1、数学空间解析几何设向量 a 与 b 的夹角为 ，向量 a 与向量 b 的数量积为一个数量，记作(0) ab=|a|b|cos向量 a 与向量 b 的向量积为一个向量 c，记作 ，即 ，c 的模ab c=ab= 。C 的方向垂直于 a 与 b 所决定的平面，c 的指向按右手法则确定。|c| =|ab| |a|b|sin设 ， 则a=(ax， ay， az) b=(， y， z)， ,=ax+ayy+azz ab=(ayzazy， azaxz， axyay)ab=|i ax ay azy z|三个向量 a、b 和 c 的混合积是一个数量，即 ，记作 ，表示 a、b、c 为棱的平行六面(ab)c a
2、 b c体的体积，符合由向量 a、b、c 组成右手系还是左手系来确定，前者为正，后者为负。设平面 过点 M0(x0,y0,z0)，它的一个法向量 n=(A,B,C)，则平面 的方程为 A(x- x0)+B(y- y0)+C(z- z0)=0 此方程为平面的点法式方程。平面一般方程为 Ax+By+Cz+D=0。设一平面与 x、y、z 轴分别交于P(a,0,0)，Q(0,b,0)和 R(0,0,c)三点，则平面方程为xa+yb+zc=1两平面的夹角 ，空间点 P0(x0,y0,z0)到平面的距离cos= |A1A2+B1B2+C1C2|A21+B21+C21A22+B22+C22 d=|Ax0+B
3、y0+Cz0+D|A2+B2+C2空间直线方程 ， ，过一点，已知方向向量。A1x+B1y+C1z+D1=0，A2x+B2y+C2z+D2=0， x-x0m =y-y0n =z-z0p两直线夹角 ，直线与平面夹角cos= |m1m2+n1n2+p1p2|m21+n21+p21m22+n22+p22 sin= |Am+Bn+Cp|A2+B2+C2m2+n2+p2直线外一点 M0，直线上任意点 M，直线方向向量 s，则 M0 到直线的距离 d=|M0Ms|s|圆锥面 ，椭圆锥面 ，椭球面 ，椭圆抛物面 ，x2a2+y2a2=z2 x2a2+y2b2=z2(ab) x2a2+y2b2+z2c2=1
4、x2a2+y2b2=，双曲抛物面 ，单叶双曲面 ，双叶双曲面x2a2+y2b2= x2a2-y2b2= x2a2+y2b2-z2c2=1 x2a2-y2b2-z2c2=1微分学函数 f(x)在 X 上有界的充分必要条件是它在 X 上既有上界又有下界。单调增加和单调减少的函数统称为单调函数。偶函数的图形关于 y 轴对称；奇函数的图形关于原点对称。函数极限具有唯一性、局部有界性、局部保号性。函数 f(x)当 (或 )时的极限存在的充分必要xx0 x条件是函数的左、右极限均存在且相等。极限存在准则夹逼准则，lim(1+1)=e=2.718， limx0(1+x)1/x=e， limx0sinxx =
5、1设 及 都是在同一个自变量变化过程中的无穷小，且 ， 也是在这个变化过程中的极限， 0 lim则若 =0，就称 是比 高阶的无穷小，记作 ，并称 是比 低阶的无穷小；若lim =o() ，就称 是与 同阶的无穷小；若 ，就称 是与 等价的无穷小，记作 。若lim=C0 lim=1 ， ，且 存在，则 。常用等价无穷小lim lim=lim，sintan， 1cos122， ln(1+)， 11+11函数 在一点 处连续的条件是： 有定义； 存在；f() 0 f(0)lim0f() lim0f()= f(0)不连续的点就称函数的间断点，分为第一类间断点（ 是 的间断点，但 及 均存在。0 f(
6、) f(x-0) f(x+0)若 ， 均存在但不相等，则称这种间断点位跳跃间断点；若 及 均存在limx-0f() limx+0f() f(x-0) f(x+0)而且相等，则称这种间断点为可去间断点） ；第二类间断点（不是第一类的间断点） 。函数 在 的导数(x) 0 y|=0=lim0=lim0(0+)(0) =|=0=(0)；(uv)=+uv=uv2，(x)=1(y)， x=(y)设 ，则复合函数 的导数y=f(u)， u=(x) y=f(x)或=dy(x)= f(u)(x)，(uv)(n)=nk=0Cknu(n-k)v(k)拉格朗日中值定理 f(b)-f(a)=f( )()未定式 与 的
7、洛必达法则00 lima（ x） f(x)F(x)= lima（ x） f(x)F(x)= lima（ x） f“(x)F“(x)其它未定式 型0、 -、 00、 1、 0 通过变形化成与 型00 如果在 内 ，那么函数(a、 b) f(x)0 在y=f(x)上单调增加，如 ，则单调减小。a、 b f(x)0 时，为极小值；当AC-B20 f(x0， y0)时， 不是极值。AC-B20) p1 00法（ ，当 时， 与 同时收敛或同时发散） ；比值审敛法（limnunvn=l 01 l=+ l=1可能发散） ；根值审敛法（ ，则当 时，级数收敛；当 或 时，级数发散；limnnun=l l1
8、l=+当 ，级数可能收敛也可能发散） 。l=1若级数 为任意项级数，而级数 收敛，则称级数 绝对收敛；若 收敛，n=1un n=1|un| n=1un n=1un而 发散，则称级数 条件收敛。n=1|un| n=1un莱布尼兹判别法：若交错级数 满足： 及 ，n=1(-1)nun(un0) unun+1(n=1， 2， ) limnun=0则级数 收敛，且有余项n=1(-1)nun |rn|un+1(n=1， 2， )若任意项级数 绝对收敛，则该级数收敛。设 为任意项级数，若 （或n=1un n=1un limn|un+1un| =l） ，则当 时，级数绝对收敛，当 或 时，级数发散；当 ，级
9、数可limnn|un| =l l1 l=+ l=1能收敛也可能发散。（阿贝尔定理）若幂级数 当 时收敛，则对适合 的一切 x，级数n=1anxn x=x0(x00) |x|x0|对幂级数 ，若 ，则它的收敛半径n=0anxn limn|an+1an| =(或 limnn|an| =) R=1，当 0+，当 =00，当 = +幂级数 的和函数在其收敛域上连续；幂级数 的和函数在其收敛区间内可导，且n=0anxn n=0anxn有逐项求导、逐项积分公式 ；S()=(n=0anxn)=n=0an(xn)=n=0anxn10()=0(n=0anxn)=n=0an0xn=n=0an+1+1若 在点 x0
10、 处具有各阶导数，则幂级数 称为函数 在点 x0 处的泰勒级f(x) n=01n！ (n)(x0)(x-x0)n f(x)数，特别当 x0=0 时，级数 称为函数 的麦克劳林级数。n=01n！ (n)(0)(x)n f(x)设函数 在点 x0 的某邻域 U(x0)内具有各阶导数，则 在该邻域内能展开成泰勒级数（即 的f(x) f(x) f(x)泰勒级数收敛于 本身）的充分必要条件是 的泰勒公式中的余项f(x) f(x)Rn(x)=f(n+1)( )(n+1)！ (x-x0)n+10(n)(其中 =x0+(x-x0)， 0R(A)。A给定一个 n 阶方阵 A，如果数 与非零向量 x 满足 Ax=
11、x 或(AE)x=0，即 ，称数|A E| =0 为 A 的特征值，称非零向量 x 为 A 的对应特征值 的特征向量。特征值的性质：设 是 n 阶方程 A 的特征值，A=(a ij)nn; 1, 2, ， ；A T 的特征值也是 ；当 A 1+ 2+ =11+22+ 1 2 =| 1, 2, 是可逆阵时，A -1 的特征值是1 1,1 2,1 当 A 是 n 阶实对称阵时，相应于不同特征值的特征向量必定正交，且有 n 个两两正交的特征向量。给定两个 n 阶方阵 A、B，如果可逆阵 P 满足 P-1AP=B，那么称矩阵 A 与 B 相似，称 B 是 A 的相似矩阵，可逆阵 P 称为相似变换阵。当
12、 A 与 B 相似时，A 与 B 的秩相等，且 A 与 B 等价；A 与 B 的特征多项式相同，从而 A 与 B 的特征相同，且 。|A| =|B|n 阶方阵 A 能与对角阵相似的充分必要条件是：A 有 n 个线性无关的特征向量。当 A 有 n 个不同特征值时，A 能与对角阵相似；当 A 有 n 阶实对称阵时， A 能与对角阵相似。二次型 ，其中 ,n 阶方阵 为对称阵。二次型的标准形f(x)=xTAx x=x1, =()与对角阵（自然是对称阵）对应。f(x1,)=1121+2给定两个 n 阶实对称阵 A、B 如果存在可逆阵 C 满足 CTAC=B，那么称矩阵 A 与 B 合同，可逆矩阵 C称
13、为合同变换矩阵。当 A 与 B 合同时，A 与 B 的秩相等，且 A 与 B 等价；当 A 与 B 相似，且相似变换 P 为正交阵（即 P-1=PT）时，A 与 B 合同。给定二次型 ，其中 A 是 n 阶实对称阵。如果对任意 ，都有 ，那f(x)=xTAx x00 f(x0)=x0TAx00么成 为正定二次型，称对称阵 A 为正定矩阵。二次型为正定的充分必要条件是它的正惯性指数f(x)（即标准形中系数取正值的个数）等于 n；n 阶实对称阵为正定的充分必要条件是它的特征值全取正数；n 阶实对称阵 A 为正定的充分必要条件是 A 与 n 阶单位阵 E 合同；n 阶实对称阵 为=()正定的必要条件
14、是 aii0，i=1， ，n ；n 阶实对称阵 为正定的充分必要条件是 A 的各阶 =()主子式都取正数。概率与数量统计事件 A 与事件 B 独立的数学定义是 P(AB)=P(A)P(B)。 ，A+B=AB， AB=A+B P(B|A)=P(AB)P(A)求逆公式 ；加法公式 ，当 A 与 B 互不相容时，P(A)=1-P(A) P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)；乘法公式 ，当 A 与 B 相互独立时P(A+B)=P(A)+P(B) P(AB)= P(A) P(B|A)= P(B) P(A|B)；求差公式 ，当 A 包含 B 时， ，且P(AB)=P(A)P(B) P(A-B)=
15、P(A)-P(AB) P(A)P(B)；全概率公式：如果事件 构成一个完备事件组，且 ，那么P(A-B)= P(A)- P(B) A1,An P(Ai)0；贝叶斯公式（或逆概率公式）：如果事件 构成一个完备事件组，P(B)=ni=1P(Ai)P(B|Ai) A1,An且 ， ，那么P(Ai)0 P(B)0P(Ai|B)= P(Ai)P(B|Ai)nj=1P(Aj)P(B|Aj)， i=1,n超几何概率公式：设 N 件产品中有 M 件次品，其余 N-M 件是非次品，随机地从这 N 件产品中任取n 件，则 n 件产品中恰有 k 件次品的概率为 P(A)=CkMCn-kN-MCnN二项概率公式（放回
16、的摸球问题）：做一次随机试验成功的概率为 p，则重复独立的做 n 次，则 n次试验中恰出现 k 次成功的概率为 P(A)=Cknpk(1-p)n-k泊松分布：参数为 ( 0)的泊松分布的概率分布为 P(X=k)=e- k!,=0,1,2,指数分布：概率密度函数 ；分布函数p(x)= e-x,0 F()=1e-x,0正态分布：概率密度函数 ，记为 。 为标准正态p(x)=12e-(x-)222， -0 净 0 =净1=1-|2|Q1 =1-|2|Q1，放热总和 。逆循环的净功 ，净吸热 ，致冷系数 ，吸Q10 Q20 Q1n1=2en22-n21sin2i+ 2= k (k=1， 2， ) 明环
17、(2+1) 2 (k=0， 1， 2， )暗环 干涉环内疏外密。迈克耳孙干涉仪：利用等倾干涉进行精密测量 ；测量透明薄膜折射x=N 2率 2(n-1)d=N 。 单缝衍射夫琅禾费衍射菲涅尔半波带，asin=m 2 axf=k (k=1， 2， ) 暗条纹(2+1) 2 (k=1， 2， )明条纹 ，中央明条纹宽度为 。当 a 与波长 大小相当时，衍射x=fa l0=2x1=2fa 明显，当 a 时，各级衍射条纹趋向于中心合并成一条亮纹，衍射现象消失。其中 1 级明纹的光强只有中央明纹光强的约 5%。圆孔夫琅禾费衍射： ，D 为圆孔直径， 为第一暗环对应的衍射角。爱里斑Dsin1=1.22 1r
18、0=1.22fD瑞利判据：最小分辨率角 ，光学仪器最小分辨角的倒数称为光学仪器的分辨率。R=1.22 D光栅的透光部分宽度记为 a，不透光部分宽度记为 b，两者之和 a+b 称为光栅常数。透射光栅的衍射条纹是衍射与干涉的合成效果。光栅衍射明条纹公式 。最大 k(a+b)sin= k (k=0,1,2,)值应取小于 的最大整数。波长较短的紫光离中央明纹较近；波长较长的红光离中央明纹(a+b)/ 较远。重级出现在波长较长的低级次明纹与波长较短的高级次明纹之间 ；若光栅衍射k1 1=k2 2的某一级明条纹（k 级）恰好与单缝衍射的某一级暗条纹（ k级）出现在同一衍射角 处，这时该级光栅明条纹不再出现
19、，称为缺级。光栅缺级公式 。K 不得大于最高级次 kmax。k=+(k =1,2,)布喇格公式（X 射线衍射） 相干加强， 为掠射角，即入射光与水平面夹2dsin=k (k=1,2,) 角。线偏振光（完全偏振光） 、部分偏振光、圆或椭圆偏振光。当自然光以入射角 i 由折射率为 n1 的媒质射向折射率为 n2 的媒质分界面时，反射光为垂直入射面的光振动较强的部分偏振光，折射光为平行入射面的光振动较强的部分偏振光，它们的偏振程度与入射角 i 有关。 （如左图）当反射角与折射角之和等于 90 度时，反射光为完全偏振光，折射光为部分偏振光，入射角 i0 为布儒斯特角 。反射起偏法。tani0=n2n1
20、可用多层玻璃片堆叠在一起构成玻璃堆，可得到近似完全偏振光的折射光，为折射起偏法。马吕斯定律 ，自然光入射，出射光强为入射光强一半。I=I0cos2光的双折射现象：遵从通常折射定律的称为寻常光或 o 光，不遵从的称为非常光或 e 光。非常光的折射率与方向有关，不是常数。寻常光的折射率是常数。在晶体中有一个特定的方向，寻常光与非常光沿此方向传播速度相同，垂直此方向传播速度相差最大，这个特殊的方向称为晶体的光轴。为一方位，非特定直线。光线与光轴构成的平面称为主平面。o 光与 e 光都是线偏振光，o 光的振动方向垂直自己的主平面；e 光振动方向平行于自己的主平面。在单轴晶体中，o 光沿各个方向传播速度
21、相同，从 A 点发出的o 光其波面为球面；e 光仅在光轴方向上与 o 光传播速度相同，在垂直光轴的方向上，e 光与 o 光速度差别最大，也即折射率差别最大。从 A 点发出的 e 光其波面为旋转椭球面。o 光与 e 光的波面相切于光轴上。如果 o 光折射率 no 与 e 光沿垂直光轴方向的折射率 ne（称为主折射率）之间，满足non e，该晶体称为正晶体，如石英（即 e 光波面包含在 o 光波面内部） ；如果满足 non e，该晶体称为负晶体，如方解石（即 o 光波面包含在 e 光波面内部） 。化学物质结构物质波公式： 。微观粒子运动的物质波可以看做是一种几率波。在空间某 =hmv=普朗克常量
22、动量 =波长点，电子的物质波的强度与该点附近一个微体积元中电子出现的几率密度成正比。描述氢原子核外电子运动状态的方程叫薛定谔方程。方程每个解都是一个波函数 。 波函数的平方 2则相当于电子的几率密度（单位体积内出现的几率）四个量子数：主量子数 n，是决定电子能量大小的主要量子数，n 取值 1，2，3，用符号K， L，M，N表示；副量子数 l，是决定电子运动角动量的量子数，l 取值 0，1，2， （n-1） 。（l=0， 的空间形状是球形，用符号 s 表示；l=1， 的空间形状是无柄哑铃形的，用符号 p 表示；l=2， 的空间状态是四瓣梅花形，用符号 d 表示；1=3 的空间形状更复杂，用符号
23、f 表示） ；磁量子数 m，是决定电子运动的角动量在外磁场方向上分量大小的量子数，m 取值0，1，2，l，它和波函数在空间的取向有关；自旋量子数 ms，电子自旋运行方向不同，取值为 1/2 和-1/2。多电子原子中核外电子排布的基本规律：能量最低原理，电子总是尽量优先占据能力最低的原子轨道。原子轨道能量由低到高的近似能及顺序：(1s)0 ） ，放热反应的反应热为负值（Q0吉布斯自由能降低的方向进行。平衡浓度常数 ，平衡分压常数 。范荷甫公式Kc=(cD/c)d(cE/c)e(cA/c)a(cB/c)b - - - - Kp=(pD/p)d(pE/p)e(pA/p)a(pB/p)b - - -
24、-lgK(T)=-T= -rGm(T)2.303RT -当系统达到平衡后，如果改变体系平衡的条件之一（如浓度、压力或温度） ，平衡就向减弱这个改变的方向移动。有机化合物及有机高分子化合物以相对分子质量大小分类：一般摩尔分子质量小于 1000gmol-1 为低分子有机物；摩尔分子质量大于 1000 gmol-1 为高分子有机物。按碳链骨架分类：开链化合物又称脂肪族化合物。只有 C 和 H 两种元素组成的开链化合物称为链烃；碳环化合物：有碳环状结构的有机化合物，分为脂环族化合物（性质与脂肪烃相似）和芳香族化合物（此类碳环化合物含有苯的结构，性质与脂环化合物不同） ；杂环化合物：环上的原子除了 C
25、原子外，还有 O、S、N 等杂原子，性质与芳香族化合物比较相似。按官能团分类：根据烃分子中 C 原子与 C 原子间是否有重建，烃可以分为烷烃（无重建） 、烯烃（有双键） 、炔烃（有三键）有机化合物的命名方法通常用系统命名法，系统命名法的主要原则：首先根据化合物中主要官能团确定母体，用含该官能团的特定名称命名之。次要官能团做取代基；选择含主要官能团的最长的碳链为主链，当主链上 C 原子数少于或等于 10 个时，C 原子的数目用天干数字甲、乙、丙、表示，当主链上碳原子数超过 10 个时，直接用数字表示；支链也作为取代基，其位置用主链上与其相连的C 原子的序号表示。对芳香族化合物而言也可以用取代基位
26、于主要官能团的邻位、间位或对位位置表示，英文字母 o、m、p 分别代表邻、间、对位。有机化合物的主要反映：取代反应（是指有机化合物中 H 原子被其他原子或原子团取代的反应。硝基（NO 2）的取代反应亦可称为硝化反应） ；消去反应（指从有机化合物分子中消去一个小分子，生成双键的反应） ；加成反应（含有重键或三键，又称不饱和键）的有机化合物易发生加成反应。即重键中的 键断开，形成两个新的单键，结合两个原子或基团） ；缩合反应（反应物分子间相互作用，在脱去水、卤化氢等小分子的同时，其骨架的剩余部分（残基）彼此结合，生成新的有机化合物的反应。这类反应有：酯化反应、醚化反应、置换反应、酰胺化反应、氧化反
27、应。高分子化合物的分子形状可分为三种：线形、支链形和体形。合成高分子化合物的原料称为单体。合成高分子化合物的反应主要有两类：加成聚合反应（简称加聚反应，包括链的引发、链的生长和链的终止三步）和缩合聚合反应（简称缩聚反应，反应失去小分子） 。因此高分子化合物又叫高聚物。由一种单体加聚而成的高聚物叫均聚物，这种聚合反应叫均聚。由两种或多种单体加聚而成的高聚物叫共聚物，这种聚合反应叫共聚。ABS 是最典型的共聚物，它是丙烯腈、丁二烯、苯乙烯共聚而成。线性非晶态高分子化合物：常温下处在玻璃态的高分子化合物称为塑料、纤维；常温下处于高弹态的高分子化合物称为橡胶；常温下处于黏流态的高分子化合物称为流动性树
28、脂。结晶型、体形高分子化合物的力学状态与线形非晶态高分子化合物不同，它们一般无高弹态，体形高分子化合物亦无黏流态。在一定温度和压力下可塑制成型的高分子合成材料称塑料。塑料根据受热后性能的不同分为热塑性塑料和热固性塑料，前者的基料是线形或支链形高分子化合物，具有热塑性，可反复加热成型。后者的基料是体形高分子化合物，据有热固性，只能一次加热成型，不能反复加工。理论力学静力学三力平衡定理：刚体受不平行的三个力作用而处于平衡时，则此三力的作用线必共面且汇交于一点。通常规定力使物体绕矩心转动的方向即力矩的转向为逆时针方向，取正号，反之取负号。任意力系平衡的必要和充分条件是：力系的主矢与力系对任一点的主矩
29、都等于零。运行学描述点的运动有矢量法、直角坐标法（点的运动轨迹未知时）和自然法（点的运动轨迹已知时） 。转角和角速度均是代数量，可根据右手法则确定其正负号。动点相对静系的运动称为绝对运动（v a、a a） 。动点相对动系的运动称为相对运动（v r、a r） 。动系相对静系的运动称为牵连运动（v e、a e） 。动点的绝对运动可视为相对运动与牵连运动的合成运动。牵连运动为平动：a a=ae+ar；牵连运动为转动 aa=ae+ar+ak，a k 为科氏加速度，它是由于牵连运动和相对运动的相互影响而产生的。a k=2v r=2v rsin平面运动随同基点的平动规律与基点的选择有关，而绕基点的转动规律
30、与基点的选择无关。平面图形内任一点的速度等于基点的速度和该点绕基点转动的速度的矢量和。速度瞬心的位置动力学质点对固定点 O 的动量矩 Ho=mo(mv)=rmv定轴转动刚体对转动轴 z 的动量矩 ， 为对转动轴的转动惯量。Hz=JzJz Ju=mi2i转动惯量的平移定理： Jz=JCz+mh2刚体定轴转动微分方程： 或 或 Jz=Mez Jz =Mez Jz=Mez计算动量矩必须是绝对速度或绝对角速度；只须分析用于研究对象上的全部外力。应用动量矩定理时，一般应取固定点、轴及质心为矩心或矩轴。=力所做的功：弹性力 ；力矩 ；力偶=12(2122) =21 =21动能：定轴转动刚体 ；平面运动刚体
31、=122 =122+122强迫振动强迫振动特性：在恢复力、干扰力和阻尼力作用下，系统的振动由衰减振动和强迫振动两部分组成。由于阻尼的影响，衰减振动将迅速消失，而强迫振动始终存在；强迫振动是等幅的简谐振动，与运动的初始条件无关，其振动圆频率与干扰力的圆频率相等，而与系统的固有频率 p 无关；将0.750.707失；在远离共振区域，阻尼对振幅的影响十分微小，可忽略不计。材料力学轴向拉伸与压缩强度是指构件在荷载作用下抵抗破坏的能力。刚度是指构件在荷载作用下抵抗变形的能力。稳定性是指构件保持其原有平衡形式的能力。轴力 N 规定以拉力为正，压力为负。轴向拉压杆斜截面上的应力：总应力 ，正应力 ，剪切应力
32、pa=NAa=0cos a=pacos=0cos2。剪切应力对脱离体内一点产生顺时针力矩时为正，反之为负。a=pasin=02sin2低碳钢在拉伸时的力学性能：比例极限 5%的材料称为塑性材料，延伸率 2 3若已知平面应力状态 ， ， 则与 x 轴成 角的斜截面上的应力分量x y xy=xy2 sin2+xycos2。正应力 以拉应力为正；剪应力 以对单元体产生顺时针=x+y2 +xy2 cos2xysin2力矩者为正； 角以逆时针转向为正。主平面的方位角 ， ，主应力： 。单元体中互相0tan20=xyxy2 max、 min=x+y2 (xy2 )2+2xy垂直的两个截面上的正应力之和为常
33、数。主剪应力及其作用面：方位角 ，数值 。主剪应力是单元体tan21=xy2xy xy主 = (xy2 )2+2xy上垂直于零应力所有截面上剪应力的极大值和极小值，并不一定是该点的最大和最小剪应力。主剪应力作用面（主剪面）与主平面成 45角。在平面应力状态 ， ， 下，任意斜截面上的应力 与 间的关系式为一个圆方程：x y xy ，圆心 ，半径(x+y2 )2+2=(xy2 )2+2xy (x+y2 ， 0) R= (xy2 )2+2xy一点的最大正应力 ，最大剪应力 ，其作用平面与 方向平行且与 的作用max=1 max=132 2 1、 3面分别称 45。广义胡克定律： ， ； ， ；x=
34、1Ex (y+z) xy=xyG y=1Ey (z+x) yz=yzG， 。E 为弹性模量， 为泊松比，G 为剪切弹性模量。z=1Ez (x+y) =G 最大拉应力理论（第一强度理论） ；最大拉应变理论（第二强度理论）r1=1；最大剪应力理论（第三强度理论） ；形状改变比能理论（第r2=1 (2+3) r3=13四强度理论） 。r4=12(12)2+(23)2+(31)2当二向应力状态平面内某一方向的正应力为零，设 ，则 ，y=0 r3= 2x+42xyr4= 2x+32xy最大拉应力理论、最大拉应变理论是关于脆性断裂的强度理论；最大剪应力理论、形状改变比能理论是关于塑性屈服的强度理论。三向拉
35、应力作用下，用第一强度理论，三向压应力下，用第三或第四强度理论，二向应力状态作用下，脆性材料用第一或第二理论，塑性材料用第三或第四理论。组合变形扭转和弯曲的组合： ， 。 ， ，r3= 2+42=M2h+M2TW r4= 2+32= M2h+0.75M2TW =MhW =MTWt抗弯截面系数 ，抗扭截面系数 ，W=d332 Wt=d316Mh= M2y+M2z压杆稳定细长压杆临界力的欧拉公式为： ，Pcr=2EI(L)2为长度系数，取值如下图临界应力 ，截面的惯性半径 ；柔度或细长比cr=PcrA= 2EI(L)2A=2Ei2(L)2=2E 2 i= IA =Li临界应力总图流体力学流体的主要
36、物性与流体静力学流体具有内摩擦力的特性即为流体的黏性，或者说黏性即为运动流体具有抵抗剪切变形的能力。黏性是运行流体产生机械能损失的根源。牛顿内摩擦定律 ， 为黏度（也称黏性系数）或动力=dudy黏度，单位为 Pas；du、dy 分别为两薄层间的流速差和距离； 为流速梯度，即流速沿垂直于流dudy速方向的变化率，实质上它代表流体微团的剪切变形速率。黏性主要与流体的种类和温度有关，压强的影响较小。液体的 值随温度的升高而减小，气体的 值随温度的升高而增大。流体的黏性也可 以用运动黏度表示，即 ，单位为 m2/s 或 cm2/s =1at（工程大气压）=1kgf/cm 2=98kN/m2=98kPa
37、绝对压强和相对压强之间相差一个当地大气压强，即 p=p-pa。真空值 pv=pa-p在匀质连续的静止流体中，各点的测压管水头（z+p/ g）保持不变。静止液体作用在平面上的总压力 P= ， 、 分别为受压曲面形心处的淹深和相对压强。ghCA= hC 总压力的作用点 ，矩形纵截面作用点距顶部 2h/3。 、yD=yC+ICyCA在流体力学中，单位质量力是指作用在单位质量流体上的质量力。流体力学基础若流场中同一流线上各质点的流速矢量沿程不变，这种流动称为均匀流，否则为非均匀流。均匀流中各流线是彼此平行的直线，过流断面上的流速分布沿程不变，过流断面为平面。常常按流线沿程变化的缓急程度，又将非均匀流分
38、为渐变流和急变流。渐变流过流断面具有下面两个重要性质：渐变流过流断面近似为平面；恒定渐变流过流断面上流体动压强近似地按静压强分布，即同一过流断面 z+p/ 近似为常数。 g理想流体伯努利方程（恒定元流的能量方程） ，z 称为位能，位置水头； 称为z+pg+u22g=常数 pg压能，压强水头； 称为动能，流速水头； 成为测压管水头。u22g z+pg实际流体恒定总流的能量方程： z1+p1g+1v212gH=z2+p2g+2v222g+hW恒定总流得动量方程： ， 为动量修正系数，工程上一般取 1.0F=Q(2v2-1v1) 流动阻力和水头损失雷诺数 ，式中 u、d、v 分别为流速、管径和流体的
39、运动黏度。Re2300 为紊Re=ud流。对于非圆管中的流动，雷诺数中的特征长度 d 可用水力半径 R=A/ 代替，A 为过流断面面积，为过流断面上固壁与流体接触的长度，成为湿周。均匀流基本方程 或 ， 为边壁切应力， 为水力坡度。圆管均匀流得过流断面hf=0lgR0=gr02J 0 J=hfl上，切应力 呈线性分布，管壁处切应力为最大值 ，管轴处切应力为零。=rr00 0圆管中的层流运动过流断面上流速分布 ，则断面上最大流速为 ，平均流速为u=gJ4(r20-r2) gJ4r20，为最大流速的一半。gJ8r20圆管层流的沿程阻力 ，称为达西公式， 为沿程阻力系数。hf=8lgr20v=32l
40、gd2v= 64(vd)ldv22g=64Reldv22g= lv2d2g 圆管紊流流动断面流速分布特征是对数分布。尼古拉兹实验曲线图：层流区 Re1140 =f(d) hf v2.0区。阿里特苏公式 =0.11(d+68Re)0.25对于明渠水流，通常采用谢才公式 ，谢才系数 ，R 为水力半径。v=CRJ C=8g =1nR16局部水头损失 hj=v22g孔口、管嘴、管道流动薄壁小孔口恒定出流（l/d0，d/H0.1 ）： ，vC=1c+ 02gH0=2gH0， 为孔口流速系数， 为作用水头， 为孔口流量系数。Q=vcAc=20=20 H0 =0. 630.64, =0.970.98 ， =
41、0.600.62。=Ac/A 管嘴的恒定出流（l=(3 4)d， 9m）: ，0 v=1+ n2gH0=n2gH0， 。Q=vA=n20=n20 n=n=0.82有压管道恒定流：短管（l/d1000）流速水头和局部水头损失的总和可忽略不计。，S 称为比阻，即单位流量通过单位长度管道所需H=hf=ldv22g= ld(Q4d2)22g= 8g2d5lQ2=SlQ2=S0Q2的水头。串联管道总水头为各段水头之和，并联管道各段水头相等。明渠恒定流明渠均匀恒定流总水头线、水面线和渠底线三线平行，即水力坡度、测压管坡度和渠道底坡度相等。明渠均匀流一般属于紊流粗糙区，其流速通常采用谢才公式， 。Q=Av=
42、ACRJ=ACRi=12312梯形水力最优断面的水力半径等于水深的一半，其与边坡系数无关；矩形截面水力最优矩形断面的底宽为水深的两倍。无压圆管均匀流得水力计算：过水面积 ；湿周 ；水力半径 ，充A=28() =12 =4(1)满度 。=24无压圆管均匀流中，流量的最大值出现在 h=0.94d，流速的最大值出现在 h=0.81d。阻力公式 ，斯托克斯公式D=CDAV22 D=3dv渗流、井和集水廊道流体在土壤、岩层等多孔介质中的流动成为渗流。水在土壤或岩石的孔隙中的存在状态有气态水、附着水、薄膜水、毛细水和重力水等。达西渗流定律： ，k 为渗流系数（m/s） ，J 为水力坡度，适用于雷诺数 Re
43、110 的渗流。v=k=集水廊道单侧单宽流量为 ，l 为影响范围， H 为地下水位，h 为廊道中水深。q=(22)2潜水完全井产水量 ， （井的影响半径估算公式）Q=kH2-h2lnRr0 R=3000（ H-)自流完全井产水量 ；大口井与基坑排水：当渗流过水断面为半球面时，其产水量公式Q=2kt(H-h)lnRr0为 Q=2 k S，S 为天然水面与井中水位之差，适用于含水层厚度较大情况；过流断面为椭球面时，r0Q=4k S，适用于含水层厚度较小情况。r0相似原理和量纲分析要使模型和原型的流动相似，除要求两者满足几何相似外，还要满足运动相似、动力相似以及定解条件（包括边界条件和初始条件）相似
44、。几何相似： ， ， l=lplm A=ApAm= 2l V=VpVm= 3l运动相似： ， u= v=upum a=apam= 2u 2l动力相似： FG(重力） = Fp（ 压 力） = F（黏性力） = F（ 惯 性力）几何相似是运动相似和动力相似的前提，动力相似是决定两流动相似的主导因素，运动相似是几何相似和动力相似的表现。重力比尺： ，压力比尺： FG=(gV)p(gV)m= g 3l Fp=(pA)p(pA)m= p 2l黏性力比尺： ，惯性力比尺： FT=(A)p(A)m= FI=(Va)p(Va)m= 3l a= 2l 2v弗劳德准则（重力相似）： ， ， FG= F g =1 (vgl)p=(vgl)m雷诺准则（黏性力相似）： ， ， F= F =1 (vl
