1、【高效整合篇】专题八 圆锥曲线（理科）一考场传真1. 【南京市、盐城市最新高三年级第一次模拟考试数学】在平面直角坐标系 中，已知抛xOy物线 的顶点在坐标原点，焦点在 轴上，若曲线 经过点 ，则其焦点到准线的距CxC(1,3)P离为 .【答案】92【解析】试题分析：由题意设抛物线方程为 ，又因为过点 ，则p= 即为焦点到准2ypx(1,3)P92线距离2. 【南京市、盐城市最新高三年级第一次模拟考试数学】过点 的直线 与圆(4,0)l相交于 两点，若点 恰好是线段 的中点，则直线 的方程为 2:(1)5Cxy,ABB.【答案】 340【解析】3. 【苏州市最新高三年级第一次模拟考试】双曲线 的
2、离心率为 2145xy【答案】32【解析】试题分析：由题意得2234,59.2cabcea4. 【苏州市最新高三年级第一次模拟考试】若直线 和直线 将圆1:lyxa2:lyxb分成长度相等的四段弧，则 22(1)()8xy2b【答案】18【解析】5. 【扬州市2015最新学年度第一学期期末检测试题】双曲线 的焦点到渐近线的距离为 .1692yx【答案】4【解析】试题分析：焦点 ，渐近线 ，即 ，则5,043yx0y245d6. 【扬州市2015最新学年度第一学期期末检测试题】已知圆O： ，若不过原点O的直线 与2l圆O交于 、 两点，且满足直线 、 、 的斜率依次成等比数列，则直线PQOPQ的
3、斜率为 .【答案】 1【解析】试题分析：设 ，代入圆的方程，化简得:(0)lykxb22(1)40kxb：设 ，得 ， 12,PxQ121224,kbxx12121212opqybbkk x，由2 222 24() 44kbkkbb b得opqlk解得22b1k7. 【淮安、宿迁、连云港、徐州苏北四市最新高三第二次调研】抛物线 的焦点到双xy42曲线 渐近线的距离为 1962yx【答案】358. 【泰州市最新高三第一次模拟考试】在平面直角坐标系 中，双曲线 的实轴xOy21xy长为 【答案】 2【解析】试题分析：由双曲线方程得， ，则实轴长为2a2a9. 【泰州市最新高三第一次模拟考试】已知直
4、线 与圆 相(0)ykx2:()1Cxy交于 两点，若 ，则 ,AB25k【答案】12【解析】试题分析：圆心 ，半径为1，圆心到直线距离 ，而 ，得,0C21kd25AB，解得225()1k2k10. 【泰州市最新高三第一次模拟考试】在平面直角坐标系 中，已知点 分别为 轴，xOy,ABx轴上一点，且 ，若点 ，则 的取值范围是 yAB(,5)PABP【答案】 7,1【解析】二高考研究1.考纲要求：(1)直线方程：在平面直角坐标系中，结合具体图形，确定直线位置的几何要素.能根据两条直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式.能根据两条直线的斜率判定这两条直线平行或垂直.掌握正确直
5、线位置的几何要素，掌握直线方程的几种形式(点斜式、两点式及一般式),了解斜截式与一次函数的关系.能用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标.掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离.(2)圆与方程：掌握确定圆的几何要素，掌握圆的标准方程与一般方程.能根据给定直线、圆的方程判断直线与圆的位置关系;能根据给定两个圆的方程判断两圆的位置关系.能用直线和圆的方程解决一些简单的问题.初步了解用代数方法处理几何问题的思想.()圆锥曲线：了解圆锥曲线的实际背景，了解圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用. 掌握椭圆、抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单性质.了解双曲线的定义
6、、几何图形和标准方程.知道它的简单几何性质.了解圆锥曲线的简单应用.理解数形结合的思想(2)曲线与方程：了解方程的曲线与与曲线方程的对应关系.2.命题规律：1、题量稳定：解析几何与立体几何相似，在高考试卷中试题所占分值比例较大.一般地，解析几何在高考试卷中试题大约出现3个题目左右，其中选择题、填空题占两道，解答题占一道；其所占平均分值为22分左右，所占平均分值比例约为14%.2、整体平衡，重点突出：重点内容重点考，重点内容年年考.以2014年全国新课标卷数学高考考试说明为参考，可理解为有19个知识点，一般考查的知识点在60左右，其中三大圆锥曲线知识的考查几乎没有遗漏，通过对知识的重新组合，考查
7、时既注意全面，更注意突出重点， 对支撑数学科知识体系的主干知识，考查时保证较高的比例并保持必要深度.直线与圆的方程，圆锥曲线的定义、标准方程、几何性质等是支撑解析几何的基石，也是高考命题的基本元素高考十分注重对这些基础知识的考查，有的是考查定义的理解和应用，有的是求圆锥曲线的标准方程，有的是直接考查圆锥曲线的离心率，有的是考查直线与圆和圆锥曲线的位置关系等数学高考对解析几何内容的考查主要集中在如下几个类型：求曲线方程（类型确定，甚至给出曲线方程）；直线、圆和圆锥曲线间的交点问题（含切线问题）；与圆锥曲线定义有关的问题（涉及焦半径、焦点弦、焦点三角形和准线，利用余弦定理等）与曲线有关的最值问题（
8、含三角形和四边形面积）；与曲线有关的几何证明(圆线相切、四点共圆、对称性或求对称曲线、平行、垂直等)；探求曲线方程中几何量及参数间的数量特征(很少)；3、题型稳定，中规中矩，不偏不怪，内容及位置也很稳定.解析几何试题的难度都不算太大，选择题、填空题大多属易中等题，圆一般不单独考查，总是与直线、圆锥曲线相结合的综合型考题.高考一般不给出图形，以考查学生的想象能力、分析问题的能力，从而体现解析几何的基本思想和方法，解答题加大与相关知识的联系（如向量、函数与导数、方程、不等式等），难度不是太大，所有问题均很直接，都不具备探索性.特别是近几年的解答题都与圆有关，计算量减少，但思考量增大，对于用代数方法
9、研究有关直线与椭圆、抛物线位置关系问题，体现在解法上，不仅仅只是利用根与系数关系研究，而是在方法的选择上更加灵活，如联立方程求交点或向量的运算等，思维层次的要求并没有降低. 若再按以前的“解几套路”解题显然难以成功. 试题平均难度为0.29（其中选择、填空难度0.150.52，平均难度0.29，解答题难度在0.110.30，平均难度0.17）.一基础知识整合基础知识：1. 直线的倾斜角和斜率：任何直线都有倾斜角，但不一定都有斜率，如倾斜角等于90时，斜率不存在；若两直线的倾斜角相等，斜率相等或都不存在；若两条直线的斜率相等，则两直线的倾斜角相等；当倾斜角为锐角时，倾斜角越大，斜率也越大；当倾斜
10、角为钝角时，倾斜角越大，斜率也越大；与 轴平行或重合的直线的倾斜角为零，斜率也为零；x2. 直线的方程：点斜式： ； 截距式： ；两点式：)(11xkybkxy； 1212xy截距式： ；一般式： ，其中A、B不同时为0.ba0CyAx3两条直线的位置关系：两条直线 ， 有三种位置关系：平行（没有公共点）；相交（1l2有且只有一个公共点）；重合（有无数个公共点）.在这三种位置关系中，我们重点研究平行与相交.两直线平行 两直线的斜率相等或两直线斜率都不存在；两直线垂直 两直线的斜率之积为 或一直线斜率不存在，另一直线斜率为零；1与已知直线 平行的直线系方程为0(,)AxByCAB 0()AxBy
11、mC；若给定的方程是一般式，即 l1： A1x B1y C10和 l2： A2x B2y C20，则有下列结论：l1 l2 A1B2 A2B10且 B1C2 B2C10； l1 l2 A1A2 B1B20.两平行直线间距离公式：与 的距离1(,)xy2120(,)AxyC2|CdAB圆的有关问题：圆的标准方程： （r0），称为圆的标准方程，其圆心坐标为（a22)()(byax，b），半径为r，特别地，当圆心在原点（0，0），半径为r时，圆的方程为 22ryx，几种特殊的圆的方程设圆的圆心为 ，半径为(,)abr（1）若圆过坐标原点，则圆的标准方程为： 222()()xayba（2）若圆与x轴相
12、切，则圆的标准方程为：（3）若圆与y轴相切，则圆的标准方程为： 22()()（4）若圆心在x轴上，则圆的标准方程为： xayr（5）若圆心在y轴上，则圆的标准方程为： 22()b（6）若圆与坐标轴相切，则圆的标准方程为： 或2a22()()xbb圆的一般方程： （ 0）称为圆的一般方程，0FEyDxy FE42其圆心坐标为（ ， ），半径为 .2DEFEDr4212当 =0时，方程表示一个点（ ， ）；FE42当 0时，方程不表示任何图形.圆的参数方程：圆的普通方程与参数方程之间有如下关系：（为参数）22ryxcosinxry（为参数）22)()(rbacosinarb直线与圆的位置关系：直线
13、与圆的位置关系的判断：【方法一】几何法：根据圆心与直线的距离与半径的大小关系进行判断；设圆心到直线的距离为 ，圆的半径为 ，则dr（1） 直线与圆相交 直线与圆有两个公共点；r（2） 直线与圆相离 直线与圆无公共点；（3） 直线与圆相切 直线与圆有且只有一个公共点；d【方法二】代数法：把直线的方程圆的方程联立方程组，消去其中一个未知数得到关于另外一个数的未知数的一元二次方程，则 （1） 直线与圆相交 直线与圆有两个公共点；0（2） 直线与圆相离 直线与圆无公共点；（3） 直线与圆相切 直线与圆有且只有一个公共点；若直线与圆相交，设弦长为 ，弦心距为 ，半径为 ，则ldr2lrd圆与圆的位置关系
14、：圆与圆的位置关系的判断：设两个圆的圆心分别为 ，半径分别为 ，则12,O12,（1） 圆与圆相离 两个圆有四条公切线；122|Or（2） 圆与圆相交 两个圆有两条公切线；1|r（3） 圆与圆相外切 两个圆有三条公切线；122|r（4） 圆与圆相内切 两个圆有一条公切线；|（5） 圆与圆相内含 两个圆没有公切线；122|Or若圆 与圆 相交，则公共弦所在10xyDxEyF2220xyDxEyF的直线方程为 ；121212()()()0DxEyF椭圆及其标准方程：椭圆的定义：椭圆的定义中，平面内动点与两定点 、 的距离的和大于| |这个条121F2件不可忽视.若这个距离之和小于| |，则这样的点
15、不存在；若距离之和等于| |12，则动点的轨迹是线段 .1F2椭圆的标准方程： （ 0）， （ 0）.byaxab12bxaya椭圆的标准方程判别方法：判别焦点在哪个轴只要看分母的大小：如果 项的分母大于2x项的分母，则椭圆的焦点在x轴上，反之，焦点在y轴上.2求椭圆的标准方程的方法： 正确判断焦点的位置； 设出标准方程后，运用待定系数法求解.如果已知椭圆过两个点（不是在坐标轴上的点），求其标准方程时，为了避免对焦点的讨论可以设其方程为 或 ；21(0,)AxBy21(0,)xyAB椭圆的参数方程： 椭圆 （ 0）的参数方程为 （为参数）.12byaxabcosinxayb说明 这里参数叫做椭
16、圆的离心角.椭圆上点P的离心角与直线OP的倾斜角不同：； 椭圆的参数方程可以由方程 与三角恒等式tnt 12ax相比较而得到，所以椭圆的参数方程的实质是三角代换.1sico22椭圆的简单几何性质椭圆的几何性质：设椭圆方程为 （ 0）.12byaxab范围： -axa，-bxb，所以椭圆位于直线x= 和y= 所围成的矩形里.对称性：分别关于x轴、y轴成轴对称，关于原点中心对称.椭圆的对称中心叫做椭圆的中心.顶点：有四个 （-a，0）、 （a，0） （0，-b）、 （0，b）. 线段 、1A21B21A21B分别叫做椭圆的长轴和短轴.它们的长分别等于2a和2b，a和b分别叫做椭圆的长半轴长2B和短
17、半轴长. 所以椭圆和它的对称轴有四个交点，称为椭圆的顶点.离心率：椭圆的焦距与长轴长的比 叫做椭圆的离心率.它的值表示椭圆的扁平程度.0acee1.e越接近于1时，椭圆越扁；反之，e越接近于0时，椭圆就越接近于圆.椭圆的第二定义：平面内动点M与一个顶点的距离和它到一条定直线的距离的比是常数（e1时，这个动点的轨迹是椭圆.ac准线：根据椭圆的对称性， （ 0）的准线有两条，它们的方程为12byaxab.对于椭圆 （ 0）的准线方程，只要把x换成y就可以了，即cx22y.ay2椭圆的焦半径：由椭圆上任意一点与其焦点所连的线段叫做这点的焦半径.设 （-1Fc，0）， （c，0）分别为椭圆 （ 0）的
18、左、右两焦点，M（x，y）2 12byaxab是椭圆上任一点，则两条焦半径长分别为 ， ，椭圆中涉及焦eFexaF2半径时运用焦半径知识解题往往比较简便.椭圆的四个主要元素a、b、c、e中有 = + 、 两个关系，因此确定椭圆的标准2ab2c方程只需两个独立条件.在椭圆中，如果一个三角形的两个顶点是焦点 ，另一个顶点 在椭圆上，称该三角12,FP形为焦点三角形，则三角形 的周长为定值等于 ，面积等于12FPac212tanFPb，其中 是短半轴的长；b过焦点垂直于对称轴的弦长即通径长为2b2a双曲线及其标准方程：双曲线的定义：平面内与两个定点 、 的距离的差的绝对值等于常数2a（小于| |1F
19、2 1F2）的动点 的轨迹叫做双曲线.在这个定义中，要注意条件2a| |，这一条件可以M1F2用“三角形的两边之差小于第三边”加以理解.若2a=| |，则动点的轨迹是两条射线12；若2a| |，则无轨迹.1F2若 时，动点 的轨迹仅为双曲线的一个分支，又若 时，轨迹1M2为双曲线的另一支.而双曲线是由两个分支组成的，故在定义中应为“差的绝对值”.双曲线的标准方程： 和 （a0，b0）.这里 ，其12byax12x 22acb中| |=2c.要注意这里的a、b、c及它们之间的关系与椭圆中的异同.1F2双曲线的标准方程判别方法是：如果 项的系数是正数，则焦点在x轴上；如果 项的系2 2y数是正数，
20、则焦点在y轴上.对于双曲线， 不一定大于 ，因此不能像椭圆那样，通过比ab较分母的大小来判断焦点在哪一条坐标轴上.求双曲线的标准方程，应注意两个问题： 正确判断焦点的位置； 设出标准方程后，运用待定系数法求解.如果已知双曲线过两个点（不是在坐标轴上的点），求其标准方程时，为了避免对焦点的讨论可以设其方程为 或21(0)AxBy21(0)xyAB双曲线的简单几何性质双曲线 的实轴长为 ，虚轴长为 ，离心率 1，离心率e越大，双12byax2a2bac曲线的开口越大.双曲线 的渐近线方程为 或表示为 .若已知双曲线的渐2yxxay02by近线方程是 ，即 ，那么双曲线的方程具有以下形式：xnm0n
21、，其中k是一个不为零的常数.yx22双曲线的第二定义：平面内到定点（焦点）与到定直线（准线）距离的比是一个大于1的常数（离心率）的点的轨迹叫做双曲线.对于双曲线 ，它的焦点坐标是（-12byaxc，0）和（c，0），与它们对应的准线方程分别是 和 .cax2在双曲线中，a、b、c、e四个元素间有 与 的关系，与椭圆一样确定双ace22b曲线的标准方程只要两个独立的条件.在双曲线中，如果一个三角形的两个顶点是焦点 ，另一个顶点 在椭圆上，称该三12,FP角形为焦点三角形，则面积等于 ，其中 是虚半轴的长；21tanbPb过焦点垂直于对称轴的弦长即通径长为29抛物线的标准方程和几何性质抛物线的定义
22、：平面内到一定点（F）和一条定直线（l）的距离相等的点的轨迹叫抛物线.这个定点F叫抛物线的焦点，这条定直线l叫抛物线的准线.需强调的是，点F不在直线l上，否则轨迹是过点F且与l垂直的直线，而不是抛物线.抛物线的方程有四种类型： 、 、 、 .2ypx2ypx2y2xpy对于以上四种方程：应注意掌握它们的规律：曲线的对称轴是哪个轴，方程中的该项即为一次项；一次项前面是正号则曲线的开口方向向x轴或y轴的正方向；一次项前面是负号则曲线的开口方向向x轴或y轴的负方向.抛物线的几何性质，以标准方程y2=2px为例（1）范围：x0；（2）对称轴：对称轴为y=0，由方程和图像均可以看出；（3）顶点：O（0，
23、0），注：抛物线亦叫无心圆锥曲线（因为无中心）；（4）离心率：e=1，由于e是常数，所以抛物线的形状变化是由方程中的p决定的；（5）准线方程 ；2px（6）焦半径公式：抛物线上一点 ，F为抛物线的焦点，对于四种抛物线的焦半径1(,)Pxy公式分别为（p0）： 2 21:;:2ppypxPF2 21 1:;:xyPFxy（7）焦点弦长公式：对于过抛物线焦点的弦长，可以用焦 半径公式推导出弦长公式.设过抛物线y2=2px（pO）的焦点F的弦为AB，A ，B ，AB的倾斜角为 ，则有1(,)x2(,)y或 ，以上两公式只适合过焦点的弦长的求法，对于其它的12Bx2sinpB弦，只能用“弦长公式”来求
24、.在抛物线中，以抛物线的焦点弦为直径的圆与该抛物的对应准线相切；10轨迹方程： 曲线上的点的坐标都是这个方程的解； 以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点.那么，这个方程叫做曲线的方程；这条曲线叫做方程的曲线（图形或轨迹）11直线与圆锥曲线的位置关系：直线与圆锥曲线的相离关系，常通过求二次曲线上的点到已知直线的距离的最大值或最小值来解决直线与圆锥曲线仅有一个公共点，对于椭圆，表示直线与其相切；对于双曲线，表示与其相切或与双曲线的渐近线平行，对于抛物线，表示直线与其相切或直线与其对称轴平行直线与圆锥曲线有两个相异的公共点，表示直线与圆锥曲线相割，此时直线被圆锥曲线截得的线段称为圆锥曲线的弦直线
25、被圆锥曲线所截得弦为 ，则长为l AB221|1|ABABkxyk，其中 为直线 的斜率kl直线与圆锥曲线相交问题的解法：利用“点差法”来解决中点弦问题，其基本思路是设点（即设出弦的端点坐标）代入（即将端点代入曲线方程）作差（即两式相减）得出中点坐标与斜率的关系.韦达定理法：将直线方程代入圆锥曲线的方程，消元后得到一个一元二次方程，利用韦达定理和中点坐标公式建立等式求解必备方法：1.点差法（中点弦问题）设 、 ， 为椭圆 的弦 中点则有1,yxA2,yxBbaM, 1342yxAB， ；两式相减得34211340221y=22212 yyxxABkba42联立消元法： 设直线的方程，并且与曲线
26、的方程联立，消去一个未知数，得到一个二次方程，使用判别式 ，以及根与系数的关系，代入弦长公式，设曲线上的两点 ，将0 12(,)(,)xyB这两点代入曲线方程得到 两个式子，然后 - 1 2 1，整体消元，若有两个字母未知数，则要找到它们的联系，消去一个，比 2如直线过焦点，则可以利用三点A、B、F共线解决之.若有向量的关系，则寻找坐标之间的关系，根与系数的关系结合消元处理.一旦设直线为 ，就意味着 存在.ykxbk3设而不求法例：如图，已知梯形ABCD中 ，点E分有向线段 所成的比为 ，双曲线过C、CDAB2AD、E三点，且以A、B为焦点当 时，求双曲线离心率 的取值范围.43e分析：本小题
27、主要考查坐标法、定比分点坐标公式、双曲线的概念和性质，推理、运算能力和综合运用数学知识解决问题的能力.建立直角坐标系 ，如图，若设C ，代入xOyhc, 2，求得 ，进而求得 再代入 ，建立目标函12byaxh ,Exy 12ba数 ，整理 ，此运算量可见是难上加难.我们对 可采取设而不(,)0fc(,)0feh求的解题策略,建立目标函数 ，整理 ,化繁为简.,abc(,)0fe解法一：如图，以AB为垂直平分线为 轴，直线AB为 轴，建立直角坐标系 ，则CDyxxOy轴因为双曲线经过点C、D，且以A、B为焦点，由双曲线的对称性知C、D关于 轴对称 y依题意，记A ，C ，E ，其中 为双曲线的
28、半焦距， 是梯形0 ,ch, 20 ,x|21ABch的高，由定比分点坐标公式得 ， ，设双曲线的方程为110c0hy，则离心率12byaxae由点C、E在双曲线上，将点C、E的坐标和 代入双曲线方程得ace， 142bhe 11242bh由式得 ， 42e将式代入式，整理得 ，故 2142e 132e由题设 得， ，解得 432312e07所以双曲线的离心率的取值范围为 10 ,7分析：考虑 为焦半径,可用焦半径公式, 用 的横坐标表示，回避AEC,AEC,的计算, 达到设而不求的解题策略h解法二：建系同解法一， ，,ECAaexAaex211Ecc，又 ，代入整理 ，由题设 得， ，解1A
29、EC132e432432e得 07e所以双曲线的离心率的取值范围为 0 ,74.判别式法例：已知双曲线 ，直线 过点 ，斜率为 ，当 时，双曲线12:xyCl,2Ak10的上支上有且仅有一点B到直线 的距离为 ，试求 的值及此时点B的坐标.分析1：解析几何是用代数方法来研究几何图形的一门学科，因此，数形结合必然是研究解析几何问题的重要手段. 从“有且仅有”这个微观入手，对照草图，不难想到：过点B作与平行的直线，必与双曲线C相切. 而相切的代数表现形式是所构造方程的判别式 . l 0由此出发，可设计如下解题思路：解题过程略.分析2：如果从代数推理的角度去思考，就应当把距离用代数式表达，即所谓“有
30、且仅有一点B到直线 的距离为 ”，相当于化归的方程有唯一解. 据此设计出如下解题思路：l2转化为一元二次方程根的问题求解问题关于x的方程 有唯一10212kkx解简解：设点 为双曲线C上支上任一点，则点M到直线 的距离为：)2,(x l212kx10k于是，问题即可转化为如上关于 的方程.x由于 ，所以 ，从而有0k2于是关于 的方程 .22xkxk x)1(20)1( ,)2)(22kkkx.0)1(2 ,)(2kxk由 可知： 方程0的二根同正，故02)1(2)(22 kx恒成立，于是 等价于0)1(kxk .)()1(222 x由如上关于 的方程有唯一解，得其判别式 ，就可解得 .x05
31、2k点评：上述解法紧扣解题目标，不断进行问题转换，充分体现了全局观念与整体思维的优越性.例：已知椭圆C: 和点P（4，1），过P作直线交椭圆于A、B两点，在线段AB上xy28取点Q，使 ，求动点Q的轨迹所在曲线的方程.APB分析：这是一个轨迹问题，解题困难在于多动点的困扰，学生往往不知从何入手.其实，应该想到轨迹问题可以通过参数法求解. 因此，首先是选定参数，然后想方设法将点Q的横、纵坐标用参数表达，最后通过消参可达到解题的目的.由于点 的变化是由直线AB的变化引起的，自然可选择直线),(yxQAB的斜率 作为参数，如何将 与 联系起来？一方面利用点Q在直线AB上；另一方kk面就是运用题目条件
32、： 来转化.由A、B、P、Q四点共线，不难得到，要建立 与 的关系，只需将直线AB的方程代入椭圆C的方程，利)(824BAxxxk用韦达定理即可. 据此设计出如下解题思路： 将直线方程代入椭圆方程，消去y，利用韦达定理利用点Q满足直线AB的方程：y = k (x4)+1，消去参数k点Q的轨迹方程QBAP)(824BAxxkfx在得到 之后，如果能够从整体上把握，认识到：所谓消参，目的不过是得到kfx关于 的方程（不含 k），则可由 解得 ，直接代入y, 1)4(xky41xyk即可得到轨迹方程.从而简化消去参的过程.kfx简解：设 ，则由 可得： ，),(,21yxQByA， QBAPxx21
33、214解之得： （1）)(8421x设直线AB的方程为： ，代入椭圆C的方程，消去 得出关于 4ky yx的一元二次方程：（2）08)1(2)(41222 xk ，代入（1），化简得： 212()8kx .34kx(3)与 联立，消去 得：)4(kyk.0)4(2xy在（2）中，由 ，解得 ，结合（3）可求得 046212k.91061x故知点Q的轨迹方程为： （ ）.042yx 906916x点评：由方程组实施消元，产生一个标准的关于一个变量的一元二次方程，其判别式、韦达定理模块思维易于想到. 这当中，难点在引出参，活点在应用参，重点在消去参.，而“引参、用参、消参”三步曲，正是解析几何综合
34、问题求解的一条有效通道.5.求根公式法例：设直线 过点P（0，3），和椭圆 顺次交于A、B两点，试求 的取值范l xy2941APB围.分析：本题中，绝大多数同学不难得到： = ，但从此后却一筹 莫展, PBAx问题的根源在于对题目的整体把握不够. 事实上，所谓求取值范围，不外乎两条路：其一是构造所求变量关于某个（或某几个）参数的函数关系式（或方程），这只需利用对应的思想实施；其二则是构造关于所求量的一个不等关系.分析1:从第一条想法入手， = 已经是一个关系式，但由于有两个变量 ，APBx BAx,同时这两个变量的范围不好控制，所以自然想到利用第3个变量直线 AB的斜率 k. 问题就转化为如
35、何将 转化为关于 k的表达式，到此为止，将直线方程代入椭圆方程BAx,，消去y得出关于 的一元二次方程，其求根公式呼之欲出.所求量的取值范围把直线l 的方程y = kx+3代入椭圆方程，消去 y得到关于x的一元二次方程xA= f（k），x B = g（k）得到所求量关于k的函数关系式求根公式AP/PB = （x A / xB）由判别式得出k的取值范围简解1：当直线 垂直于x轴时，可求得 ;l 51PBA当 与x轴不垂直时，设 ，直线 的方程为： ，代入椭圆方l)(,21yx， l3kxy程，消去 得 ，解之得 y045492kxk .4956272,1x因为椭圆关于y轴对称，点P在y轴上，所以
36、只需考虑 的情形.0k当 时， ， ，0k49562721kx 4956722kx所以 = = = .2PBA218221859k由 , 解得 ，所以 ，04918)54(22k52k21综上 .PBA分析2: 如果想构造关于所求量的不等式，则应该考虑到：判别式往往是产生不等的根源. 由判别式值的非负性可以很快确定 的取值范围，于是问题转化为如何将所求量与 联系k k起来. 一般来说，韦达定理总是充当这种问题的桥梁，但本题无法直接应用韦达定理，原因在于不是关于 的对称关系式. 21xPBA21,x原因找到后，解决问题的方法自然也就有了，即我们可以构造关于 的对称关系式.21,x把直线l 的方程
37、y = kx+3代入椭圆方程，消去 y得到关于x的一元二次方程xA+ xB = f（k），x A xB = g（k ）构造所求量与k的关系式关于所求量的不等式韦达定理AP/PB = （x A / xB）由判别式得出k的取值范围简解2：设直线 的方程为： ，代入椭圆方程，消去 得l3xyy（*）045492kxk则 ，令 ，则，.49,21kx21 .204531k在（*）中，由判别式 可得 ，从而有 ，所以 ,0952k 5362，解得 .结合 得 . 综上，53621451105.PBA点评：范围问题不等关系的建立途径多多，诸如判别式法，均值不等式法，变量的有界性法，函数的性质法，数形结合法
38、等等. 本题也可从数形结合的角度入手，给出又一优美解法.解题犹如打仗，不能只是忙于冲锋陷阵，一时局部的胜利并不能说明问题，有时甚至会被局部所纠缠而看不清问题的实质所在，只有见微知著，树立全局观念，讲究排兵布阵，运筹帷幄，方能决胜千里.椭圆与双曲线的经典结论一椭圆1. 点P处的切线PT平分PF 1F2在点P处的外角.2. PT平分PF 1F2在点P处的外角，则焦点在直线PT上的射影H点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点.3. 以焦点弦PQ为直径的圆必与对应准线相离.4. 以焦点半径PF 1为直径的圆必与 以长轴为直径的圆内切.5. 若 在椭圆 上，则过 的椭圆的切线方程是 .0(,)P
39、xy21xyab0P021xyab6. 若 在椭圆 外 0,2，则过Po作椭圆的两条切线切点为P 1、P 2，则切点弦P 1P2的直线方程是 .021xyab7. 椭圆 (ab0)的左右焦点分别为F 1，F 2，点P为椭圆上任意一点21xya，则椭圆的焦点角形的面积为 .12F12tanPSb8. 椭圆 （ab0）的焦半径公式：21xy, ( , ).10|Me2|Fex10)c2(,)F0,)Mxy9. 设过椭圆焦点F作直线与椭圆相交 P、Q两点，A为椭圆长轴上一个顶点，连结AP 和AQ分别交相应于焦点F的椭圆准线于M、N两点，则MFNF.10. 过椭圆一个焦点F的直线与椭圆交于两点P、Q,
40、 A1、A 2为椭圆长轴上的顶点，A 1P和A 2Q交于点M，A 2P和A 1Q交于点N，则MFNF.11. AB是椭圆 的不平行于对称轴的弦，M 为AB的中点，则21xyab),(0yx，2OMABk即 .02yaxK12. 若 在椭圆 内，则被Po所平分的中点弦的方程是0(,)Px21yb.202yab13. 若 在椭圆 内，则过Po的弦中点的轨迹方程是0(,)Px21xyab.202yab14. 椭圆 （abo）的两个顶点为 , ，与y轴平行的直线交21x 1(0)Aa2()椭圆于P 1、 P2时A 1P1与A 2P2交点的轨迹方程是 .2xyb15. 过椭圆 (a0, xyabb0)上
41、任一点 任意作两条倾斜角互补的直线交椭圆于B,C两点，则直线BC有定向0(,)且 （常数）.20BCxkay16. 若P为椭圆 （ab0）上异于长轴端点的任一点,F 1, F 2是焦点, 21, ，则 .12F21Ftant2co17. 设椭圆 （ab0）的两个焦点为F 1、F 2,P（异于长轴端点）为椭圆上任xy意一点，在PF 1F2中，记 , , ，则有12PP.since18. 若椭圆 （ab0）的左、右焦点分别为F 1、F 2，左准线为L，则当0e21xy时，可在椭圆上求一点P，使得PF 1是P到对应准线距离d与PF 2的比例中项.119. P为椭圆 （ab0）上任一点,F 1,F2为
42、二焦点，A为椭圆内一定点，则21xy,当且仅当 三点共线时，等号成立.2 1|aAFAF,20. 椭圆 与直线 有公共点的充要条件是2200()()xyb0xByC.2220aBC21. 已知椭圆 （ab0），O为坐标原点，P、Q为椭圆上两动点，且21xy.（1） ;（2）|OP| 2+|OQ|2的最大值为 ;（3OPQ221|b24ab） 的最小值是 .S2ab22. 过椭圆 （ab0）的右焦点F作直线交该椭圆右支于M,N两点，弦MN的垂21xy直平分线交x轴于P，则 .|2PeMN23. 已知椭圆 （ ab0）21xy,A、B、是椭圆上的两点，线段AB的垂直平分线与x轴相交于点 , 则0(
43、)Px.220aba24. 设P点是椭圆 （ ab0）上异于长轴端点的任一点,F 1、F 2为其焦点记21xy，则(1) .(2) .12F212|cosPF12tanPFSb25. 设A、B是椭圆 （ ab0）的长轴两端点，P是椭圆上的一点，2xy, , ，c、e分别是椭圆的半焦距离心率，则有(1)PBA.(2) .(3) .2|cos|abPA2tan1e2cotPABabS26. 已知椭圆 （ 21xyab0）的右准线 与x轴相交于点 ，过椭圆右焦点 的直线与椭圆相交于A、B两点,点lEF在右准线 上，且 轴，则直线AC经过线段EF 的中点.CBC27. 过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线，
44、与以长轴为直径的圆相交，则相应交点与相应焦点的连线必与切线垂直.28. 过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线交相应准线于一点，则该点与焦点的连线必与焦半径互相垂直.29. 椭圆焦三角形中,内点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常数e(离心率). （注:在椭圆焦三角形中,非焦顶点的内、外角平分线与长轴交点分别称为内、外点.）30. 椭圆焦三角形中,内心将内点与非焦顶点连线段分成定比e.31. 椭圆焦三角形中,半焦距必为内、外点到椭圆中心的比例中项.二、双曲线1.点P处的切线PT平分PF 1F2在点P处的内角.2.PT平分PF 1F2在点P处的内角，则焦点在直线PT上的射影H点的轨迹是以长轴为
45、直径的圆，除去长轴的两个端点.3.以焦点弦PQ为直径的圆必与对应准线相交.4.以焦点半径PF 1为直径的圆必与以实轴为直径的圆相切.（内切：P在右支；外切：P在左支）5.若 在双曲线 （a0,b0）上，则过 的双曲线的切线方程是0(,)xy21xyb0P.21ab6.若 在双曲线 （a0,b0）外 0(,)Pxy21xyb，则过Po作双曲线的两条切线切点为P 1、P 2，则切点弦P 1P2的直线方程是 .021xyab7.双曲线 （a0,bo）的左右焦点分别为F 1，F 2，点P为双曲线上任意一点21xyb，则双曲线的焦点角形的面积为 .12F12tPSbco8.双曲线 （a0,bo）的焦半径
46、公式：( , ，当21xyb1(0)Fc2(,)在右支上时， , .当 在左支上时，0(,)M10|MFexa2|exa0Mxy,1|Fex2|9.设过双曲线焦点F作直线与双曲线相交 P、Q两点，A为双曲线长轴上一个顶点，连结AP 和AQ分别交相应于焦点F的双曲线准线于M、N两点，则MFNF.10.过双曲线一个焦点F的直线与双曲线交于两点P、Q, A1、A 2为双曲线实轴上的顶点，A 1P和A 2Q交于点M，A 2P和A 1Q交于点N，则MFNF.11.AB是双曲线 （a0,b0）的不平行于对称轴的弦，M 为AB的中点2xyb ),(0yx，则 ，即 .02yKABOM 02yxbAB12.若 在双曲线 （a0,b0）内，则被Po所平分的中点弦的方程是0(,)Px21x.202yyab13.若 在双曲线 （a0,b0）内，则过Po的弦中点的轨迹方程是0(,)Px
