1、第 1 页 共 31 页规律探索一. 选择题1.（2015 湖南邵阳第 10 题 3 分）如图，在矩形 ABCD 中，已知 AB=4，BC=3，矩形在直线上绕其右下角的顶点 B 向右旋转 90至图位置，再绕右下角的顶点继续向右旋转 90至图位置，以此类推，这样连续旋转 2015 次后，顶点 A 在整个旋转过程中所经过的路程之和是（ ）A 2015 B 3019.5 C 3018 D3024考点： 旋转的性质；弧长的计算.专题： 规律型分析： 首先求得每一次转动的路线的长，发现每 4 次循环，找到规律然后计算即可解答： 解：转动一次 A 的路线长是： ，转动第二次的路线长是： ，转动第三次的路线
2、长是： ，转动第四次的路线长是：0，转动五次 A 的路线长是： ，以此类推，每四次循环，故顶点 A 转动四次经过的路线长为： +2=6，20154=503 余 3顶点 A 转动四次经过的路线长为：6504=3024故选：D点评： 本题主要考查了探索规律问题和弧长公式的运用，发现规律是解决问题的关键2.（2015 湖北荆州第 10 题 3 分）把所有正奇数从小到大排列，并按如下规律分组：（1） ， （3，5，7） ，第 2 页 共 31 页（9，11，13，15，17） ， （19，21，23，25，27，29，31） ，现有等式 Am=（i ，j）表示正奇数 m 是第i 组第 j 个数（从左往
3、右数） ，如 A7=（2，3） ，则 A2015=（ ）A （31，50） B （32，47） C （33，46） D （34，42）考点： 规律型：数字的变化类分析： 先计算出 2015 是第 1008 个数，然后判断第 1008 个数在第几组，再判断是这一组的第几个数即可解答： 解：2015 是第 =1008 个数，设 2015 在第 n 组，则 1+3+5+7+（2n1）1008，即 1008，解得：n ，当 n=31 时，1+3+5+7+61=961；当 n=32 时，1+3+5+7+63=1024；故第 1008 个数在第 32 组，第 1024 个数为：21024 1=2047，第
4、 32 组的第一个数为：29621=1923，则 2015 是（ +1）=47 个数故 A2015=（32，47） 故选 B点评： 此题考查数字的变化规律，找出数字之间的运算规律，利用规律解决问题3.（2015 湖北鄂州第 10 题 3 分）在平面直角坐标系中，正方形 A1B1C1D1 、D 1E1E2B2 、A 2B2C2D2 、D 2E3E4B3 、A 3B3C3D3 按如图所示的方式放置，其中点 B1 在 y 轴上，点 C1、E 1、E 2、C 2、E 3、E 4、C 3在 x 轴上，已知正方形A1B1C1D1 的边长为 1， B1C1O=60，B 1C1B2C2B3C3则正方形 A20
5、15B2015C2015D2015 的边长是（ ）第 3 页 共 31 页A B C D【答案】D.第 4 页 共 31 页考点：1.正方形的性质；2.解直角三角形4. （2015山东威海，第 12 题 3 分）如图，正六边形 A1B1C1D1E1F1 的边长为 2，正六边形 A2B2C2D2E2F2的外接圆与正六边形 A1B1C1D1E1F1 的各边相切，正六边形 A3B3C3D3E3F3 的外接圆与正六边形A2B2C2D2E2F2 的各边相切， 按这样的规律进行下去，A 10B10C10D10E10F10 的边长为（ ）A B C D考点： 正多边形和圆.专题： 规律型分析： 连结 OE1
6、，OD 1，OD 2，如图，根据正六边形的性质得E 1OD1=60，则E 1OD1 为等边三角形，再根据切线的性质得 OD2E1D1，于是可得 OD2= E1D1= 2，利用正六边形的边长等于它的半径得到第 5 页 共 31 页正六边形 A2B2C2D2E2F2 的边长= 2，同理可得正六边形 A3B3C3D3E3F3 的边长=（ ） 22，依此规律可得正六边形 A10B10C10D10E10F10 的边长=（ ） 92，然后化简即可解答： 解：连结 OE1，OD 1，OD 2，如图，六边形 A1B1C1D1E1F1 为正六边形，E1OD1=60，E1OD1 为等边三角形，正六边形 A2B2C
7、2D2E2F2 的外接圆与正六边形 A1B1C1D1E1F1 的各边相切，OD2E1D1，OD2= E1D1= 2，正六边形 A2B2C2D2E2F2 的边长= 2，同理可得正六边形 A3B3C3D3E3F3 的边长=（ ） 22，则正六边形 A10B10C10D10E10F10 的边长=（ ） 92= 故选 D点评： 本题考查了正多边形与圆的关系：把一个圆分成 n（n 是大于 2 的自然数）等份，依次连接各分点所得的多边形是这个圆的内接正多边形，这个圆叫做这个正多边形的外接圆记住正六边形的边长等于它的半径5 （2015 山东日照 ，第 11 题 3 分）观察下列各式及其展开式：（a+b） 2
8、=a2+2ab+b2（a+b） 3=a3+3a2b+3ab2+b3（a+b） 4=a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4（a+b） 5=a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5请你猜想（a+b） 10 的展开式第三项的系数是（ ）第 6 页 共 31 页A 36 B 45 C 55 D 66考点： 完全平方公式.专题： 规律型分析： 归纳总结得到展开式中第三项系数即可解答： 解：解：（a+b） 2=a22+2ab+b2；（a+b） 3=a3+3a2b+3ab2+b3；（a+b） 4=a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4；（a+b） 5=a5+5a4b+10a3b2+
9、10a2b3+5ab4+b5；（a+b） 6=a6+6a5b+15a4b2+20a3b3+15a2b4+6ab5+b6；（a+b） 7=a7+7a6b+21a5b2+35a4b3+35a3b4+21a2b5+7ab6+b7；第 8 个式子系数分别为：1，8，28，56，70，56，28，8，1；第 9 个式子系数分别为：1，9，36，84，126，126，84，36，9，1；第 10 个式子系数分别为：1，10，45，120，210，252，210，120，45，10，1，则（a+b）10 的展开式第三项的系数为 45故选 B点：此题考查了完全平方公式，熟练掌握公式是解本题的关键6 , （20
10、15山东临沂,第 11 题 3 分）观察下列关于 x 的单项式，探究其规律：x，3x 2，5x 3，7 x4，9x 5，11x 6，.按照上述规律，第 2015 个单项式是（ ）(A) 2015x2015. (B) 4029x2014. (C) 4029x2015. (D) 4031x2015.【答案】C【解析】试题分析：根据这组数的系数可知它们都是连续奇数，即系数为（2n1） ，而后面因式 x 的指数是连续自然数，因此关于 x 的单项式是 ，所以第 2015 个单项式的系数为 220151=4029，因此这个单项式为 .故选 C考点：探索规律7(2015河南，第 8 题 3 分) 如图所示，
11、在平面直角坐标系中，半径均为 1 个单位长度的半圆第 7 页 共 31 页O1，O 2，O 3， 组成一条平滑的曲线，点 P 从原点 O 出发，沿这条曲线向右运动，速度为每秒 个单2位长度，则第 2015 秒时，点 P 的坐标是（ ）A.（2014,0） B.（2015，1） C. （2015,1） D. （2016,0）B【解析】本题考查直角坐标系中点坐标的规律探索.半圆的半径 r=1，半圆长度 =， 第 2015 秒点 P 运动的路径长为： 2015， 2 2015=10071，点 P 位于第 1008 个半圆的中点上，且这个半圆在 x 轴的下方.2此时点 P 的横坐标为：100821=2
12、015，纵坐标为1， 点 P(2015，1) .图”中的“” 的个数，若第 n 个“龟图”中有 245 个“”，则 n=（ ）A 14 B 15 C 16 D 17考点： 规律型：图形的变化类.分析： 分析数据可得：第 1 个图形中小圆的个数为 5；第 2 个图形中小圆的个数为 7；第 3 个图形中小圆的个数为 11；第 4 个图形中小圆的个数为 17；则知第 n 个图形中小圆的个数为 n（n1）+5据此可以再求得“龟图”中有 245 个“”是 n 的值PO第 8 题O1 xyO2O3第 8 页 共 31 页解答： 解：第一个图形有：5 个，第二个图形有：21+5=7 个，第三个图形有：32+
13、5=11 个，第四个图形有：43+5=17 个，由此可得第 n 个图形有：n（ n1）+5个，则可得方程：n（n1）+5=245解得：n 1=16，n 2=15（舍去） 故选：C点评： 此题主要考查了图形的规律以及数字规律，通过归纳与总结结合图形得出数字之间的规律是解决问题的关键，注意公式必须符合所有的图形8. （2015四川省宜宾市，第 7 题，3 分）如图，以点 O 为圆心的 20 个同心圆，它们的半径从小到大依次是 1、2、3、4、20，阴影部分是由第 l 个圆和第 2 个圆，第 3 个圆和第 4 个圆，第 l9 个圆和第 20 个圆形成的所有圆环，则阴影部分的面积为（ B ）A.231
14、 B .210 C .190 D.1719. （ 2015浙江宁波，第 10 题 4 分）如图，将 ABC 沿着过 AB 中点 D 的直线折叠，使点 A 落在 BC 边上第 9 页 共 31 页的 A1 处，称为第 1 次操作，折痕 DE 到 BC 的距离记为 1h；还原纸片后，再将ADE 沿着过 AD 中点 D1的直线折叠，使点 A 落在 DE 边上的 A2 处，称为第 2 次操作，折痕 D1E1 到 BC 的距离记为 2h；按上述方法不断操作下去，经过第 2015 次操作后得到的折痕 D2014E2014 到 BC 的距离记为 2015，若 =1，则2015h的值为【 】A. 2015 B
15、. 2014 C. 2015D. 2014【答案】D.【考点】探索规律题（图形的变化类） ；折叠对称的性质；三角形中位线定理. 【分析】根据题意和折叠对称的性质，DE 是ABC 的中位线，D 1E1 是A D1E1 的中位线，D 2E2 是A2D2E1 的中位线， 21h，3221，4331h，2015220142014h.故选 D.二.填空题1 （2015 甘肃武威 ,第 18 题 3 分）古希腊数学家把数 1，3，6，10，15，21，叫做三角形数，其中 1 是第一个三角形数，3 是第 2 个三角形数，6 是第 3 个三角形数，依此类推，那么第 9 个三角形数是 45 第 10 页 共 3
16、1 页，2016 是第 63 个三角形数考点： 规律型：数字的变化类分析： 根据所给的数据发现：第 n 个三角形数是 1+2+3+n，由此代入分别求得答案即可解答： 解：第 9 个三角形数是 1+2+3+4+5+6+7+8+9=45，1+2+3+4+n=2016，n（n+1）=4032，解得：n=63故答案为：45，63点评： 此题考查数字的变化规律，找出数字之间的运算规律，利用规律解决问题2. （2015浙江衢州,第 15 题 4 分）已知，正六边形 在直角坐标系的位置如图所示，点 在原点，把正六边形 沿 轴正半轴作无滑动的连续翻转，每次翻转 60，经过 2015 次翻转之后，点 的坐标是
17、.【答案】 【考点】探索规律题（图形的变化类循环问题） ；正六边形的性质；含 30 度角 角三角形的性质 【分析】如答图，根据翻转的性质，每 6 次为一个循环组依次循环. ， 经过 2015 次翻转之后，为第 336 个循环组的第 5 步. ， 在 中， . .第 11 页 共 31 页在 中， . . 的横坐标为 ，纵坐标为 .经过 2015 次翻转之后，点 的坐标是 3. （2015浙江湖州，第 16 题 4 分）已知正方形 ABC1D1 的边长为 1，延长 C1D1 到 A1，以 A1C1 为边向右作正方形 A1C1C2D2，延长 C2D2 到 A2，以 A2C2 为边向右作正方形 A2
18、C2C3D3(如图所示) ，以此类推，若A1C1=2，且点 A，D 2， D3，D 10 都在同一直线上，则正方形 A9C9C10D10 的边长是_【答案】 .第 12 页 共 31 页考点：正方形的性质；相似三角形的判定及性质；规律探究题.4. （2015四川省内江市，第 16 题，5 分）如图是由火柴棒搭成的几何图案，则第 n 个图案中有 2n（n+1） 根火柴棒 （用含 n 的代数式表示）考点： 规律型：图形的变化类.专题： 压轴题分析： 本题可分别写出 n=1，2，3，所对应的火柴棒的根数然后进行归纳即可得出最终答案解答： 解：依题意得：n=1，根数为：4=21（1+1） ；n=2，根
19、数为：12=22（2+1） ；n=3，根数为：24=23（3+1） ；n=n 时，根数为：2n（n+1 ） 点评： 本题是一道找规律的题目，这类题型在中考中经常出现对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的5(2015深圳，第 15 题 分)观察下列图形，它们是按一定规律排列的，依照此规律，第 5 个图形有 个太阳。第 13 页 共 31 页【答案】21【解析】第一行的规律是 1，2，3，4，故第五个数是 5；第二行的规律是 1，2，4，8，故第五个数是 16；故第五个图中共有 21 个太阳。6(2015南宁，第 18 题 3 分) 如图 9，在数轴上，点 A 表示 1
20、，现将点 A 沿 轴做如下移动，第一次点 Ax向左移动 3 个单位长度到达点 A1，第二次将点 A1 向右移动 6 个单位长度到达点 A2，第三次将点 A2 向左移动 9 个单位长度到达点 A3，按照这种移动规律移动下去，第 次移动到点 AN，如果点 AN 与原点的距n离不小于 20，那么 的最小值是 n考点：规律型：图形的变化类；数轴.分析：序号为奇数的点在点 A 的左边，各点所表示的数依次减少 3，序号为偶数的点在点 A 的右侧，各点所表示的数依次增加 3，于是可得到 A13 表示的数为17 3=20，A 12 表示的数为 16+3=19，则可判断点 An与原点的距离不小于 20 时，n
21、的最小值是 13解答：解：第一次点 A 向左移动 3 个单位长度至点 A1，则 A1 表示的数，13= 22；第 2 次从点 A1 向右移动 6 个单位长度至点 A2，则 A2 表示的数为2+6=4 ；第 3 次从点 A2 向左移动 9 个单位长度至点 A3，则 A3 表示的数为 49=5；第 4 次从点 A3 向右移动 12 个单位长度至点 A4，则 A4 表示的数为5+12=7 ；第 5 次从点 A4 向左移动 15 个单位长度至点 A5，则 A5 表示的数为 715=8；则 A7 表示的数为83= 11，A 9 表示的数为11 3=14，A 11 表示的数为14 3=17，A 13 表示
22、的数为17 3=20，A6 表示的数为 7+3=10，A 8 表示的数为 10+3=13，A 10 表示的数为 13+3=16，A 12 表示的数为 16+3=19，所以点 An 与原点的距离不小于 20，那么 n 的最小值是 13故答案为：13第 14 页 共 31 页点评：本题考查了规律型，认真观察、仔细思考，找出点表示的数的变化规律是解决本题的关键7(2015贵州六盘水，第 17 题 4 分) 在正方形 A1B1C1O 和 A2B2C2C1，按如图 9 所示方式放置，在直线1xy上，点 C1，C 2 在 x 轴上，已知 A1 点的坐标是（0，1） ，则点 B2 的坐标为 考点：一次函数图
23、象上点的坐标特征；正方形的性质.专题：规律型分析：根据直线解析式先求出 OA1=1，求得第一个正方形的边长，再求出第二个正方形的边长为 2，即可求得 B2 的坐标解答：解：直线 y=x+1，当 x=0 时，y=1，当 y=0 时，x= 1，OA1=1，OD=1，ODA1=45，A2A1B1=45，A2B1=A1B1=1，A2C1=C1C2=2，OC2=OC1+C1C2=1+2=3，B2（ 3，2） 故答案为（3，2） 点评：本题考查了一次函数图象上点的坐标特征以及正方形的性质；求出第一个正方形、第二个正方形的边长是解决问题的关键第 15 页 共 31 页8. （2015山东莱芜,第 17 题
24、4 分）已知： ， ，观察上面的计算过程，寻找规律并计算 【答案】210【解析】试题分析：对于 （ba）来讲，等于一个分式，其中分母是从 1 到 b 的 b 个数相乘，分子是从 a 开始乘，乘到 ab+1，共 b 个数相乘因此其规律是：；C106= =210考点：规律探索9 （2015湖北省孝感市，第 15 题 3 分）观察下列等式：1=12；1+3=2 2；1+3+5=3 2；1+3+5+7=4 2；，则 1+3+5+2015 考点：规律型：数字的变化类.分析：根据 1=12；1+3=2 2；1+3+5=3 2；1+3+5+7=4 2；，可得 1+3+5+（2n 1）=n 2，据此求出1+3
25、+5+2015 的值是多少即可解答：解：因为 1=12；1+3=2 2；1+3+5=3 2；1+3+5+7=4 2； ，所以 1+3+5+2015=1+3+5+（21008 1）=10082=1016064第 16 页 共 31 页故答案为：1016064点评：此题主要考查了探寻数列规律问题，注意观察总结规律，并能正确的应用规律，解答此题的关键是判断出：1+3+5+（2n 1）=n 210 （2015湖南省益阳市，第 13 题 5 分）如图是用长度相等的小棒按一定规律摆成 1 的一组图案，第 1 个图案中有 6 根小棒，第 2 个图案中有 11 根小棒，则第 n 个图案中有 5n+1 根小棒考
26、点： 规律型：图形的变化类分析： 由图可知：第 1 个图案中有 5+1=6 根小棒，第 2 个图案中有 25+21=11 根小棒，第 3 个图案中有 35+32=16 根小棒，由此得出第 n 个图案中有 5n+n（n 1）=5n+1 根小棒解答： 解：第 1 个图案中有 5+1=6 根小棒，第 2 个图案中有 25+21=11 根小棒，第 3 个图案中有 35+32=16 根小棒，第 n 个图案中有 5n+n（n1 ）=5n+1 根小棒故答案为：5n+1点评： 此题考查图形的变化规律，找出图形之间的联系，得出数字之间的运算规律，利用规律解决问题11 （2015湖南省衡阳市，第 20 题 3 分
27、）如图， ， ， ， ，都是等腰直角三角形其中点 ， ， 在 轴上，点 ， ， ，在直线 上已知，则 的长为 第 17 页 共 31 页12、 （2015湖南省常德市，第 16 题 3 分）取一个自然数，若它是奇数，则乘以 3 加上 1，若它是偶数，则除以 2，按此规则经过若干步的计算最终可得到 1。这个结论在数学上还没有得到证明。但举例验证都是正确的。例如：取自然数 5。最少经过下面 5 步运算可得 1，即：，如果自然数 最少经过 7 步运算可得到 1，则所有符合3122225684 m条件的 的值为 。m【解答与分析】此题阅读量大，主要是通过逆推法，抓住重点，自然数； 中的 一定是自然数3
28、x2222313131312231313148666xxxxxxx 此 处 不 能 此 处 不 能 此 处 不 能 此 处 不 能 如 果 用 ： 则非 自 然 数 非 自 然 数 非 自 然 数 就 已 经 到 了 。 下 一 个 数 是 偶 数下 一 个 数 是 偶 数 此 处 不 能 非 自 然 数 下 一 个 数 是 奇 数下 一 个 数 是 奇 数 223131050xx 下 一 个 数 是 偶 数此 处 不 能非 自 然 数 下 一 个 数 是 奇 数故可得答案为：128,21,20,313(2015湖南株洲 ,第 16 题 3 分)“皮克定理”是来计算原点在整点的多边形面积的公式
29、，公式表达式为第 18 页 共 31 页，孔明只记得公式中的 S 表示多边形的面积， 和 中有一个表示多边形那边上(含原点) 的12bSa ab整点个数，另一个表示多边形内部的整点的个数，但不记得究竟是 还是 表示多边形内部的整点的个数，请你选择一些特殊的多边形(如图 1)进行验证，得到公式中表示多边形内部整点个数的字母是 ；并运用这个公式求得如图 2 中多边形的面积是 第 16题 图 O12345678912345678 图 2y xxy 图 187654321 987654321O【试题分析】本题考点：找到规律，求出 表示的意义；,ab由图 1 的直角三角形的面积可以利用三角形面积公式求出
30、为：4；而边上的整点为 8，里面的点为 1；由公式 可知， 为偶数，故 ， ，即 为边上整点的个数， 为形内的整点的个数；2bSa8b1aba利用矩形面积进行验证： ， ，代入公式 6；利用长宽也可以算出6，验证1022S正确。利用数出公式中的 ，代入公式求得 S17.57,5ba答案为：17.514(2015黑龙江绥化，第 20 题 分)填在下面各正方形中的四个数之间都有一定的规律 ，按此规律得出 a+b+c=_第 19 页 共 31 页考点：规律型：数字的变化类 分析：观察不难发现，左上角+4=左下角，左上角+3=右上角，右下角的数是左下角与右上角两个数的乘积减去 1 的差，根据此规律列式
31、进行计算即可得解解答：解：根据左上角+4=左下角，左上角+3=右上角，右下角的数是左下角与右上角两个数的乘积减去1 的差，可得 6+4=a，6+3=c ，ac+1=b，可得：a=10，c=9，b=91 ，所以 a+b+c=10+9+91=110，故答案为：110点评：本题是对数字变化规律的考查，仔细观察前三个图形，找出四个数之间的变化规律是解题的关键15.（2015 江苏徐州 ,第 17 题 3 分）如图，正方形 ABCD 的边长为 1，以对角线 AC 为边作第二个正方形，再以对角线 AE 为边作第三个正方形 AEGH，如此下去，第 n 个正方形的边长为 （ ） n1 考点： 正方形的性质.专
32、题： 规律型分析： 首先求出 AC、AE、HE 的长度，然后猜测命题中隐含的数学规律，即可解决问题解答： 解：四边形 ABCD 为正方形，AB=BC=1， B=90，AC2=12+12，AC= ；同理可求：AE=（ ） 2，HE= （ ） 3，第 n 个正方形的边长 an=（ ） n1故答案为（ ） n1点评： 该题主要考查了正方形的性质、勾股定理及其应用问题；应牢固掌握正方形有关定理并能灵活运用第 20 页 共 31 页.16 .（2015 山东东营 ,第 18 题 4 分）如图放置的 OAB1，B 1A1B2，B 2A2B3，都是边长为 1 的等边三角形，点 A 在 轴上，点 O， B1，
33、B 2，B 3，都在直线上，则点 A2015 的坐标是 【答案】( , )【解析】试题分析：由题意可知点 B1 的坐标为（ ， ） ，所以点 A1 的坐标为（ ， ） ；点 B2 的坐标为（1， ） ，所以点 A2 的坐标为（2， ） ；点 B3 的坐标为（ ， ） ，所以点 A3 的坐标为（ ， ） ；点 B4 的坐标为（2，2 ） ，所以点 A4 的坐标为（3，2 ） ；所以点 A2015 的坐标为（ +1， ） ，即( , )考点：规律题.17.（2015 山东聊城 ,第 17 题 3 分）如图，ABC 的三个顶点和它内部的点 P1，把ABC 分成 3 个互不重叠的小三角形；ABC 的三
34、个顶点和它内部的点 P1、P 2，把 ABC 分成 5 个互不重叠的小三角形；ABC 的三个顶点和它内部的点 P1、P 2、P 3，把 ABC 分成 7 个互不重叠的小三角形；ABC 的三个顶点和它内部的点 P1、P 2、P 3、P n，把 ABC 分成 3+2（n 1） 个互不重叠的小三角形第 21 页 共 31 页考点： 规律型：图形的变化类.分析： 利用图形得到，ABC 的三个顶点和它内部的点 P1，把ABC 分成互不重叠的小三角形的个数=3+20；ABC 的三个顶点和它内部的点 P1、P 2，把 ABC 分成互不重叠的小三角形的个数=3+21；ABC 的三个顶点和它内部的点 P1、P
35、2、P 3，把ABC 分成互不重叠的小三角形的个数=3+22 ，即分成的互不重叠的小三角形的个数为 3 加上 P 点的个数与 1 的差的 2 倍，从而得到ABC 的三个顶点和它内部的点 P1、P 2、P 3、P n，把 ABC 分成的互不重叠的小三角形的个数解答： 解：如图，ABC 的三个顶点和它内部的点 P1，把 ABC 分成的互不重叠的小三角形的个数=3+20，ABC 的三个顶点和它内部的点 P1、P 2，把 ABC 分成的互不重叠的小三角形的个数=3+21，ABC 的三个顶点和它内部的点 P1、P 2、P 3，把 ABC 分成的互不重叠的小三角形的个数=3+22，所以ABC 的三个顶点和
36、它内部的点 P1、P 2、P 3、P n，把ABC 分成的互不重叠的小三角形的个数=3+2（ n1） 故答案为 3+2（n 1） 点评： 本题考查了规律型：图形的变化类：对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的，然后通过分析找到各部分的变化规律后直接利用规律求解18. （2015四川甘孜、阿坝，第 25 题 4 分）如图，正方形 A1A2A3A4，A 5A6A7A8，A 9A10A11A12， （每个正方形从第三象限的顶点开始，按顺时针方向顺序，依次记为A1，A 2，A 3，A 4；A 5，A 6，A 7，A 8；A 9，A 10，A 11，A 12； ）的中心均在坐
37、标原点 O，各边均与 x 轴或 y轴平行，若它们的边长依次是 2，4，6，则顶点 A20 的坐标为 （5，5） 第 22 页 共 31 页考点： 规律型：点的坐标.分析： 由 =5 易得 A20 在第二象限，根据 A4 的坐标，A 8 的坐标，A 12 的坐标不难推出 A20 的坐标解答： 解： =5，A20 在第二象限，A4 所在正方形的边长为 2，A4 的坐标为（1，1） ，同理可得：A 8 的坐标为（2，2） ，A 12 的坐标为（3，3） ，A20 的坐标为（5， 5） ，故答案为：（5，5） 点评： 本题考查坐标与图形的性质，解题关键是首先找出 A20 所在的象限19 （2015山东
38、潍坊第 17 题 3 分）如图，正ABC 的边长为 2，以 BC 边上的高 AB1 为边作正AB1C1，ABC 与AB 1C1 公共部分的面积记为 S1；再以正AB 1C1 边 B1C1 上的高 AB2 为边作正AB 2C2，AB1C1 与AB 2C2 公共部分的面积记为 S2；，以此类推，则 Sn= （ ） n （用含 n 的式子表示）考点： 等边三角形的性质.第 23 页 共 31 页专题： 规律型分析： 由 AB1 为边长为 2 的等边三角形 ABC 的高，利用三线合一得到 B1 为 BC 的中点，求出 BB1 的长，利用勾股定理求出 AB1 的长，进而求出 S1，同理求出 S2，依此类
39、推，得到 Sn解答： 解：等边三角形 ABC 的边长为 2，AB 1BC，BB1=1，AB=2，根据勾股定理得：AB 1= ，S1= （ ） 2= （ ） 1；等边三角形 AB1C1 的边长为 ，AB 2B1C1，B1B2= ，AB 1= ，根据勾股定理得：AB 2= ，S2= （ ） 2= （ ） 2；依此类推，S n= （ ） n故答案为： （ ） n点评： 此题考查了等边三角形的性质，属于规律型试题，熟练掌握等边三角形的性质是解本题的关键20. （2015 山东济宁，15，3 分）若 , ,则 【答案】n(n+1)(4n+3)【解析】试题分析：根据各个式子的特点可知：第一个等式中，右边相
40、乘的第一个数是1，第二个数是 1+1，第三个数是等号左边最后一个数 32+1；第二个等式中，右边相乘的第一个数是2，第二个数是 2+1，第三个数是等号左边最后一个数 52+1；第三个等式中，右边相乘的第一个数是3，第二个数是 3+1，第三个数是等号左边最后一个数 72+1；第 24 页 共 31 页第 n 个等式中，右边相乘的第一个数是n，第二个数是 n+1，第三个数是等号左边最后一个数（2n+1）2+1=4n+3 ；因此结果为n(n+1)(4n+3).考点：规律探索21 （2015 广东省 ,第 15 题，4 分）观察下列一组数： ， ， ， ， ，根据该组数的排列规律，132574951可
41、推出第 10 个数是 .【答案】 .12【考点】探索规律题（数字的变化类）.【分析】观察得该组数的排列规律为：分母为奇数，分子为自然数，第 个数为 ，所以，第 10 个n21数是 .10222 （2015 安徽省 ,第 13 题，5 分）按一定规律排列的一列数：2 1，2 2，2 3，2 5，2 8，2 13，若 x、y、z表示这列数中的连续三个数，猜想 x、y、z 满足的关系式是 考点：规律型：数字的变化类.分析：首项判断出这列数中，2 的指数各项依次为 1，2，3，5，8，13，从第三个数起，每个数都是前两数之和；然后根据同底数的幂相乘，底数不变，指数相加，可得这列数中的连续三个数，满足x
42、y=z，据此解答即可解答：解：2 122=23，2 223=25，2 325=28，2 528=213， ，x、y、z 满足的关系式是：xy=z故答案为：xy=z 点评：此题主要考查了探寻数列规律问题，考查了同底数幂的乘法法则，注意观察总结规律，并能正确的应用规律，解答此题的关键是判断出 x、y、z 的指数的特征23. （2015 四川成都,第 23 题 4 分）已知菱形 A1B1C1D1 的边长为 2， A1B1C160，对角线 A1C1，B 1D1相交于点 O以点 O 为坐标原点，分别以 OA1，OB 1 所在直线为 x 轴、y 轴，建立如图所示的直角坐标系以 B1D1 为对角线作菱形 B
43、1C2D1A2菱形 A1B1C1D1，再以 A2C2 为对角线作菱形 A2B2C2D2菱形B1C2D1A2，再以 B2B2 为对角线作菱形 B2C3D2A3菱形 A2B2C2D2，按此规律继续作下去，在 x 轴的正半轴上得到点 A1，A 2，A 3，A n，则点 An 的坐标为_第 25 页 共 31 页【答案】：（3 n1 ，0）【解析】：由题意，点 A1 的坐标为（1，0） ，点 A2 的坐标为（3，0） ，即（3 21 ，0）点 A3 的坐标为（9，0） ，即（3 31 ，0）点 A4 的坐标为（27，0） ，即（3 41 ，0）点 An 的坐标为（3 n1 ，0）三.解答题1(2015
44、贵州六盘水，第 22 题 10 分) 毕达哥拉斯学派对”数”与”形”的巧妙结合作了如下研究：请在答题卡上写出第六层各个图形的几何点数，并归纳出第 n 层各个图形的几何点数考点：规律型：图形的变化类.分析：首先看三角形数，根据前三层的几何点数分别是 1、2、3，可得第六层的几何点数是 6，第 n 层的几何点数是 n；然后看正方形数，根据前三层的几何点数分别是 1=211、3=22 1、5=231，可得第六层的几何点数是 261=11，第 n 层的几何点数是 2n1；再看五边形数，根据前三层的几何点数分别是1=312、2=322、3=332，可得第六层的几何点数是 362=16，第 n 层的几何点
45、数是 3n2；最后看六边形数，根据前三层的几何点数分别是 1=413、5=42 3、9=433，可得第六层的几何点数是463=21，第 n 层的几何点数是 4n3，据此解答即可B2yB1C2C3 A2 A3A1OC1D1D2x第 26 页 共 31 页解答：解：前三层三角形的几何点数分别是 1、2、3，第六层的几何点数是 6，第 n 层的几何点数是 n；前三层正方形的几何点数分别是：1=211、3=22 1、5=23 1，第六层的几何点数是：26 1=11，第 n 层的几何点数是 2n1；前三层五边形的几何点数分别是：1=312、2=32 2、3=33 2，第六层的几何点数是：36 2=16，
46、第 n 层的几何点数是 3n2；前三层六边形的几何点数分别是：1=413、5=42 3、9=433，第六层的几何点数是：46 3=21，第 n 层的几何点数是 4n3三角形数 正方形数 五边形数 六边形数名称及图形几何点数层数第一层几何点数 1 1 1 1第二层几何点数 2 3 4 5第三层几何点数 3 5 7 9 第六层几何点数 6 11 16 21 第 n 层几何点数 n 2n1 3n2 4n3故答案为：6、11、16、21、n、2n1、3n 2、4n3点评：此题主要考查了图形的变化类问题，首先应找出图形哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的，通过分析找到各部分的变化规律后直接利用规律求解探寻规律要认真观察、仔细思考，善用联想来解决这类问题2、 （2015 四川自贡 ,第 22 题 12 分）观察下表: yxyxyyxxL号号号号 1 2 3 L第 27 页 共 31 页坚持就是胜利！我们把某格中字母和所得到的多项式称为特征多项式，例如第 1 格的“特征多项式”为 .回答下列问4xy题：. 第 3 格的“特征多项式” 为 ，第 4
