据解得A5 ，2， ，所以函数解析式为f(x)5sin(2x )， 6 6所以处分别填 ， ，0， .12 712 13127 ， ，kZ 解析 因为函数ysin 4 2k3 12 2k3x的单调递增区间为 2k， 2k，kZ ，由 2k3x 2k，k 2 2 2 4 2Z ，得 x ，kZ ，所以
20、函数f(x) 的单调递增区间为 ， 4 2k3 12 2k3 4 2k3 ，kZ.12 2k388 解析 据图可知，3k2，得k 5，所以y max358. 考点考向探究考点一 三角函数的概念、诱导公式及基本关系例1 (1) (2)1 解析 3(1)由三角函数的定义，得sin ( ) ，又sin ( )sin(4 )sin103 y（ 1）2 y2 103 23 ，所以为第二象限角，所以由 ，得y .23 32 y（ 1）2 y2 32 3(2)由已知可得tan 2，所以2sin cos cos 2 2sin cos cos2sin2 cos2 1.2tan 1tan2 1 4 14 1变式题
21、 (1)C (2)A 解析 (1) ( )，34 4sin( )sin ( )sin( ) .34 4 4 32(2)因为sin ，所以 sin 45 tan cos31 sin sin cos21 sin sin （1 sin2 ）1 sin (1sin ) .425考点二 函数yAsin(x )的图像与解析式例2 (1)A (2)D 解析 (1)ysin 3xcos 3x sin(3x ) sin3(x )，则将ysin 3xcos 2 4 2 123x的图像向右平移 个单位长度，可得到函数y sin 3x的图像，故选A.12 2(2)由图像，得A3，最小正周期 T2( )4 ，则 .又函
22、数f(x) 的32 2 24 12图像过点( ，0)，所以sin( ) 0，则 k (kZ)，故选D. 2 4 4变式题 C 解析 ，所以函数的最小正周期为，得2，所以M( ，A)，N( ，A)由56 12 34 12 712 ，得 A 2 0，得A ，于是A .OM ON 12 712 712 76考点三 三角函数的性质例3 (1)C (2)C 解析 (1)f(x)sin(x )， g(x)cos(x )，f(x) cos 2 2x，g(x)sin x，f(x)g(x)sin xcos x sin 122x，最小正周期T ，排除A；f(x)g(x) max ，排除B；f(x)为偶函数，g(x
23、)为奇22 12函数，排除D.故选C.(2)由f(x)sin(x)(0，| )的最小正周期是 ，得2，即f(x) sin 3(2x) ，f(x)的图像向右平移 个单位长度后得到函数 ysin 2(x )sin(2x ) 3 3 23的图像， k ，kZ，得 k，kZ .| ， ，即f(x )sin(223 23 3 3x ) 3由2x k ，k Z，得x ，kZ，故选C. 3 2 512 k2变式题 (1)A (2)A 解析 (1)将函数f( x)的图像向右平移 个单位长度后得到函数g( x)sin(2x )cos 4 22x的图像，逐个分析选项可知A 正确(2)f(x)sin(2014 x
24、)cos(2014x )2sin(2014x )，所以A 2，最小正周期T 6 3 6 .而| x1x 2|的最小值为半个周期，所以A| x1x 2|的最小值为 .1007 1007考点四 三角函数图像与性质的综合应用例4 解：(1)易得f(x)3cos x sin x2 sin(x )3 3 3又ABC为正三角形，且高为2 ，所以BC4，所以函数 f(x)的最小正周期为8，即38，所以 ，2 4故f(x) 2 sin( x )3 4 3(2)由2k x 2k ，kZ， 2 4 3 2解得8k x8k ，kZ，103 23所以f(x )的单调递增区间为8k ，8k ，kZ.103 23由 x
25、k，k Z，得x4k ，kZ， 4 3 43所以f(x )的对称中心为(4k ，0) ，k Z.43高考易失分题7 范例 D 解析 由图知 1，所以T2，即 2，所以 .T2 54 14 2| |因为函数f(x) 的图像过点 ，(14， 0)所以当 时 ， 2k ，kZ ，4 2解得 2k ，kZ ； 4当时， 2k，kZ，4 2解得 2k ，kZ . 4所以f(x )cos .由2k0 ，|0 ，|0，|0)的部分图像如图 Z84所示，ABC的顶点A 与坐标原点O重合，B是f(x) 的图像上的一个最低点，C在x轴上，内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c ，且ABC 的面积S满足12S
26、b 2c 2a 2.将f(x)的图像向右平移1个单位长度后得到g(x)的图像，则g(x) 的解析式为_13已知函数f(x)2sin cos ，过A(t，f(t)，B(t1，f(t1)两点的直线的斜率记 x6 x6为g(t)(1)求g(t)的解析式及其单调递增区间；(2)若g(t 0) ，且t 0( ，1)，求g(t 01)的值45 1214已知函数f(x)4cos xsin(x )1. 6(1)用五点法作出f(x) 在一个周期内的简图；(2)将函数f(x)的图像向左平移 个单位长度后，再向上平移1个单位长度得到函数g(x) 6的图像，求函数g(x)在0，2 内所有零点的和15已知函数f(x)2
27、cos x(sin xcos x) 1(0) 的最小正周期为 .(1)求函数f(x)图像的对称轴的方程和单调递减区间；(2)若函数g(x)f(x)f( x)，求函数g(x)在区间 ， 上的最小值和最大值 4 8 34专题限时集训(八) 基础演练1B 解析 cos( )sin . 2 132D 解析 sin ，当a0时，sin 3a（ a）2 （ 3a）2 ；当a0 ，|0，|0)的部分图像如图 Z84所示，ABC的顶点A 与坐标原点O重合，B是f(x) 的图像上的一个最低点，C在x轴上，内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c ，且ABC 的面积S满足12Sb 2c 2a 2.将f(x)的
28、图像向右平移1个单位长度后得到g(x)的图像，则g(x) 的解析式为_13已知函数f(x)2sin cos ，过A(t，f(t)，B(t1，f(t1)两点的直线的斜率记 x6 x6为g(t)(1)求g(t)的解析式及其单调递增区间；(2)若g(t 0) ，且t 0( ，1)，求g(t 01)的值45 1214已知函数f(x)4cos xsin(x )1. 6(1)用五点法作出f(x) 在一个周期内的简图；(2)将函数f(x)的图像向左平移 个单位长度后，再向上平移1个单位长度得到函数g(x) 6的图像，求函数g(x)在0，2 内所有零点的和15已知函数f(x)2cos x(sin xcos x) 1(0) 的最小正周期为 .(1)求函数f(x)图像的对称轴的方程和单调递减区间；(2)若函数g(x)f(x)f( x)，求函数g(x)在区间 ， 上的最小值和最大值 4 8 34
