1、第 1 页 共 22 页黄金分割专项练习 30 题（有答案）1定义：如图 1，点 C 在线段 AB 上，若满足 AC2=BCAB，则称点 C 为线段 AB 的黄金分割点如图 2， ABC中，AB=AC=1，A=36，BD 平分ABC 交 AC 于点 D（1）求证：点 D 是线段 AC 的黄金分割点；（2）求出线段 AD 的长2如图，用长为 40cm 的细铁丝围成一个矩形 ABCD（ABAD） （1）若这个矩形的面积等于 99cm2，求 AB 的长度；（2）这个矩形的面积可能等于 101cm2 吗？若能，求出 AB 的长度，若不能，说明理由；（3）若这个矩形为黄金矩形（AD 与 AB 之比等于黄
2、金比 ） ，求该矩形的面积 （结果保留根号）3定义：如图 1，点 C 在线段 AB 上，若满足 AC2=BCAB，则称点 C 为线段 AB 的黄金分割点如图 2，ABC 中，AB=AC=2 ， A=36，BD 平分ABC 交 AC 于点 D（1）求证：点 D 是线段 AC 的黄金分割点；（2）求出线段 AD 的长第 2 页 共 22 页4作一个等腰三角形，使得腰与底之比为黄金比（1）尺规作图并保留作图痕迹；（2）写出你的作法；（3）证明：腰与底之比为黄金比5 （1）已知线段 AB 的长为 2，P 是 AB 的黄金分割点，求 AP 的长；（2）求作线段 AB 的黄金分割点 P，要求尺规作图，且使
3、 APPB 6如图，线段 AB 的长度为 1（1）线段 AB 上的点 C 满足系式 AC2=BCAB，求线段 AC 的长度；（选做） （2）线段 AC 上的点 D 满足关系式 AD2=CDAC，求线段 AD 的长度；（选做） （3）线段 AD 上的点 E 满足关系式 AE2=DEAD，求线段 AE 的长度；上面各题的结果反映了什么规律？（提示：在每一小题中设 x 和 l）7如图，在ABC 中，AB=AC ，A=36 ，1=2，请问点 D 是不是线段 AC 的黄金分割点请说明理由第 3 页 共 22 页8在ABC 中，AB=AC=2， BC= 1， A=36，BD 平分ABC，交于 AC 于 D
4、试说明点 D 是线段 AC 的黄金分割点9在数学上称长与宽之比为黄金分割比的矩形为黄金矩形，如在矩形 ABCD 中，当 时，称矩形ABCD 为黄金矩形 ABCD请你证明黄金矩形是由一个正方形和一个更小的黄金矩形构成10如图，设 AB 是已知线段，在 AB 上作正方形 ABCD；取 AD 的中点 E，连接 EB；延长 DA 至 F，使EF=EB；以线段 AF 为边作正方形 AFGH则点 H 是 AB 的黄金分割点为什么说上述的方法作出的点 H 是这条线段的黄金分割点，你能说出其中的道理吗？请试一试，说一说11如图，已知ABC 中，D 是 AC 边上一点， A=36， C=72，ADB=108 求
5、证：（1）AD=BD=BC ；（2）点 D 是线段 AC 的黄金分割点第 4 页 共 22 页12已知 AB=2，点 C 是 AB 的黄金分割线，点 D 在 AB 上，且 AD2=BDAB，求 的值13如果一个矩形 ABCD（ABBC）中， 0.618，那么这个矩形称为黄金矩形，黄金矩形给人以美感在黄金矩形 ABCD 内作正方形 CDEF，得到一个小矩形 ABFE（如图） ，请问矩形 ABFE 是否是黄金矩形？请说明你的结论的正确性14五角星是我们常见的图形，如图所示，其中，点 C，D 分别是线段 AB 的黄金分割点，AB=20cm，求 EC+CD的长15人的肚脐是人的身高的黄金分割点，一般来
6、讲，当肚脐到脚底的长度与身高的比为 0.618 时，是比较好看的黄金身段一个身高 1.70m 的人，他的肚脐到脚底的长度为多少时才是黄金身段（保留两位小数）？16如图所示，以长为 2 的定线段 AB 为边作正方形 ABCD，取 AB 的中点 P，连接 PD，在 BA 的延长线上取点F，使 PF=PD，以 AF 为边作正方形 AMEF，点 M 在 AD 上（1）求 AM，DM 的长；（2）点 M 是 AD 的黄金分割点吗？为什么？第 5 页 共 22 页17如图，点 P 是线段 AB 的黄金分割点，且 APBP ，设以 AP 为边长的正方形面积为 S1，以 PB 为宽和以 AB为长的矩形面积为
7、S2，试比较 S1 与 S2 的大小18如图，在平行四边形 ABCD 中，E 为边 AD 延长线上的一点，且 D 为 AE 的黄金分割点，即 ，BE 交 DC 于点 F，已知 ，求 CF 的长19图 1 是一张宽与长之比为 的矩形纸片，我们称这样的矩形为黄金矩形同学们都知道按图 2 所示的折叠方法进行折叠，折叠后再展开，可以得到一个正方形 ABEF 和一个矩形 EFDC，那么 EFDC 这个矩形还是黄金矩形吗？若是，请根据图 2 证明你的结论；若不是，请说明理由20 （如图 1） ，点 P 将线段 AB 分成一条较小线段 AP 和一条较大线段 BP，如果 ，那么称点 P 为线段 AB的黄金分割
8、点，设 =k，则 k 就是黄金比，并且 k0.618第 6 页 共 22 页（1）以图 1 中的 AP 为底，BP 为腰得到等腰APB（如图 2） ，等腰APB 即为黄金三角形，黄金三角形的定义为：满足 0.618 的等腰三角形是黄金三角形；类似地，请你给出黄金矩形的定义： ；（2）如图 1，设 AB=1，请你说明为什么 k 约为 0.618；（3）由线段的黄金分割点联想到图形的“黄金分割线”，类似地给出“黄金分割线” 的定义：直线 l 将一个面积为 S的图形分成面积为 S1 和面积为 S2 的两部分（设 S1S 2） ，如果 ，那么称直线 l 为该图形的黄金分割线 （如图 3） ，点 P 是
9、线段 AB 的黄金分割点，那么直线 CP 是ABC 的黄金分割线吗？请说明理由；（4）图 3 中的ABC 的黄金分割线有几条？21在人体躯干（脚底到肚脐的长度）与身高的比例上，肚脐是理想的黄金分割点，即比例越接近 0.618，越给人以美感张女士原来脚底到肚脐的长度与身高的比为 0.60，她的身高为 1.60m，她应该选择多高的高跟鞋穿上看起来更美？（精确到十分位）22已知线段 AB，按照如下的方法作图：以 AB 为边作正方形 ABCD，取 AD 的中点 E，连接 EB，延长 DA 到F，使 EF=EB，以线段 AF 为边，作正方形 AFGH，那么点 H 是线段 AB 的黄金分割点吗？请说明理由
10、23如图，用纸折出黄金分割点：裁一张正方的纸片 ABCD，先折出 BC 的中点 E，再折出线段 AE，然后通过折叠使 EB 落到线段 EA 上，折出点 B 的新位置 B，因而 EB=EB类似地，在 AB 上折出点 B使 AB=AB这时B就是 AB 的黄金分割点请你证明这个结论第 7 页 共 22 页24如图，用纸折出黄金分割点：裁一张边长为 2 的正方形纸片 ABCD，先折出 BC 的中点 E，再折出线段 AE，然后通过折叠使 EB 落在线段 EA 上，折出点 B 的新位置 F，因而 EF=EB类似的，在 AB 上折出点 M 使AM=AF则 M 是 AB 的黄金分割点吗？若是请你证明，若不是请
11、说明理由25如图，在ABC 中，点 D 在边 AB 上，且 DB=DC=AC，已知 ACE=108，BC=2（1）求B 的度数；（2）我们把有一个内角等于 36的等腰三角形称为黄金三角形它的腰长与底边长的比（或者底边长与腰长的比）等于黄金比 写出图中所有的黄金三角形，选一个说明理由；求 AD 的长；在直线 AB 或 BC 上是否存在点 P（点 A、B 除外） ，使 PDC 是黄金三角形？若存在，在备用图中画出点 P，简要说明画出点 P 的方法（不要求证明） ；若不存在，说明理由26宽与长的比是 的矩形叫黄金矩形心理测试表明：黄金矩形令人赏心悦目，它给我们以协调，匀称的美感现将小波同学在数学活动
12、课中，折叠黄金矩形的方法归纳如下（如图所示）：第一步：作一个正方形 ABCD；第二步：分别取 AD，BC 的中点 M，N ，连接 MN；第三步：以 N 为圆心，ND 长为半径画弧，交 BC 的延长线于 E；第四步：过 E 作 EFAD，交 AD 的延长线于 F请你根据以上作法，证明矩形 DCEF 为黄金矩形第 8 页 共 22 页27在ABC 中，AB=AC ，A=36 ，把像这样的三角形叫做黄金三角形（1）请你设计三种不同的分法，将黄金三角形 ABC 分割成三个等腰三角形，使得分割成的三角形中含有两个黄金三角形（画图工具不限，要求画出分割线段；标出能够说明不同分法所得三角形的内角度数，不要求
13、写画法，不要求证明分别画在图 1，图 2，图 3 中）注：两种分法只要有一条分割线段位置不同，就认为是两种不同的分法（2）如图 4 中，BF 平分 ABC 交 AC 于 F，取 AB 的中点 E，连接 EF 并延长交 BC 的延长线于 M试判断 CM与 AB 之间的数量关系？只需说明结果，不用证明答：CM 与 AB 之间的数量关系是 28折纸与证明用纸折出黄金分割点：第一步：如图（1） ，先将一张正方形纸片 ABCD 对折，得到折痕 EF；再折出矩形 BCFE 的对角线 BF第二步：如图（2） ，将 AB 边折到 BF 上，得到折痕 BG，试说明点 G 为线段 AD 的黄金分割点（AGGD）2
14、9三角形中，顶角等于 36的等腰三角形称为黄金三角形，如图 1，在ABC 中，已知：AB=AC，且A=36 （1）在图 1 中，用尺规作 AB 的垂直平分线交 AC 于 D，并连接 BD（保留作图痕迹，不写作法） ；（2）BCD 是不是黄金三角形？如果是，请给出证明；如果不是，请说明理由；第 9 页 共 22 页（3）设 ，试求 k 的值；（4）如图 2，在A 1B1C1 中，已知 A1B1=A1C1，A 1=108，且 A1B1=AB，请直接写出 的值30如图 1，点 C 将线段 AB 分成两部分，如果 ，那么称点 C 为线段 AB 的黄金分割点某研究小组在进行课题学习时，由黄金分割点联想到
15、“黄金分割线”，类似地给出“黄金分割线” 的定义：直线 l 将一个面积为 S 的图形分成两部分，这两部分的面积分别为 S1，S 2，如果 ，那么称直线 l 为该图形的黄金分割线（1）研究小组猜想：在ABC 中，若点 D 为 AB 边上的黄金分割点（如图 2） ，则直线 CD 是ABC 的黄金分割线你认为对吗？为什么？（2）请你说明：三角形的中线是否也是该三角形的黄金分割线？（3）研究小组在进一步探究中发现：过点 C 任作一条直线交 AB 于点 E，再过点 D 作直线 DFCE，交 AC 于点F，连接 EF（如图 3） ，则直线 EF 也是ABC 的黄金分割线请你说明理由（4）如图 4，点 E
16、是平行四边形 ABCD 的边 AB 的黄金分割点，过点 E 作 EFAD，交 DC 于点 F，显然直线 EF是平行四边形 ABCD 的黄金分割线请你画一条平行四边形 ABCD 的黄金分割线，使它不经过平行四边形 ABCD各边黄金分割点第 10 页 共 22 页黄金分割专项练习 30 题参考答案:1 （1）证明：AB=AC=1 ，ABC=C= （180A）= （18036）=72，BD 平分ABC 交 AC 于点 D，ABD=CBD= ABC=36，BDC=1803672=72，DA=DB，BD=BC，AD=BD=BC，易得BDCABC ，BC：AC=CD：BC，即 BC2=CDAC，AD2=C
17、DAC，点 D 是线段 AC 的黄金分割点；（2）设 AD=x，则 CD=ACAD=1x，AD2=CDAC，x2=1x，解得 x1= ，x 2= ，即 AD 的长为 2解：（1）设 AB=xcm，则 AD=（20x）cm，根据题意得 x（20x）=99，整理得 x220x+99=0，解得 x1=9，x 2=11，当 x=9 时，20x=11；当 x=11 时，2011=9，而 ABAD，所以 x=11，即 AB 的长为 11cm；（2）不能理由如下：设 AB=xcm，则 AD=（20 x）cm，根据题意得 x（20x）=101，整理得 x220x+101=0，因为=2024101=40，所以方
18、程没有实数解，所以这个矩形的面积可能等于 101cm2；（3）设 AB=xcm，则 AD=（20x）cm，第 11 页 共 22 页根据题意得 20x= x，解得 x=10（ 1） ，则 20x=10（3 ） ，所以矩形的面积=10（ 1）10（3 ）=（400 800）cm 23解：（1）A=36，AB=AC，ABC=ACB=72，BD 平分ABC，CBD=ABD=36，BDC=72，AD=BD，BC=BD，ABCBDC， = ，即 = ，AD2=ACCD点 D 是线段 AC 的黄金分割点（2）点 D 是线段 AC 的黄金分割点，AD= AC，AC=2，AD= 1 4解：（1）腰与底之比为黄
19、金比为黄金比如图，（2）作法：画线段 AB 作为三角形底边； 取 AB 的一半作 AB 的垂线 AC，连接 BC，在 BC 上取 CD=CA分别以 A 点和 B 点为圆心、以 BD 为半径划弧，交点为 E；分别连接 EA、EB，则ABE 即是所求的三角形（3）证明：设 AB=2，则 AC=1，BC= ，AE=BE=BD=BCCD= 1，= 5解：（1）由于 P 为线段 AB=2 的黄金分割点，则 AP=2 = 1，或 AP=2（ 1）=3 ；第 12 页 共 22 页（2）如图，点 P 是线段 AB 的一个黄金分割点6解：（1）设 AC=x，则 BC=ABAC=1x，AC2=BCAB，x2=1
20、（1x） ，整理得 x2+x1=0，解得 x1= ，x 2= （舍去） ，所以线段 AC 的长度为 ；（2）设线段 AD 的长度为 x，AC=l，AD2=CDAC，x2=l（ lx） ，x1= ，x 2= （舍去） ，线段 AD 的长度 AC；（3）同理得到线段 AE 的长度 AD；上面各题的结果反映：若线段 AB 分成两条线段 AC 和 BC（AC BC） ，且使 AC 是 AB 和 BC 的比例中项（即AB：AC=AC：BC） ，则 C 点为 AB 的黄金分割点7解：D 是 AC 的黄金分割点理由如下：在 ABC 中，AB=AC， A=36，ABC=ACB= =721=2，1=2= ABC
21、=36在 BDC 中， BDC=1802C=72，C=BDC，BC=BDA=1，AD=BCABC 和BDC 中，2=A，C=C，第 13 页 共 22 页ABCBDC， ，又 AB=AC，AD=BC=BD， ，AD2=ACCD，即 D 是 AC 的黄金分割点8证明：AB=AC ，A=36，ABC= （18036）=72 ，BD 平分ABC，交于 AC 于 D，DBC= ABC= 72=36，A=DBC，又C=C ，BCDABC，AB=AC， = ，AB=AC=2，BC= 1，（ 1） 2=2（2AD） ，解得 AD= ，AD：AC=（ ）：2点 D 是线段 AC 的黄金分割点9证明：在 AB
22、上截取 AE=BC，DF=BC，连接 EFAE=BC，DF=BC，AE=DF=BC=AD，又ADF=90，四边形 AEFD 是正方形BE= ， ，矩形 BCFE 的宽与长的比是黄金分割比，矩形 BCFE 是黄金矩形第 14 页 共 22 页黄金矩形是由一个正方形和一个更小的黄金矩形构成10解：设正方形 ABCD 的边长为 2，在 RtAEB 中，依题意，得 AE=1，AB=2 ，由勾股定理知 EB= = = ，AH=AF=EFAE=EBAE= 1，HB=ABAH=3 ；AH2=（ ） 2=62 ，ABHB=2（3 ）=6 2 ，AH2=ABHB，所以点 H 是线段 AB 的黄金分割点 11证明
23、：（1）A=36，C=72，ABC=1803672=72，ADB=108，ABD=18036108=36，ADB 是等腰三角形，BDC=180ADC=180108=72，BDC 是等腰三角形，AD=BD=BC（2）DBC= A=36， C=C，ABCBDC，BC：AC=CD：BC，BC2=ACDC，BC=AD，AD2=ACDC，点 D 是线段 AC 的黄金分割点 12解：D 在 AB 上，且 AD2=BDAB，点 D 是 AB 的黄金分割点而点 C 是 AB 的黄金分割点，AC= AB= 1，AD=AB AB= AB=3 或 AD= 1，AC=3 ，CD= 1（3 ）=2 4，第 15 页 共
24、 22 页 = = 或 = = 13解：矩形 ABFE 是黄金矩形AD=BC，DE=AB ， = = 1= = 矩形 ABFE 是黄金矩形14解：D 为 AB 的黄金分割点（ADBD） ，AD= AB=10 10，EC+CD=AC+CD=AD，EC+CD=（10 10）cm 15解：设他的肚脐到脚底的长度为 xm 时才是黄金身段，根据题意得 x：1.70=0.618，即 x=1.700.6181.1（m） 答：他的肚脐到脚底的长度为 1.1m 时才是黄金身段 16解：（1）在 RtAPD 中，AP=1，AD=2，由勾股定理知 PD= = = ，AM=AF=PFAP=PDAP= 1，DM=ADA
25、M=3 故 AM 的长为 1，DM 的长为 3 ；（2）点 M 是 AD 的黄金分割点由于 = ，点 M 是 AD 的黄金分割点 17解：点 P 是线段 AB 的黄金分割点，且 APBP，AP2=BPAB，又 S1=AP2，S 2=PBAB，S1=S218解：四边形 ABCD 为平行四边形，CBF=AEB， BCF=BAE，BCFEAB， ，即 ，把 AD= ，AB= +1 代入得， = ，解得：CF=2故答案为：2 19解：矩形 EFDC 是黄金矩形，第 16 页 共 22 页证明：四边形 ABEF 是正方形，AB=DC=AF，又 ， ，即点 F 是线段 AD 的黄金分割点 ， ，矩形 CD
26、FE 是黄金矩形 20解：（1）满足 0.618 的矩形是黄金矩形；（2）由 =k 得，BP=1k=k，从而 AP=1k，由 得，BP 2=APAB，即 k2=（1 k）1，解得 k= ，k 0，k= 0.618；（3）因为点 P 是线段 AB 的黄金分割点，所以 ，设ABC 的 AB 上的高为 h，则，直线 CP 是ABC 的黄金分割线（4）由（2）知，在 BC 边上也存在这样的黄金分割点 Q，则 AQ 也是黄金分割线，设 AQ 与 CP 交于点 W，则过点 W 的直线均是ABC 的黄金分割线，故黄金分割线有无数条21解：根据已知条件得下半身长是 1600.6=96cm，设选择的高跟鞋的高度
27、是 xcm，则根据黄金分割的定义得：第 17 页 共 22 页=0.618，解得：x7.5cm故她应该选择 7.5cm 左右的高跟鞋穿上看起来更美 22解：设正方形 ABCD 的边长为 2a，在 RtAEB 中，依题意，得 AE=a，AB=2a，由勾股定理知 EB= = a，AH=AF=EFAE=EBAE=（ 1）a，HB=ABAH=（ 3 ）a；AH2=（ 62 ）a 2，ABHB=2a（ 3 ）a=（62 ）a 2，AH2=ABHB，所以点 H 是线段 AB 的黄金分割点23证明：设正方形 ABCD 的边长为 2，E 为 BC 的中点，BE=1AE= = ，又 BE=BE=1，AB=AEB
28、E= 1，AB点 B是线段 AB 的黄金分割点24证明：正方形 ABCD 的边长为 2，E 为 BC 的中点，BE=1AE= = ，EF=BE=1，AF=AEEF= 1，AM=AF= 1，AM：AB=（ 1）：2，第 18 页 共 22 页点 M 是线段 AB 的黄金分割点 25解：（1）BD=DC=AC则B= DCB， CDA=A设B=x，则 DCB=x， CDA=A=2x又BOC=108，B+A=108x+2x=108，x=36 B=36；（2）有三个：BDC ，ADC ，BACDB=DC，B=36 ，DBC 是黄金三角形，（或 CD=CA，ACD=180 CDAA=36CDA 是黄金三角
29、形或ACE=108 ，ACB=72又A=2x=72，A=ACBBA=BCBAC 是黄金三角形BAC 是黄金三角形， ，BC=2，AC= 1BA=BC=2，BD=AC= 1，AD=BABD=2（ 1）=3 ，存在，有三个符合条件的点 P1、P 2、P 3）以 CD 为底边的黄金三角形：作 CD 的垂直平分线分别交直线 AB、BC 得到点 P1、P 2）以 CD 为腰的黄金三角形：以点 C 为圆心，CD 为半径作弧与 BC 的交点为点 P326证明：在正方形 ABCD 中，取 AB=2a，N 为 BC 的中点，NC= BC=a在 RtDNC 中， 第 19 页 共 22 页又 NE=ND，CE=N
30、ENC=（ 1）a 故矩形 DCEF 为黄金矩形27解：（1）（2）CM=AB（4 分）28证明：如图，连接 GF，设正方形 ABCD 的边长为 1，则 DF= 在 RtBCF 中， BF= = ，则 AF=BFBA= 1设 AG=AG=x，则 GD=1x，在 RtAGF 和 RtDGF 中，有 AF2+AG2=DF2+DG2，即 ，解得 x= ，即点 G 是 AD 的黄金分割点（AGGD） 29解：（1）如图所示；第 20 页 共 22 页（2）BCD 是黄金三角形证明如下：点 D 在 AB 的垂直平分线上，AD=BD，ABD=AA=36，AB=AC，ABC=C=72，ABD=DBC=36又
31、BDC=A+ ABD=72，BDC=C，BD=BC，BCD 是黄金三角形（3）设 BC=x，AC=y ，由（2）知，AD=BD=BC=xDBC=A，C= C，BDCABC， ，即 ，整理，得 x2+xyy2=0，解得 因为 x、y 均为正数，所以 （4） 理由：延长 BC 到 E，使 CE=AC，连接 AEA=36，AB=AC，ACB=B=72，ACE=18072=108，ACE=B1A1C1A1B1=AB，AC=CE=A1B1=A1C1，ACEB1A1C1，AE=B1C1由（3）知，第 21 页 共 22 页 ， ， 30解：（1）直线 CD 是ABC 的黄金分割线理由如下：设ABC 的边
32、AB 上的高为 h则 ， ， ， ， 又 点 D 为边 AB 的黄金分割点， ， 故直线 CD 是ABC 的黄金分割线（2）三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分， ，即 ，故三角形的中线不可能是该三角形的黄金分割线（3）DFCE，DFC 和DFE 的公共边 DF 上的高也相等，SDFC=SDFE，SADC=SADF+SDFC=SADF+SDFE=SAEF，S BDC=S 四边形 BEFC又 ， 因此，直线 EF 也是ABC 的黄金分割线 （7 分）（4）画法不惟一，现提供两种画法；画法一：如答图 1，取 EF 的中点 G，再过点 G 作一条直线分别交 AB，DC 于 M，N 点，则直线 MN 就是平行四边形 ABCD 的黄金分割线画法二：如答图 2，在 DF 上取一点 N，连接 EN，再过点 F 作 FMNE 交 AB 于点 M，连接 MN，则直线 MN 就是平行四边形 ABCD 的黄金分割线第 22 页 共 22 页（9 分）
