1、1例 5、 （衢州市）如图，已知点 A(-4，8)和点 B(2， n)在抛物线 2yax上(1) 求 a 的值及点 B 关于 x 轴对称点 P 的坐标，并在 x 轴上找一点 Q，使得 AQ+QB 最短，求出点 Q 的坐标；(2) 平移抛物线 2ya，记平移后点 A 的对应点为 A，点 B 的对应点为 B，点 C(-2，0)和点 D(-4，0)是x 轴上的两个定点 当抛物线向左平移到某个位置时， A C+CB 最短，求此时抛物线的函数解析式； 当抛物线向左或向右平移时，是否存在某个位置，使四边形 A B CD 的周长最短？若存在，求出此时抛物线的函数解析式；若不存在，请说明理由14 年 1 月石
2、景山期末6. 已知点 和点 在抛物线 上. )2,(A),4(nB)0(2axy（1）求 的值及点 的坐标；a（2）点 在 轴上，且满足 是以 为直角边的直角三角形，求点 的坐标;PyAPBP（3）平移抛物线 ，记平移后点 A 的对应点为 ，点 B 的对应点为 . 点 M（2,0）在 x)0(2ax 轴上，当抛物线向右平移到某个位置时， 最短，求此时抛物线的函数解析式.M练习1、 （达州）15、如图 6，在边长为 2的正方形 ABCD 中，点 Q 为 BC 边的中点，点 P 为对角线 AC 上一动点，连接 PB、PQ，则PBQ 周长的最小值为_（结果不取近似值）.2如图所示，正方形 的面积为
3、12， 是等边三角形，点 在正方形 内，在对角线 上ABCDABE EABCDAC有一点 ，使 的和最小，则这个最小值为（ ） A B C3 PE 23264 x22A 8-2O-2-4y6BCD-442D 63、 滨州市中考第 24 题如图 1，在平面直角坐标系中，抛物线 y ax2 bx c 经过 A(2, 4 )、 O(0, 0)、 B(2, 0)三点（1）求抛物线 y ax2 bx c 的解析式；（2）若点 M 是该抛物线对称轴上的一点，求 AM OM 的最小值4 、山西省中考第 26 题如图 1，在平面直角坐标系中，抛物线 y x22 x3 与 x 轴交于 A、 B 两点，与 y 轴
4、交于点 C，点 D 是抛物线的顶点 （1）求直线 AC 的解析式及 B、 D 两点的坐标；（2）点 P 是 x 轴上的一个动点，过 P 作直线 l/AC 交抛物线于点 Q试探究：随着点 P 的运动，在抛物线上是否存在点 Q，使以 A、 P、 Q、 C 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出符合条件的点 Q 的坐标；若不存在，请说明理由；（3）请在直线 AC 上找一点 M，使 BDM 的周长最小，求出点 M 的坐标图 1满分解答5. （年山东聊城）已知ABC 中，边 BC 的长与 BC 边上的高的和为 20（1）写出ABC 的面积 y 与 BC 的长 x 之间的函数关系式，并求出面积为
5、48 时 BC 的长；（2）当 BC 多长时，ABC 的面积最大？最大面积是多少？（3）当ABC 面积最大时，是否存在其周长最小的情形？如果存在，请说出理由，并求出其最小周长；如果不存在，请给予说明6. （江苏苏州）如图，在平面直角坐标系中，RtOAB 的顶点 A 在 x 轴的正半轴上，顶点 B 的坐标为（3， ） ，点 C 的坐 标为（ ，0） ，点 P 为斜边 OB 上的一动点，则 PAPC 的最小值为【 】12A B C D2123977. （已知点 D 与点 A（8，0） ，B（0，6） ，C（a，a）是一平行四边形的四个顶点，则 CD 长的最小值为 .38. 如图，在正方形 ABCD
6、 中，E 是 AB 上一点，BE=2，AE=3BE，P 是 AC 上一动点，则 PB+PE 的最小值是 9.如图，抛物线 y=ax2+bx+c（a0）的图象过点 C（0，1） ，顶点为 Q（2，3） ，点 D 在 x 轴正半轴上，且OD=OC（1）求直线 CD 的解析式；（2）求抛物线的解析式；（3）将直线 CD 绕点 C 逆时针方向旋转 45所得直线与抛物线相交于另一点 E，求证：CEQCDO；（4）在（3）的条件下，若点 P 是线段 QE 上的动点，点 F 是线段 OD 上的动点，问：在 P 点和 F 点移动过程中，PCF 的周长是否存在最小值？若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由
7、一、 费马点、利用旋转变换求线段和最值费马点编 辑 本 段 费 马 点 定 义在 一 个 多 边 形 中 ， 到 每 个 顶 点 距 离 之 和 最 小 的 点 叫 做 这 个 多 边形 的 费 马 点 。在 平 面 三 角 形 中 :(1).三 内 角 皆 小 于 120的 三 角 形 ， 分 别 以 AB,BC,CA， 为 边 ，向 三 角 形 外 侧 做 正 三 角 形 ABC1,ACB1,BCA1,然 后 连 接AA1,BB1,CC1,则 三 线 交 于 一 点 P,则 点 P 就 是 所 求 的 费 马 点 . (2).若 三 角 形 有 一 内 角 大 于 或 等 于 120 度
8、,则 此 钝 角 的 顶 点 就是 所 求 .(3)当 ABC 为 等 边 三 角 形 时 ,此 时 外 心 与 费 马 点 重 合（ 1） 等 边 三 角 形 中 BP=PC=PA， BP、 PC、 PA 分 别 为 三 角形 三 边 上 的 高 和 中 线 、 三 角 上 的 角 分 线 。 是 内 切 圆 和 外 切 圆 的 中心 。 BPC CPA PBA。（ 2） 当 BC=BA 但 CAAB 时 ， BP 为 三 角 形 CA 上 的 高 和 中 线 、 三 角 上 的 角 分 线 。 编 辑 本 段 证 明(1)费 马 点 对 边 的 张 角 为 120 度 。 CC1B 和 A
9、A1B 中 ,BC=BA1,BA=BC1, CBC1= B+60 度 = ABA1, CC1B 和 AA1B 是 全 等 三 角 形 ,得 到 PCB= PA1B同 理 可 得 CBP= CA1P由 PA1B+ CA1P=60 度 ， 得 PCB+ CBP=60 度 ,所 以 CPB=120 度同 理 , APB=120 度 ， APC=120 度(2)PA+PB+PC=AA1将 BPC 以 点 B 为 旋 转 中 心 旋 转 60 度 与 BDA1 重 合 ， 连 结 PD， 则 PDB 为 等 边 三 角 形 ， 所 以4 BPD=60 度又 BPA=120 度 ， 因 此 A、 P、 D
10、 三 点 在 同 一 直 线 上 ，又 CPB= A1DB=120 度 ， PDB=60 度 ， PDA1=180 度 ， 所 以 A、 P、 D、 A1 四 点 在 同 一 直 线上 ， 故 PA+PB+PC=AA1。(3)PA+PB+PC 最 短在 ABC 内 任 意 取 一 点 M（ 不 与 点 P 重 合 ） ， 连 结 AM、 BM、 CM， 将 BMC 以 点 B 为 旋 转 中 心 旋转 60 度 与 BGA1 重 合 ， 连 结 AM、 GM、 A1G(同 上 )， 则 AA1A1G+GM+MA=AM+BM+CM.所 以 费 马点 到 三 个 顶 点 A、 B、 C 的 距 离
11、 最 短 。平 面 四 边 型 费 马 点平 面 四 边 型 中 费 马 点 证 明 相 对 于 三 角 型 中 较 为 简 易 ， 也 较 容 易 研 究 。（ 1） 在 凸 四 边 型 ABCD 中 ， 费 马 点 为 两 对 角 线 AC、 BD 交 点 P。（ 2） 在 凹 四 边 型 ABCD 中 ， 费 马 点 为 凹 顶 点 D（ P） 。7（自编）已知 O 点坐标为（0，0） ，A 点坐标为（8，0） ，B 点坐标为（0，8） ，在平面直角坐标系上确定点 P，使OPAPBP 最小。并求出点 P 坐标和 OPAPBP 的最小值。8 （自编）已知 O 点坐标为（0，0） ，A 点坐
12、标为（5，0） ，B 点坐标为（ ， ） ，在平面直角坐标系上确定点 P，使32OPAPBP 最小。并求出点 P 坐标和 OPAPBP 的最小值。9、若 P 为 所在平面上一点，且 ，则点 叫做 的费马点.BC 10APCAPABC（1）若点 为锐角 的费马点，且 ，则 的值为_； 60， 3， 4（2）如图，在锐角 外侧作等边 连结 .A B求证： 过 的费马点 ，且 = . PACB525.如图，在平面直角坐标系 中，点 的坐标为 ，点 在 轴的正半轴上， ， 为xOyB)2,0(Dx30ODBE 的中线，过 、 两点的抛物线 与 轴相交于 、 两点（ 在 的左侧）.BODBE36axcA
13、F（1）求抛物线的解析式；（2）等边 的顶点 、 在线段 上，求 及 的长；MNEM（3）点 为 内的一个动点，设 ，请直接写出 的最小值,以及 取得最小值时，PAmPABOm线段 的长.（备用图）613 通州24已知： ， ，以 AB 为一边作等边三角形 ABC.使 C、D 两点落在直线 AB 的两侧.2AD4B（1）如图，当ADB=60时，求 AB 及 CD 的长；（2）当ADB 变化，且其它条件不变时，求 CD 的 最大值，及相应ADB 的大小.1 房山 28如图 1，已知线段 BC=2，点 B 关于直线 AC 的对称点是点 D，点 E 为射线 CA 上一点，且 ED=BD，连接 DE，
14、BE.(1) 依题意补全图 1，并证明：BDE 为等边三角形；(2) 若ACB =45，点 C 关于直线 BD 的对称点为点 F，连接 FD、FB.将 CDE 绕点 D 顺时针旋转 度（0 360）得到 ，点 E 的对应点为 E，点 C 的对应点为点 C.D如图 2，当 =30时，连接 证明： = ；BB 如图 3，点 M 为 DC 中点，点 P 为线段 上的任意一点，试探究：在此旋转过程中，线段 PM 长度的取值范围？2 顺义 28如图， ABC 中， AB=AC，点 P 是三角形右外一点，且 APB= ABC（1）如图 1，若 BAC=60，点 P 恰巧在 ABC 的平分线上， PA=2，求 PB 的长；（2）如图 2，若 BAC=60，探究 PA， PB， PC 的数量关系，并证明；（3）如图 3，若 BAC=120，请直接写出 PA， PB， PC 的数量关系AD BCEDCBFAEDMCEBFAP图 1DCBA图 2 图 37图 3图 1 图 2 AB CPAB CPAB CP
