1、第一部分 行列式本章概述 行列式在线性代数的考试中占很大的比例。从考试大纲来看。虽然只占 13%左右。但在其他章。的试题中都有必须用到行列式计算的内容。故这部分试题在试卷中所占比例远大于 13%。大纲中规定的 比例 07.4 全国统考试题 07.7 全国统考试题 07.10 全国统考试题直接考行列式这一章的 13%左右 11% 11% 15%再加上其余各章中必须应用行列式计算的 34% 29% 21%1.1 行列式的定义1.1.1 二阶行列式与三阶行列式的定义一、二元一次方程组和二阶行列式例 1.求二元一次方程组的解。【答疑编号 12010101】解：应用消元法得当 时。得同理得定义 称 为二
2、阶行列式。称 为二阶行列式的值。记为 。于是 由此可知。若 。则二元一次方程组的解可表示为：例 2 【答疑编号 12010102】二阶行列式的结果是一个数。我们称它为该二阶行列式的值。二、三元一次方程组和三阶行列式考虑三元一次方程组希望适当选择 。使得当 后将 消去。得一元一次方程若 ，能解出其中 要满足线性代数（经管类） 复习资料由北京自考吧整理提供 http:/ 为解出 。在（6），（7）的两边都除以 得这是以 为未知数的二元一次方程组。 定义 1.1.1 在三阶行列式 中，称于是原方程组的解为 ;类似地得 这就将二元一次方程组解的公式推广到了三元一次方程组。例 3 计算【答疑编号 120
3、10103】线性代数（经管类） 复习资料由北京自考吧整理提供 http:/ 例 4 （1）【答疑编号 12010104】（2）【答疑编号 12010105】例 5 当 x 取何值时， ？【答疑编号 12010106】为将此结果推广到 n 元一次方程组。需先将二阶、三阶行列式推广到 n 阶行列式。1.1.2 阶行列式的定义定义 1.1.2 当 n 时，一阶行列式就是一个数。当 时，称为 n 阶行列式。定义 （其所在的位置可记为 的余子式的代数余子式 。定义 为该 n 阶行列式的值。即线性代数（经管类） 复习资料由北京自考吧整理提供 http:/ 。容易看出，第 j 列元素的余子式 和代数余子式
4、都与第 j 列元素无关；类似地，第 i 行元素的余子式 和代数余子式 都与第 i 行元素无关。n 阶行列式为一个数。例 6 求出行列式 第三列各元素的代数余子式。【答疑编号 12010107】例 7 （上三角行列式）【答疑编号 12010108】1.2 行列式按行（列）展开定理 1.2.1（行列式按行（列）展开定理）例 1 下三角行列式主对角线元素的乘积。【答疑编号 12010201】例 2 计算行列式【答疑编号 12010202】线性代数（经管类） 复习资料由北京自考吧整理提供 http:/ 例 3 求 n 阶行列式【答疑编号 12010203】小结 1.行列式中元素 的余子式 和代数余子式
5、 的定义。2.二阶行列式的定义 。3.阶行列式的定义。即 。4.行列式按行（列）展开的定理和应用这个定理将行列式降阶的方法。作业 p8 习题 1.1 1（1）（2）（3）（5）（6），3作业 p11 习题 1.2 1，2，3（1），（2），41.3 行列式的性质及计算1.3.1 行列式的性质给定行列式将它的行列互换所得的新行列式称为 D 的转置行列式，记为 或 。性质 1 转置的行列式与原行列式相等。即性质 2 用数 k 乘行列式 D 的某一行（列）的每个元素所得的新行列式等于 kD。推论 1 若行列式中某一行（列）的元素有公因数，则可将公因数提到行列式之外。推论 2 若行列式中某一行（列）的
6、元素全为零，则行列式的值为 0。性质 3 行列式的两行（列）互换，行列式的值改变符号。以二阶为例设线性代数（经管类） 复习资料由北京自考吧整理提供 http:/ 推论 3 若行列式某两行（列），完全相同，则行列式的值为零。证 设 中，第 i 行与第 j 行元素完全相同，则所以，D=0。性质 4 若行列式某两行（列）的对应元素成比例，则行列式的值为零。性质 5 若行列式中某一行（列）元素可分解为两个元素的和，则行列式可分解为两个行列式的和，即只要看注意 性质中是指某一行（列）而不是每一行。可见性质 6 把行列式的某一行（列）的每个元素都乘以 加到另一行（列），所得的行列式的值不变。证.1.3.2
7、 行列式的计算人们认识事物的基本方法是化未知为已知。对行列式，先看何为已知，（1）二，三阶行列式的计算；（2）三角形行列式的计算。因此，我们计算行列式的基本方法是利用行列式的性质把行列式化为三角形，或降阶。例 1 计算【答疑编号 12010204】线性代数（经管类） 复习资料由北京自考吧整理提供 http:/ 在行列式计算中如何造零是个重要技巧，主要是应用性质 6。例 2 计算【答疑编号 12010205】例 3 计算【答疑编号 12010206】例 4 计算【答疑编号 12010207】例 5 计算【答疑编号 12010208】线性代数（经管类） 复习资料由北京自考吧整理提供 http:/
8、扩展计算【答疑编号 12010209】例 6 计算【答疑编号 12010301】方法 1方法 2扩展：计算【答疑编号 12010302】例 7 计算【答疑编号 12010303】线性代数（经管类） 复习资料由北京自考吧整理提供 http:/ 例 8 计算【答疑编号 12010304】扩展：计算【答疑编号 12010305】例 9 计算 n 阶行列式 【答疑编号 12010306】解 按第一列展开，得例 10 范德蒙行列式【答疑编号 12010307】.【答疑编号 12010308】例 11 计算【答疑编号 12010309】线性代数（经管类） 复习资料由北京自考吧整理提供 http:/ 例 1
9、2 证明【答疑编号 12010310】小结1.准确叙述行列式的性质；2.应用行列式的性质计算行列式的方法（1）低阶的数字行列式和简单的文字行列式；（2）各行元素之和为相同的值的情况（3）有一行（列）只有一个或两个非零元的情况作业 p22 习题 1.3 1（1）（3），2，5，6（1）（3）（4）（5）（10）（11）（12） 1.4 克拉默法则这一节将把二元一次方程组解的公式推广到 n 个未知数，n 个方程的线性方程组。为此先介绍下面的定理。定理 1.4.1 对于 n 阶行列式证 由定理 1.2.1 知 ，注意改变第二列的元素，并不改变第二列元素的代数余子式类似地，可证明该定理的剩余部分。定理
10、 1.4.2 如果 n 个未知数，n 个方程的线性方程组的系数行列式则方程组有惟一的解: 线性代数（经管类） 复习资料由北京自考吧整理提供 http:/ 其中 证明从略例 1.求解【答疑编号 12010401】把克拉默法则应用到下面的齐次方程组有定理 1.4.3 如果 n 个未知数 n 个方程的齐次方程组的系数行列式 D0，则该方程组只有零解，没有非零解。推论 如果齐次方程组有非零解，则必有系数行列式 D=0。事实上，以后我们将证明对于由 n 个未知数 n 个方程的齐次方程组，系数行列式 D=0，不仅是该齐次方程组有非零解的必要条件，也是充分条件,即若系数行列式 D=0,则齐次方程组必有非零解
11、。例 2 判断线性方程组是否只有零解【答疑编号 12010402】例 3 当 k 为何值时，齐次方程组没有非零解？【答疑编号 12010403】线性代数（经管类） 复习资料由北京自考吧整理提供 http:/ 例 4 问当 取何值时,齐次方程组有非零解?【答疑编号 12010404】1.定理 1.4.1 对于 ，有2.n 个未知数,n 个方程的线性方程组的克拉默法则。以及 n 个未知数, n 个方程的齐次线性方程组有非零解的充分必要条件。作业 p28 习题 1.4 1（1）（2）（3）3第一章小结基本概念1.行列式中元素 的余子式 和代数余子式 。2.行列式的定义基本公式1.行列式按一行(一列)展开的定理；2.行列式的性质；3.行列式中任一行(列)与另一行(列)的代数余子式乘积的和=0；4.克拉默法则5.n 个未知数,n 个方程的齐次方程组有非零解的充分必要条件是它的系数行列式=0。重点练习内容1.行列式中元素的余子式和代数余子式的计算；2.行列式的计算及重点例题（1）二、三阶行列式的计算；方法：利用行列式的性质降阶。（2）各行元素之和为常数的情况(重点例题：1.3 节中例 5 及其扩展)；（3）特殊的高阶行列式。
