1、行成于思，学止于行！Nigel-958617526 1三元一次方程组及其解法1.三元一次方程的定义：含有三个未知数的一次整式方程2.三元一次方程组：由三个一次方程(一元、二元或三元)组成并含有三个未知数的方程组叫做三元一次方程组3. 三元一次方程组的解：能使三个方程左右两边都成立的三个未知数的值解题思路：利用消元思想使三元变二元，再变一元4.三元一次方程组的解法：用代入法或加减法消元，即通过消元将三元一次方程组转化为二元一次方程组，再转化为一元一次方程例题解析一、三元一次方程组之特殊型例 1：解方程组 yxz4251分析：方程是关于 x 的表达式，通过 代入消元法 可直接转化为二元一次方程组，
2、因此确定“消 x”的目标。解法 1：代入法，消 x.把分别代入、得 2561zy解得 2,.yz把 y=2 代入，得 x=8. 是原方程组的解.8,2xyz根据方程组的特点，可归纳出此类方程组为：类型一：有表达式，用代入法型.针对上例进而分析，方程组中的方程里缺 z,因此利用、消 z,也能达到消元构成二元一次方程组的目的。 解法 2：消 z.5 得 5x+5y+5z=60 - 得 4x+3y=38 由、得 384yx行成于思，学止于行！Nigel-958617526 2解得 8,2.xy把 x=8,y=2 代入得 z=2. 是原方程组的解.8,2xyz根据方程组的特点，可归纳出此类方程组为：类
3、型二：缺某元，消某元型.例 2：解方程组 17265zyx分析：通过观察发现每个方程未知项的系数和相等；每一个未知数的系数之和也相等，即系数和相等。具备这种特征的方程组，我们给它定义为“轮换方程组” ，可采取求和作差的方法较简洁地求出此类方程组的解。解：由+得 4x+4y+4z=48，即 x+y+z=12 .-得 x=3，-得 y=4，-得 z=5， 是原方程组的解.3,45xyz典型例题举例：解方程组 20,19.xyz解：由+得 2(x+y+z)=60 ， 即 x+y+z=30 . -得 z=10，-得 y=11，-得 x=9，行成于思，学止于行！Nigel-958617526 3 是原方
4、程组的解.9,10xyz根据方程组的特点，由学生归纳出此类方程组为：类型三：轮换方程组，求和作差型.例 3：解方程组 21327:zyx分析 1：观察此方程组的特点是未知项间存在着比例关系，根据以往的经验，看见比例式就会想把比例式化成关系式求解，即由 x:y=1:2 得 y=2x； 由x:z=1:7 得 z=7x.从而从形式上转化为三元一次方程组的一般形式，即，根据方程组的特点，可选用“有表达式，用代入法”2,731.yxz 求解。解法 1：由得 y=2x，z=7x ，并代入，得 x=1.把 x=1，代入 y=2x，得 y=2；把 x=1，代入 z=7x，得 z=7. 是原方程组的解.1,27
5、xyz分析 2：由以往知识可知遇比例式时，可设一份为参数 k，因此由方程x:y:z=1：2：7，可设为 x=k,y=2k,z=7k.从而也达到了消元的目的，并把三元通过设参数的形式转化为一元，可谓一举多得。解法 2：由设 x=k,y=2k,z=7k，并代入，得 k=1.把 k=1，代入 x=k，得 x=1；把 k=1，代入 y=2k，得 y=2；把 k=1，代入 z=7k，得 z=7. 是原方程组的解.1,27xyz行成于思，学止于行！Nigel-958617526 4典型例题举例：解方程组 4:5231zyx分析 1：观察此方程组的特点是方程、中未知项间存在着比例关系，由例 3 的解题经验，
6、易选择将比例式化成关系式求解，即由得 x = y； 由23得 z= .从而利用代入法求解。45y解法 1：略.分析 2：受例 3 解法 2 的启发，想使用设参数的方法求解，但如何将、转化为 x:y:z 的形式呢？通过观察发现、中都有 y 项，所以把它作为桥梁，先确定未知项 y 比值的最小公倍数为 15，由5 得 y:x=15:10 ，由3 得 y:z=15:12,于是得到 x:y:z=10:15:12,转化为学生熟悉的方程组形式，就能解决了。解法 2：由、得 x:y:z=10:15:12.设 x=10k,y=15k,z=12k，并代入，得 k=3.把 k=3，代入 x=10k，得 x=30；把
7、 k=3，代入 y=15k，得 y=45；把 k=3，代入 z=12k，得 z=36. 是原方程组的解.30,456xyz根据方程组的特点，由学生归纳出此类方程组为：类型四：遇比例式找关系式，遇比设元型.二、三元一次方程组之一般型例 4：解方程组34,6212.xyz分析：对于一般形式的三元一次方程组的求解，应该认清两点：一是确立消元目标消哪个未知项；二是在消元的过程中三个方程式如何正确的使用，怎么才能做到“目标明确，消元不乱” ，为此归纳出：（一） 消元的选择行成于思，学止于行！Nigel-958617526 51.选择同一个未知项系数相同或互为相反数的那个未知数消元；2.选择同一个未知项系
8、数最小公倍数最小的那个未知数消元。（二） 方程式的选择采取用不同符号标明所用方程，体现出两次消元的过程选择。解： 123264zyx（明确消 z，并在方程组中体现出来画线）+ 得 5x+2y=16， (体现第一次使用在后做记号)+ 得 3x+4y=18， (体现第二次使用在后做不同记号)由、得 5216,348.xy解得 ,.y把 x=2 ，y=3 代人，得 z=1. 是原方程组的解.2,31xyz典型例题举例：解方程组2439,5167.xyz分析：通过比较发现未知项 y 的系数的最小公倍数最小，因此确定消 y。以方程作为桥梁使用，达到消元求解的目的。解：2 得 6x4y+10z=22， 2
9、x +4y+ 3z=9， + 得 8x +13z=31 . 3 得 9x6y+15z=33 ，5x6y+7z =13， 得 4x +8z =20 .x +2z=5 . 行成于思，学止于行！Nigel-958617526 6由、得 813,25.xz解得 ,3.z把 x=-1 ，z=3 代人 ，得 .21y 是原方程组的解 .1,23.xyz在此需要说明的是，每一个三元一次方程组的求解方法都不是唯一的，需要进一步的观察，但是学生只要掌握了最基本的解方程组思想和策略，就可以以不变应万变，就可以很容易的学会三元一次方程组的解法。课堂练习1.解下列方程组（1） （2）20xyz 6810xyz2解下列
10、方程组（1） （2）63zxy 17234xyz行成于思，学止于行！Nigel-958617526 73有这样一个数学题：在等式 中，当 x=1 时，y=1；当 y=32yaxbc时，y=9，当 x=5 时，y=5.（1）请你列出关于 a,b,c 的方程组.这是一个三元三次方程组吗？（2）你能求出 a,b,c 的值吗？4.解方程组 5.解方程组4285xyz 324856xyz6.解方程组 7. 解方程组 ，21348xyz 345abc行成于思，学止于行！Nigel-958617526 8行成于思，学止于行！Nigel-958617526 9行成于思，学止于行！Nigel-958617526
11、 10三元一次方程组的实际应用EG01:某车间有 60 人，生产甲乙丙三种零件，每人每小时能生产甲 24 个，或乙 20 个，或丙 16 个，现用零件甲 9 个，乙 15 个，丙 12 个，装配成某机件，如何安排劳动力，才能使每小时生产的零件恰好成套？共有多少套？解：设生产甲、乙、丙三种零件各有 x 人，y 人，z 人.根据题意得x+y+z=6024x/9=20y/15=16z/12解得 x=12,y=24,z=242412/9=32答：安排生产甲、乙、丙三种零件各有 12 人，24 人，24 人，共有 32 套.EG02: 甲、乙、丙三个数的和是 35，甲数的 2 倍比乙数大 5，乙数的1/
12、3（三分之一）等于丙数的 1/2（二分之一） ，求这三个数。解: 设甲是 x，乙是 y，丙是 z 则 x+y+z=35 (1) 甲数的 2 倍比乙数大 5 2x-y=5 (2) 行成于思，学止于行！Nigel-958617526 11乙数的 1/3（三分之一）等于丙数的 1/2 y/3=z/2 (3) 由(2)和(3)得到 y=2x-5,z=2y/3=(4x-10)/3 代入(1) x+2x-5+4x/3-10/3=35 13x/3=130/3 x=10 y=2x-2=15 z=2y/3=10 所以 甲是 10，乙是 15，丙是 10EX: 1.有甲乙丙三种货物，若购物甲种 3 件，乙种 7
13、件，丙 1 件需要 31.5 元，如果购买甲 4 件，乙 10 件，丙 1 件共需要 42 元，若购甲乙丙各一件，需要 10.5元。问甲乙丙每件各多少元？ 2.汽车在平路上每小时行 30 公里，上坡时每小时行 28 公里，下坡时每小时行 35 公里，现在行驶 142 公里的路程用去 4 小时三十分钟，回来使用 4 小时42 分钟，问这段平路有多少公里？去时上下坡路各有多少公里？ 3.某校初中三个年级一共有 651 人，初二的学生数比初三学生数多 10%，初一的学生数比初二的学生数多 5%。求三个年级各有多少人？AW: 1 式子：3x+7y+z=31.5 4x+10y+z=42 x+y+z=10
14、.5 答案：？这题有问题，多解的（只要符合 x+3y=10.5)就行，真不知楼上怎么算出来的。 。 2：去时上坡 x 平路 y 下坡 z x+y+z=142 x/28+y/30+z/35=4.5 z/28+y/30+x/35=4.7 答案：x=42 y=30 z=70 3:初一：x 初二：y 初三：z x+y+z=651 y=1.1z x=1.05y 答案：x=231 y=220 z=200行成于思，学止于行！Nigel-958617526 12训练集中营 1。现有 1 角，5 角，1 元硬币各 10 枚从中取出 15 枚，共值7 元，1 角，5 角，1 元各取几枚？ 2。甲地到乙地全称是 3
15、.3KM，一段上坡，一段平路，一段下坡，如果保持上坡每小时行 3KM，平路每小时行 4KM，下坡每小时行 5KM，那么，从甲地到乙地需行 51 分，从乙地到甲地需行 53.4 分，求从甲地到乙地时的上坡。平路。下坡的路程各是多少？ 3。水费价格：不超过 6 立方米部分，每立方米 2 元。超过 6 立方米至 10 立方米部分，每立方米 4 元。超过 10 立方米部分，每立方米 8 元。某居民三月和四月共用水 15 立方米，交水费 44 元， （四月用水量多于三月用水量） ，求三月和四月用水量？如果某居民某月用水量是 13.5 立方米，则他需要交水费多少元？ 4。某足球联赛一个赛季共进行 26 场
16、比赛（即每队均赛 26 场） ，其中胜一场得三分，平一场得一分，负一场得 0 分。某队在这个赛季中平局的场数比负的场数多 7 场，结果共得 34 分。这个队在这个赛季中胜，平，负各多少场？ 5。学校的篮球数比排球数的 2 倍少 3 个，足球数与排球数的比是 2：3，三种球共 41 个，求三种球各有多少 6。一个水池装有甲、乙进水管和丙出水管，若打开甲管 4 小时，乙管 2 小时和丙管 2 小时，则水池中余水 5 吨；若打开甲管 2 小时，乙管 3 小时，丙管 1 小时，则池中余水 1 吨，求打开甲管 22 小时，乙管 5 小时，丙管 11 小时，池中余水多少吨？ 7。小红买了面值为 50 分和
17、 230 分的邮票共 8 枚，共用去 9 元 4 角问 50 分和230 分的邮票各买几枚？ 8。运往某地的两批货物，第一批为 440 吨，用 8 节火车车厢和 10 辆汽车正好运完；第二批货物 520 吨，多用了 2 节火车车厢而少用了 5 辆汽车，正好运完。求每节火车车厢和每辆汽车平均各装多少吨？ 9。1、有一批零件共 420 个，若甲先做 2 天，乙加入，合作 2 天可以完成；若乙先做 2 天，甲加入，合作 3 天可以完成，求二人每天平均做多少个？ 10。 、张红用 7 元钱买 2 角和 5 角一张的邮票共 20 张，问两种邮票各买多少张？11。有甲乙两数，甲数的 3 倍与乙数的 2 倍
18、之和是 47，甲数的 5 倍比乙数的 6倍小 1，求这两个数。 行成于思，学止于行！Nigel-958617526 1312。某车队运一批货物，若每辆装 3.5 吨，就有 2 吨运不走，若每辆多装 0.5吨，则还可以装其他货物 1 吨，问有多少辆车？多少吨货物？ 13。已知甲、乙两辆汽车同时、同方向从同一地点 A 出发行驶 （1）若甲车的速度是乙车的 2 倍，甲车走了 90 千米后立即返回与乙车相遇，相遇时乙车走了 1 小时求甲、乙两车的速度； （2）假设甲、乙每辆车最多只能带 200 升汽油，每升汽油可以行驶 10 千米，途中不能再加油，但两车可以互相借用对方的油，若两车都必须沿原路返回到出发点 A，请你设计一种方案使甲车尽可能地远离出发点 A，并求出甲车一共行驶了多少米？
