1、1蝴蝶定理模型【1】任意四边形中的比例关系（“蝴蝶定理” ）（1） 或243:S1324S（2）根据 与 的高相等， 与 的高相等可以得到1 1234:():()AOCSS【2】梯形中的比例关系（“ 蝴蝶定理 ”）（1） ( 、 为份数)23:Sab（2） ( 、 为份数)224:abb（3）梯形面积的对应份数为： ( 、 为份数)2【3】已知四边形 ABCD，O 是 BD 的中点。 NE、MF 相交于点 O。那么 OPOQ【例 1】已知正方形的面积为 12，E、F 是 DC 上三等分点。求阴影部分的面积。【分析提示】：由 E、F 是 DC 上三等分点可知， 。:1:3AB设 (份) ，根据梯
2、形蝴蝶定理 1 可以知道 份,EOFS ()OEFS份。AB又 。()DEBFC从而阴影部分的面积为： 。【例 2】如图，四边形 ABCD 被两条对角线分成 4 个三角形，其中三个三角形的面积如图所示。求（1） ;BGCS(2) 。:A【分析提示】：根据任意四边形中蝴蝶定理可以知道 ,123BGCS那么 6BGCS（2） AB CDO123S4abDACBEFM NOP QABCDEFOABCDG12 3AB CDO1S2342。【训练与提高】1.在直角梯形 ABCD 中， AB=15 厘米， AD=12 厘米，阴影部分的面积为 15 平方厘米。梯形ABCD的面积是多少平方厘米？解答:连接 A
3、E,可得 ，。而因 为15AEFBCS()ABCS再次用蝴蝶定理可求 所以 ABCDS2如图，在一个边长为 6 的正方形中，放入一个 边长为 2 的正方形，保持与原正方形的边平行，现在分别连接大正方形的一个顶点与小正方形的两个顶点，形成了图中的阴影图形，那么阴影部分的面积为多少？解法一：取特殊值，使得两个正方形的中心相重合，如右图所示， 图中四个空白三角形的高均为（ ），因此空白处的总面积为（ ），阴影部分的面积为（ ）（ ）。解法二：连接两个正方形的对应顶点，可以得到四个梯形，这四个梯形的上底都为 2，下底都为 6，上底、下底之比 为（ ），根据梯形蝴蝶定理，这四个梯形每个梯形中的四个小三角形的面积之比为（ ），所以每个梯形中的空白三角形占该梯形面积的（ ），阴影部分的面积占该梯形面积的（ ），所A BCDF1512E3以阴影部分的总面积是四个梯形面积之和的（ ），那么阴影部分的面积为（ ）。
