1、1,期权定价 (2),作业:1.A公司有1000万股流通股,每股交易价格为25美元,公司还有大量的未偿付负债,都将在1年内到期。负债利率为8%,面额为3.5亿美元,但市场交易价格却只有2.8亿美元。已知1年期无风险利率为6%。(1)写出该公司股票、负债及其资产之间的买卖权平价关系公式。(2)该公司违约期权的价值是多少?,4,1 一个简单的期权估值模型,1.1 现金流量贴现对期权估值不起作用 期权的风险高于股票的风险,期权的风险随股票价值的波动而波动。深度价内期权比深度价外期权安全;股票价格的上涨可以提期权的价值,也会降低期权的风险。,5,1 一个简单的期权估值模型,1.2 基于普通股和借款构造
2、期权等价物如何得到期权价值: 第一种方法:构造普通股投资与借款的组合的期权等价物,使它们的净成本相等。 第二种方法:风险中性估值。,通过复制来给期权定价,为了给衍生证券定价,可以构造一个股票和无风险投资的组合来复制该衍生证券在到期日的收益这个组合称为合成的衍生证券要使无套利成立,这个组合的价值必须等于交易的衍生证券的价格无套利原则:如果是公平价格的话,那么你的期货合约的收益率应该和市场无风险利率是一样。风险中性原则,无套利原则与对衍生证券的定价,交易的衍生证券的价值= 合成的衍生证券(组合)的价值,8,Eg1:2009年9月购入一份为期9个月的Google看涨期权,行权价格是430美元,股票价
3、格也是430美元。假设:股票价格只有两张变化。 可能下跌到322.5美元 1/3可能上涨到575.33美元期权可能的收益是:,9,Eg2:从银行借款181.56美元买入4/7股股票后的收益。假设:股票价格只有两张变化。 可能下跌到322.5美元 1/3可能上涨到575.33美元可能的收益是:,Value of Call = 430 x (4/7) 181.56 = $64.15,另一思路,S- C= riskless portfolio(以r借入资金)C= S- riskless portfolio,Option Valuation Methods,Since the Google call
4、option is equal to a leveraged position in 4/7 shares, the option delta can be computed as follows.,14,用借款购买股票和看涨期权具有相同的收益,这两种投资的价值也必然完全相同。因此利用借款投资的价值就可以估算期权的价值。复制期权(replicating portfolio):为了评估期权的价值,运用借入资金的方式购买股票数量所产生的收益正好复制一份看涨期权的收益。对冲比率(hedge ratio)或期权的德尔塔系数(option delta):复制一份期权的股票数量。期权的德尔塔系数=期权价格
5、可能的价差/股票价格可能的价差,1.3 风险中性估值,价格不依赖于投资是厌恶风险还是偏好风险。投资者风险无差异,股票的期望收益率一定等于无风险收益率:Google股票的期望收益率=6个月期利率(1.5%)风险中性世界中股票价格上涨的概率:期望收益率=(上涨概率1/3)+(1-上涨概率)(-1/4)=1.5% 上涨概率=45.43%风险中性概率:,If we are risk neutral, the expected return on Google call options is 1.5%. Accordingly, we can determine the probability of a
6、 rise in the stock price as follows.,看涨期权的期望价值:(上涨概率 143.33)+(下跌概率 0)=(0.4543 143.33)+(0.5457 0 ) =65.11(美元)以对应期限的无风险利率对期权的期望价值贴现,求得看涨期权的期望价值:,与看涨期权相似第一种方法:构造资产组合第二种方法:风险中性估值,1.4 对Google看跌期权的估值,The Google PUT option can then be valued based on the following method.,Case 1Stock price falls to $322.50
7、Option value = $107.50,Case 2Stock price rises to $573.33Option value = $0,Since the Google PUT option is equal to a leveraged position in 3/7 shares, the option delta can be computed as follows.,Assume you SELL 3/7 of a Google share and lend $242.09 (1.5%). Value of PUT = -(3/7) x 430 + 242.09 = $5
8、7.82,风险中性法:看跌期权的期望价值:(上涨概率 0)+(下跌概率 107.5)=(0.4543 0)+(0.5457 107.5 ) =58.66(美元)以对应期限的无风险利率对期权的期望价值贴现,求得看涨期权的价值:58.66/1.015 = 57.8,1.5看涨期权和看跌期权价格之间的关系:对于欧式看涨期权,看跌期权价值=看涨期权价值-股票价值+行权价值现值,Value of put = 64.15+(430/1.015)-430= 57.80,26,2 期权估值的二项式方法,构造股票和贷款的投资组合来准确复制期权的收益 划分为若干个时间段,每阶段股票价格只有两种可能的变化,时间段划
9、分的越小,股票价格变化越符合实际。,27,价格变化率%,430.00,430.00(0),6个月,3个月,现在,2.1 事例:两阶段的二项式方法,28,三个月后期权的价值为了复制期权,三个月后应该购买的股票:三个月后股票价格上涨,期权价值:三个月后股票价格下跌,期权价值为0,29,6个月后期权的价值为了复制期权,;六个月后应该购买的股票:期权的价值:,30,2.2普通二项式法将价值有两种可能变化的时间间隔分割的越来越短,仍然从二项式的最后回溯到当前。资产收益率的标准差与价值的升降联系起来:,Binomial Pricing,Present and possible future prices
10、of Google stock assuming that in each three-month period the price will either rise by 22.6% or fall by 18.4%. Figures in parentheses show the corresponding values of a six-month call option with an exercise price of $430.,Binomial Pricing,Now we can construct a leveraged position in delta shares th
11、at would give identical payoffs to the option:,We can now find the leveraged position in delta shares that would give identical payoffs to the option:,Binomial Pricing,Present and possible future prices of Google stock. Figures in parentheses show the corresponding values of a six-month call option
12、with an exercise price of $430.,Option Value:PV option = PV (.569 shares)- PV($199.58) =.569 x $430 - $199.58/1.0075 = $46.49,Binomial Model,The price of an option, using the Binomial method, is significantly impacted by the time intervals selected. The Google example illustrates this fact.,作业:,1.重金
13、属公司的股价每月只变动一次:或者上涨20%,或者下跌16.7%,当前股价为40美元。假设年利率为12.7%,月利率大约为1%。A.行权价格为40美元,1个月期看涨期权价值为多少?B.期权的德尔塔系数为多少?C.说明怎样通过购买重金属公司股票和借款的组合复制出这份看涨期权的收益?D.行权价格为40美元,2个月期的看涨期权价值为多少?E.2个月期看涨期权在第1个月里的期权德尔塔系数为多少?,37,3 布莱克-斯科尔斯公式,股票格连续变化情形下,期权价值的估计。布莱克-斯科尔斯公式其中: N(d)是正态分布的累积概率密度函数 EX是期权的行权价格 是每一时段内(连续复利)股票收益率的标准差,P: 股
14、票的当前价格t 距到期日的时段数量,39,3.1布莱克-斯科尔斯公式的应用Eg: 为Google看涨期权估值:当前股票价格P=430美元行权价格EX=430美元连续复利后的年收益标准差 =0.4068距离到期日的年数t=0.5年利率 =3%,40,第1步:第2步:计算第3步:利用B-S公式求期权价值,41,3.2 期权的风险 期权的风险与复制的组合风险是相同的,即等于贷款和股票投资的贝塔系数的加权平均数。Eg: Google股票的贝塔系数 无风险利率贷款的贝塔系数 在股票上投入248.32美元,在贷款上投入-196.29美元期权的贝塔系数:,42,3.3布莱克-斯科尔斯公式与二项式法 随着时间
15、段的递增,通过二项式法计算的期权价值会逐步接近于B-S公式计算的期权价值。 B-S公式包括的是连续分布的可能结果,因此模拟的股票价格更接近与现实,比二项式法的计算结果更准确和快捷。,43,4 布莱克-斯科尔斯公式的实际应用,4.1 管理者股票期权 管理者获得股票期权经常是薪酬的重要组成部分,现代企业必须把这类期权作为类似与工资和薪水的开支。因此估算期权的价值十分必要。,44,4.2 认股权证 认股权证是授予持有人一项权利,在到期日前以行使价购买公司发行的新股(或者是库藏的股票)。 B-S公式可以计算认股权证的价值。,45,4.3 证券组合保险 购买期权,可以规避风险。 利用B-S公式对同样行权
16、价格和时间的期权进行估值,然后通过买卖权平价找出期权。,购入一份价值为多少的期权呢,46,4.4 隐含波动率的估算 通过期权价格可以得知关于股票波动率的信息,47,5 期权价值概览,之前讨论的都是不支付红利的欧式期权的价值,那支付红利到期前就可能行权的期权价值又如何估算呢?,美式看涨期权不支付红利:美式看涨期权的价值随到期时间的增加而增加,不会在到期日之前执行,与欧式看涨期权一样,都可以用B-S公式估值。欧式看涨期权不支付红利美式看跌期权不支付红利:因为可以提前执行,美式看涨期权总比欧式看涨期权有价值。B-S公式不允许提前执行,因此对其价值的评估不准确,需要用二项式公式逐步推导。派发红利股票的欧式看涨期权:从股价中扣除期权到期日之前所派发的全部红利的现值,在用B-S公式估值。派发红利股票的美式看涨期权:一般采用二项式公式估值,48,Thank you,