1、1第一章整式整式的加减 本章的知识是以后学习一次方程，整式乘除，分式和根式运算，函数等知识的基础，也是今后学习物理、化学等学科必不可少的工具。 本章的重点是合并同类项和整式的加减。难点是同类项的合并和添括号法则的理解和运用. 为了掌握本章知识，我们要注意以下几点: 1.理解单项式，多项式和整式的概念，弄清它们的联系。 2.掌握单项式的系数、次数、多项式的项数、次数等概念。 3.理解同类项的概念，掌握合并同类项的法则和去括号、添括号的法则，准确进行整式的加减运算。 4.要熟练地把一个多项式按某一个字母升幂或降幂排列。 整 式 一.本讲知识要点: (一)单项式 : 1.单项式是只含数与字母的乘法运
2、算的代数式，单独一个数或字母也叫单项式。如 mn 是数 、字母 m、n 的积，它是单项式，但 不是单项式，因它分母中含有字母，相当于含有字母与字母的除法运算。 ， ，a，b 都是单项式。在 a2b， ，2x 2+3x+5 中，只有 a2b是单项式。2.单项式的系数:单项式中，数字因数叫做这个单项式的系数。如 的系数是 ，5a 3 的系数是 5。 3.单项式的次数:单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数。 如: x3y2 的次数是 x 的指数 3 与 y 的指数 2 的和为 5，即 x3y2 的次数是 5； ab 的次数是2；4abc 的次数是 3，2a 的次数是 1，4 的次数是 0
3、。 下面我们通过填表来进一步练习: 单项式 x3y - 0.6x2y2z2 -15a2b2 0.7pq - p x2 系数 - 0.6 -15 0.7 - 次数 4 3 6 4 2 1 2 (二 )多项式 : 1.几个单项式的和叫做多项式。在多项式中，每个单项式叫做多项式的项，其中，不含字母的项叫做常数项。 如：多项式-2x+3 中，-2x ，3 是它的项，3 是常数项；多项式 5x2-3x+4 中，5x 2，-3x，4 是它的项，4 是它的常数项. 注意:多项式的项包括它前面的符号。 2.多项式的项数:一个多项式含有几项，就叫做几项式 .如 3x-1 是二项式，7x 2-5x+3 是三项式，
4、a 3+3a2b+3ab2+b3 是四项式。 3、多项式的次数:多项式里，次数最高项的次数，就是这个多项式的次数。 如:多项式 5x2-x+2 中 5x2 项的次数最高，次数为 2，所以，此多项式的次数是二，它是二次三项式；4x-3 是一次二项式；m 2+mn+n2 是二次三项式； x4y+ xy4 是五次二项式。 24.把一个多项式按某一个字母的指数从大到小的顺序排列起来，叫做把多项式按这个字母降幂排列；若按某一个字母的指数从小到大的顺序排列起来，叫做把多项式按这个字母升幂排列。 如:多项式 2x3y2-xy3+ x2y4-5x4-6 是六次五项式，按 x 的降幂排列为-5x 4+2x3y2
5、+ x2y4-xy3-6，在这里只考虑 x 的指数，而不考虑其它字母；按 y 的升幂排列为-6-5x 4+2x3y2-xy3+ x2y4。 注意:(1)重新排列一个多项式时，各项都要带着符号移动位置； (2)对含有两个以上字母的多项式，一般都按其中某一个字母的降幂排列。 (三 )整式 : 单项式和多项式统称为整式。即 如:-3，a 2b， ，a 2-b2 都是整式。 二.例题: 例 1.下列整式中，哪些是单项式，哪些是多项式?说出各单项式的系数、次数；各多项式是几次几项式，并按某一个字母降幂排列: -12 ，-2a，x 2yz，m 2-n2，x 2+2x+1，-3x 2+2y2-xy，0.5，
6、4-3a 2b-ab2-b3。 解:单项式有:-12，-2a ，x 2yz，0.5；-12 的系数就是 -12，次数是 0；-2a 的系数是-2，次数是1；x 2yz 的系数是 1，次数是 4；0.5 的系数是 0.5，次数为 0。 多项式有 m2-n2，x 2+2x+1，-3x 2+2y2-xy，4-3a 2b-ab2-b3；m 2-n2 是二次二项式，按 m 的降幂排列为 m2-n2；x 2+2x+1 是二次三项式，它本身就是按 x 的降幂排列；-3x 2+2y2-xy 是二次三项式，按 y 的降幂排列为 2y2-xy-3x2；4-3a2b-ab2-b3 是三次四项式，按 a 的降幂排列为
7、：-3a 2b-ab2-b3+4。 例 2.指出下列各式中的单项式、多项式和整式:13 ， ， ， ， -x，5a，abc， ，ax2+bx+c，a 3+b3。 解:单项式有:13，5a，abc； 多项式有: ， -x，ax 2+bx+c，a 3+b3； 整式有:13，5a，abc ， ， -x，ax 2+bx+c，a 3+b3。 例 3.当 x=- ，y=- 时，求 x2y+xy2-y3 的值。 解:当 x=- ，y=- 时， x 2y+xy2-y3=(- )2(- )+(- )(- )2-(- )3=- - + = 例 4.m 是大于-1 的负整数，n 是绝对值为 2 的有理数， 求: m
8、3-2n2m2+6n3m 的值。解:首先要确定 m，n 的取值，依题意得 m=-1, |n|=2， n=2 ，要分两种情况讨论: 3当 m=-1，n=2 时， m3-2n2m2+6n3m= (-1)3-222(-1)2+623(-1)=- -8-48=-56当 m=-1，n=-2 时， m3-2n2m2+6n3m= (-1)3-2(-2)2(-1)2+6(-2)3(-1)=- -8+48=39 例 5.已知:3x my2m-1z- x2y-4 是六次三项式，求 m 的值。解:3x my2m-1z- x2y-4 是六次三项式，而 - x2y 的次数是 3；-4 的次数是 0， 3x my2m-1
9、z 的次数应是六， m+2m-1+1=6 3m=6 m=2例 6.已知| a-5|=0，且(a-5)|b+7|=a+5，求 b 的值。分析:由已知| a-5|=0 就可以求出 a 的值，将 a 的值代入第二个等式就可求出 b 的值。解: | a-5|=0， a-5=0， a=5， a=15。将 a=15 代入(a-5)|b+7|=a+5 得， (15-5)|b+7|=15+5 10|b+7|=20|b+7|=2 b+7=2 或 b+7=-2 b=-5 或 b=-9。三.练习: (一 )判断正误 : 1.单项式- 的系数是- ，次数是 n+1。 ( ) 2.多项式 6x3-4x2y+3xy2-y
10、3 的项是 6x3，4x 2y，3xy 2，y 3。 ( ) 3.多项式 ab3-a2b2-3a3b+2 是按 a 的升幂排列的。 ( ) 4.m 2n 没有系数。 ( ) 5.-13 是一次一项式。 ( ) (二 )填空 : 1.下列代数式中:x 2-2x-1， ， ， ，m-n， ，- ，x， ， 。单项式有4_，多项式是_整式有_。2.填表: 单项式 25m -x -7.6 -2m3 a3b2c - 系数 次数 3.3x 2-4x+5 是_次_项式。4.(k-2)x 2-5x+9 是关于 x 的一次多项式，则 k=_。5.把多项式-5x 6+x2y2-2x3y+6x2y3 按 y 降幂排
11、列为_，其中最高次项为_。6.4x n+6xn+1+ xn+2- xn+3（n 是自然数）是_次_项式，其中最高次项的系数是_。7.-3x m+5xm+1-6xm+2-1.5xm-1+4xm-2（m 是大于 2 的自然数）按 x 降幂排列为_。8.若(|m|-2) 2+(2n+1)2=0，则 mn=_。9.若 x，y 互为相反数，那么，3x+2y=_。10.如果多项式 x2-7x-2 和 3x2+5x+n 的常数相同，则 n- =_。11.当 m=_时，多项式 8x2+3mxy-5y2+ xy-8 中不含 xy 项。12.若 10，b0, bn) 同底数幂的除法是整式除法的基础，要熟练掌握。同
12、底数幂的除法法则是根据除法是乘18法的逆运算归纳总结出来的，和前面讲的幂的运算的三个法则相比，在这里底数 a 是不能为零的，否则除数为零，除法就没有意义了。又因为在这里没有引入负指数和零指数，所以又规定mn。能从特殊到一般地归纳出同底数幂的除法法则。 同底数幂的两个幂相除，如果被除式的指数与除式的指数相等，那么商等于 1，即amam=1,m 是任意自然数。a0, 即转化成 a0=1(a0)。 同底数幂的两个幂相除，如果被除式的指数小于除式的指数，即 m-n0. =- + =+ 注意：例题的计算中的混合运算注意运算顺序，不要出现以下错误：a 21a8a12=a21a20=x. 例 10.计算：(
13、1) (2a+b) 5(2a+b)3 (2) x 8(x4x2) (3) (a 2)4(a3)4(a5)2*(4) (x+y)(x+y)-1 解：(1) (2a+b)5(2a+b)3 分析：此题为同底数幂相除 =(2a+b) 5-3 底数为(2a+b)不变，指数相减 =(2a+b) 2 (2) x 8(x4x2) 分析：先做小括号内的运算 =x 8(x4-2) 除法没有分配律，不能出现以下错误： =x 8x2 如：x 8(x4x2)=x8x4x2=x4x2=x2 =x 8-2=x6 (3) (a 2)4(a3)4(a5)2 分析：先做小括号乘方再做中括号乘法， =(a 8a12) a10=a2
14、0a10 最后做除法 =a 20-10=a10 *(4) (x+y)(x+y) -1 分析：可运用同底数幂相除的法则： =(x+y) 1-(-1) 底数不变指数相减，即底数 (x+y) =(x+y) 2 不变，指数： 1-(-1)=2 20*幂的运算法则可归纳为： a man=am-n= 幂的运算法则的逆用 学习了幂的运算法则后，同学们对法则的正向运用比较得心应手。但把它们逆过来运用却不习惯，其实逆用幂的运算法则，能使难题变易、繁题变简。（有几个地方比较难，可能有的同学看不懂。主要是希望大家先掌握这种逆用法则的思路，可以以后再回来看） 例 1计算 (1) 82002(-0.125)2002；
15、(2)(a-2) 2+(2b+1)2=0,则 a2001b2001=_. 解：(1)原式 =8(-0.125)2002=(-1)2002=1. (2)a=2, b=- . a 2001b2001=(ab)2001 =2(- )2001=-1. 例 2计算(x-y) 2(x+y)2(x2-xy+y2)2(x2+xy+y2)2 解：原式=(x-y) 2(x2+xy+y2)2(x+y)2(x2-xy+y2)2 =(x-y)(x 2+xy+y2)2(x+y)(x2-xy+y2)2 =(x 3-y3)2(x3+y3)2=(x3-y3)(x3+y3)2 =(x 6-y6)2=x12-2x6y6+y12.
16、例 3已知 10a=5, 10b=6, 求：(1) 102a+b；(2) 10 a-2b 的值。 解： 10 a=5, 10b=6, (1) 102a+b=102a10b=(10a)210b=526=150； (2) 10a-2b=10a102b=10a(10b)2=562= . 例 4用“”号，把 355、4 44、5 33 连结起来。 解： 3 55=(35)11=24311, 444=(44)11=25611, 5 33=(53)11=12511, 而 256112431112511. 4 44355533. 例 51988 1989+19891988 的个位数字是（ ）。 A、9 B、
17、7 C、5 D、3 解： 1988 1989=19884497+1=(19884)4971988, 而(1988 4)497 的个位数是 6。 1988 1989 的个位数是 8。 21 1989 1988=19892994=(19892)994, 而 19892 的个位数字是 1， 则(1989 2)994 的个位数字是 1。 即 19891988 的个数数字是 1。 1988 1989+19891988 的个位数字是 9，故选 A。 同底数幂的乘法 考点扫描： 掌握同底数幂的乘法的运算性质并能熟练地应用。 名师精讲： 1同底数幂的概念：几个相同因数 a 相乘，即 ，记作 an,读作 a 的
18、 n 次幂，其中 a叫做底数，n 叫做指数。 2同底数幂的乘法性质：同底数的幂相乘，底数不变，指数相加。用式子表达：aman=am+n（m ，n 都是正整数）。三个或三个以上同底数幂相乘时，也具有这一性质。如amanap=am+n+p（m，n，p 都是正整数）。 3底数可以是一个数，也可以是一个单项式或多项式。 中考典例： （济南市） a=a 3 考点：同底数幂的乘法 评析：该题表面是除法运算，但方法却用乘法，因为给出的条件是商和除式，求被除式。 a 3a=a4 应填 a4真题专练： （浙江绍兴）计算 x2x3= 。 答案：x 5 说明：本节知识是整式乘除及混合运算的基础，虽然单独命题较少，但
19、是教学重点。 幂的乘方与积的乘方 考点扫描： 掌握幂的乘方与积的乘方的运算性质并能熟练地应用。 名师精讲： 1幂的乘方是指几个相同的幂相乘，积的乘方是指底数是乘积形式的乘方。幂的乘方与积的乘方都是整式乘法的基础。 2幂的乘方的性质：幂的乘方，底数不变，指数相乘，用式子表达：（a m） n=amn（m，n都是正整数）。运用这个性质时，要与同底数幂的乘法区别开来，不能混淆。性质对形如(a m)np仍适用。底数 a 可以是一个数，也可以是一个整式。性质也可逆向运用：a mn=（a m） n 3积的乘方的性质：积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方再把所得的幂相乘。用式子表达：（ab） n=anbn（
20、n 是正整数）。三个或三个以上的积的乘方，也具有这一性质，如（ abc）n=anbncn，运用这一性质时，不要犯(ab) n=abn 的错误，也不要犯(a+b) n=an+bn 的错误，性质中的a、b 可以是数也可以是整式。性质也可逆向运用：a nbn=（ab） n。 中考典例： 1（广东省）计算(x 4)3x7 的结果是（ ） A、x 12 B、x 14 C、x 19 D、x 84 考点：同底数幂的乘法、幂的乘方 评析：对(x 4)3x7 进行运算，再与四个选项进行比较即可。 22(x 4)3x7= x12x7=x19，因此，应选 C。 真题专练： 1（北京石景山区）( a 2)3 的运算结
21、果为（ ） A、a 5 B 、a 5 C、a 6 D、a 6 2（北京西城区）(a 2)3 的计算结果是（ ） A、a 5 B 、a 6 C、a 8 D、a 9 3（北京西城区）某种细菌在培养过程中，细菌每半小时分裂一次（由一个分裂为两个），经过两小时，这种细菌由 1 个可分裂繁殖成（ ） A、8 个 B、16 个 C、4 个 D、32 个 4（北京宣武区）(a 2)3 的计算结果是（ ）A、a 5 B 、 a 5 C、a 6 D、 a 65（北京海淀区）下列计算中，正确的是（ ） A、aa 2 a2 B、(a+1) 2a 2+1 C 、( a) 3 a 3 D、(ab) 2ab 2 6（吉林
22、省）下面运算正确的是（ ） A、( 2x) 2x3=4x6 B、x 2x=x。 C 、(4x 2)3=4x6 D 、3x 2 (2x)2=x2。 7（陕西省）计算( x 2)3 的结果是（ ） A、 x 5 B、x 5 C、 x 6 D、x 6 8（济南市）计算( 2a 2)2 的结果是（ ） A、 4a 4 B 、 2a 4 C、4a 4 D、2a 4 答案：1、C 2、B 3、B（提示：1 个细菌 2 小时分裂繁殖成 4 次，2 4=16，应选 B）4、D 5、C 6、B 7、C 8、C 同底数幂的除法 考点扫描 1掌握同底数幂的除法运算性质，会用它熟练地进行运算。 2了解零指数和负整数指
23、数的意义。 3了解正整数指数幂的运算性质可以推广到整数指数幂。 4会用科学记数法表示数。 名师精讲 1同底数幂的除法性质：a man=am n（a0，m，n 都是正整数，且 mn），这就是说，同底数幂相除，底数不变，指数相减。同底数幂的除法性质可推广到三个以上的同底数幂除法：am anap=amnp（a0 ，m，n，p 都是正整数）。公式中的 a 可以是具体的数，也可以是单项式或多项式（字母取值要满足底数不等于 0）。 2零指数幂：当 m=n 时，a man =a0，规定 a0=1（a0），也就是说，任何不等于 0 的数的0 次幂都等于1，0 0 无意义。 3负整数指数幂：当 mn 时，a m
24、an=am n（mn 为负整数）。一般地，规定 a P= （ a0， p 是正整数），这就是说，任何不等于零的数的p（p 是正整数）次幂，等于这个数的 p 次幂的倒数。0 的负整数次幂无意义。 4用科学记数法表示小于 1 的正数：任何一个小于 1 的正数，都可写成 a10n 的形式，其中 1a10，即 a 是带一位整数的小数或一位整数，n 是一个负整数，它的绝对值等于原数中从左往右第一个不为零的数字前面所有零的个数（包括小数点前的一个 0）。 中考典例 231（北京朝阳区）下列计算正确的是（ ） A、a 2+a22a 4 B、a 6a3a 2 C 、(-a 3)2-a 6 D、a 3a2a 5
25、 考点：幂的运算性质 评析：该题是全面考查学生对幂的运算性质掌握的情况，特别是初学同底数幂的除法后，更要弄清各种运算法则的异同，按照各种法则逐一排查，易知 D 是正确的。 2（北京东城区）1 纳米=0.000000001 米，则 2.5 纳米用科学记数法表示为（ ） A、2.510 8 米 B、2.510 9 米 C 、2.510 10 米 D、2.510 9 米 考点：科学记数法 评析：根据换算关系先将 2.5 纳米换算成米为单位,即 0.0000000025 米，然后再用科学记数法表示为2.5109 米故选 B 说明：把一个正数 b 用科学记数法改写成 a10n 的形式时，0a 10，n
26、可正、可负，也可是 0；当 b10 时，n 是正数，当 1b10 时，n 等于 0，当 0b1 时，n 是负数。 3（北京燕山）(a 2+1)0 的值为（ ） A、0 B、a 2+1 C、1 D、a 2 考点：零指数幂 评析：因为 a20，所以 a2+10 ，a 2+10。根据零指数幂的意义“任何不等于 0 的数的 0 次幂都等于 1”故应选 C。 4（河北省）在下列计算中，正确的是（ ） A、(ab 2)3=ab6 B、(3xy) 3=9x3y3 C 、(-2a 2)2=-4a4 D、(2) 2= 考点：积的乘方、幂的乘方、负整数指数幂 评析：解决此类问题一般用排除法，根据积的乘方、幂的乘方
27、法则，中（a 2） 3 应为a3b6，而结果 ab6 所以不对，中的 3327 而不是 9，中（-2） 24，而不是-4。根据负整数指数幂的意义， - = （0，是正整数）,则（ -2） -2 ，所以应选。 说明：要想准确解答这种问题，关键是准确熟练的掌握幂的各种运算性质。 真题专练 1（北京朝阳区）用科学记数法表示 0.00608 的结果是（ ） A、6.0810 3 B 、6.0810 4 C 、0.60810 3 D 、0.60810 2 2（北京石景山区）计算(2) 0 的结果为（ ） A、0 B、1 C、2 D、2 3（北京东城区）下列运算中，正确的是（ ） A、a 2a3=a6 B
28、 、a 2a3=a C、 D 、 4（江苏南京）计算 32 的结果是（ ）A、9 B、9 C、 D、 5（北京崇文区）二十一世纪，纳米技术将被广泛应用。纳米是长度计量单位。1 纳米=0.000000001 米，则 5 纳米可以用科学记数法表示为（ ） A、510 9 米 B 、510 7 米 24C 、5010 8 米 D、510 8 米 6（湖北武汉）下列计算正确的是（ ） A、x 3+x3=2x6 B、(-x 3)2=x6 C、x 3x3=x9 D、(x 6x2)=x3 7（北京崇文区）下列计算结果正确的是（ ） A、(2a) 2=2a2 B、(4) 0=1 C 、 =2 D、2 1=-2
29、 8（福建厦门）下列计算错误的是（ ） A、3 234=38 B、2x 3x=2x2 C 、( )0=1 D、(a 3)2=a6 9（湖北荆门市）将 2.1210 3 用小数表示为（ ） A、2120 B、212000 C、0.00212 D、0.000212 10（云南省）下列运算正确的是（ ） A、a 2a3=a6 B 、a 2+a2=2a2 C、(a 2)3=a5 D、a 3a=a3 11（北京宣武区）1 纳米是 1 米的十亿分之一，用科学记数法表示，1 纳米等于（ ） A、110 10 米 B 、110 9 米 C 、110 9 米 D 、110 10 米 12（北京东城区）若实数 a
30、、b 满足|3a 1|+b2=0，则 ab 的值为 。 13（北京东城区）下列计算正确的是（ ） A、a 3a4=a12 B 、(a 3)4=a7 C、(a 2b)3=a6b3 D、a 3a4=a(a0) 14（河北省）计算(2 1)2，结果等于（ ） A、2 B、4 C、 D、 答案：1、A 2、B 3、D 4、D 5、A 6、B 7、B 8、A 9、C 10、B11、B 12、1 13、C 14、C 整式的乘法 一、教学内容: 单项式与单项式，单项式与多项式，多项式与多项式乘法 二、技能要求： 掌握单项式与单项式，单项式与多项式，多项式与多项式相乘的法则，并能运用它们进行运算。 三、重要数
31、学思想 在学习整式乘法法则和运算中，初步掌握转化的数学思想方法.四、学习指导 1单项式乘法： 利用乘法交换律和乘法结合律再用同底数幂的乘法法则可完成单项式乘法。对于法则不要死记硬背，但要注意以下几点： 积的系数等于各单项式的系数的积，应先确定符号后计算绝对值。 相同字母因数相乘，是同底数幂的乘法。 要注意只在一个单项式里含有的字母要连同它的指数写在积里，不能将这个因式丢掉。 单项式乘以单项式的结果仍是一个单项式。 字母因式的底也可以是一个多项式，如：-2a(x+y) 24ab2(x+y)3=-8a2b2(x+y)5 单项式乘法法则对于三个以上的单项式相乘也适用。例如： ab2(-2a2b)(-
32、4abc)= a4b4c 25例 1计算：(-3a 2b)(- a2c2)4c3 -3(a-b) 22(a-b)3 (a-b) 解：(-3a 2b)(- a2c2)4c3 分析：不要将 b 的这个因式丢掉 =(-3)(- )4a2+2bc2+3 =6a 4bc5 -3(a-b) 22(a-b)3 (a-b) 分析：将(a-b)看作底数，仍用 =(-3)2 (a-b)2+3+1 单项式乘法法则来作。 =-4(a-b) 6 例 2计算(-310 6)(-2104)(-5105) 解：(-310 6)(-2104)(-5105) 分析：可用单项式乘法法则 =(-3)(-2)(-5)10 6+4+5
33、来作 =-3010 15 =-310 16 用含 10 的幂记数将 -3010 15 写成-310 16 例 3计算 am+5bn+1a-m+6bn-1 解：a m+5bn+1a-m+6bn-1 分析：无论指数多繁杂同底幂结合 =(a m+5a-m+6)(bn+1bn-1) 是关键。 =a m+5-m+6 bn+1+n-1 =a 11b2n 例 4计算(ab 3)n(ab3)4-n 解法（一）：(ab 3)n(ab3)4-n 分析：依照一般运算顺序、计算 =a n(b3)na4-n(b3)4-n 先做乘方，再做乘法。 =a nb3na4-nb12-3n =a na4-n b3nb12-3n =
34、a n+4-nb3n+12-3n =a 4b12 解法（二）：(ab 3)n(ab3)4-n 分析：运用换元思想使运算过程 =(ab 3)n+4-n 大为简化。即将 ab3 看成一个底数 =(ab 3)4 再运用同底数幂的乘法法则计算 =a 4b12 例 5计算(a 2b4)m(ab4)2-m 解法（一）：(a 2b4)m(ab4)2-m 分析：先变形：(a 2b4)m=am(ab4)m =(aab 4)m(ab4)2-m 后用换元思想将 ab4 看成 =a m(ab4)m(ab4)2-m 一个底数用同底数幂乘法法则 26=a m(ab4)m+2-m 最后再用单项式乘法法则 =a m(ab4)
35、2 =a ma2b8 =a m+2b8 解法（二）：(a 2b4)m(ab4)2-m =(a 2)m(b4)ma2-m(b4)2-m 分析：依照一般运算顺序先 =a 2mb4ma2-mb8-4m 做积的乘方再做单项式乘法 =(a 2ma2-m)(b4mb8-4m) 不换元反而简便。所以解题 =a 2m+2-mb4m+8-4m 前要就题取法。 =a m+2b8 通过前边几例的解法对比，目的在于培养我们自觉地分析例题特点，采取合理的简捷的方法，就题取法也是一种解题能力，只有通过解题中自我体会，不要造题型，这样才能提高我们观察思维的能力。 例 6计算(-1) 2k+1(- )2k 解：(-1) 2k
36、+1(- )2k 分析：(-1)的奇次幂是-1 =(-1)(- )2k （-1）的偶次幂是+1 =-1( )k 利用 amn (am)n 将(- )2k =-( )k = 变形(- )2k=(- )2k=( )k 例 7计算 (3 2)10+(92)5 (2 3)63+(83)23 解法（一）：(3 2)10+(92)5 分析：利用“化归”思想将两项 =3 20+910 都化成以 3 为底数的幂，再合并 =3 20+(32)10 同类项。 =3 20+320 =23 20 解法（二）：(3 2)10+(92)5 分析：利用“化归”思想将两项 =9 10+910 都化成以 9 为底数的幂，再合并
37、 =29 10 同类项。 解法（一）(2 3)63+(83)23 =(8 6)3+(86)3 分析： 利用“ 化归”思想将两项 =8 18+818 都化成以 8 为底数的幂 =28 18 解法（二）(2 3)63+(83)23 =2 363+8323 分析：将两项都化为以 2 为底的幂 =2 54+818 =2 54+(23)18 27=2 54+254 =22 54 =2 55 由以上四例解法可以看出，在幂的运算中，把不同底数幂化为同底数幂，以便于应用同底数幂的运算性质来处理，这是化简计算结果的一个重要环节。 2单项式与多项式相乘 （1）单项式与多项式相乘就是用单项式去乘多项式的每一项，再把
38、所得的积相加，即：m(a+b+c)=ma+mb+mc，实际上就是根据乘法对加法的分配律来进行计算。也就是将单项式与多项式相乘转化为若干组单项式与单项式的乘法运算。 （2）单项式与多项式相乘的积仍是一个多项式，而且积的项数和乘式中的多项式的项数相同，在运算过程中不要漏乘造成漏项。 （3）运算时要注意符号，因为多项式由若干个单项式组成，其中每一个单项式都包括前面的符号，因此要注意确定积中每一项的符号。 （4）最后结果一般按某一字母的降幂或升幂排列。 例 8. 计算 (1) ab(- a2b+ b-3ab) (2) 6xy-3(xy- x2y)3xy 解: (1) ab(- a2b+ b-3ab)
39、分析： = ab(- a2b)+ ab( b)+ ab(-3ab) (1)利用法则转化成三组 =- a3b2+ab2-2a2b2 单项式乘法的代数和 =- a3b2-2a2b2+ab2 (2) 计算时注意确定符号 (3)按字母 a 的降幂排列 解：(2) 6xy-3(xy- x2y)3xy 分析：(1)计算这种多层括号的题，一般从里往外去括号。去括号 =6xy-3xy+ x2y3xy 时注意括号前面是“-”号时，把“-”号和括号去掉时， =3xy+ x2y 3xy 括号内每一项都要变号 =3xy(3xy)+3xy( x2y) 28=9x 2y2+ x3y2 (2)有同类项时注意要随时合并同类项
40、。 例 9化简求值：(3x 2)2-2x2(x+1)-3x(x2-7) , 其中 x= - . 解：(3x 2)2-2x2(x+1)-3x(x2-7) 分析：先将原式化成最简形式按某一字母降幂（或升幂）排列再求 =9x 4-2x3-2x2-3x3+21x 值计算。 =9x 4-5x3-2x2+21x 当 x=- 时 原式=9(- )4-5(- )3-2(- )2+21(- ) =9 + - - =1 -11 =-9 . * 3多项式与多项式相乘 （1）多项式乘以多项式的法则是由单项式乘以多项式的法则求出，因此两个多项式相乘只要把其中一个多项式看作单项式即可。例如(a+b)(c+d)可以将(a+
41、b)看成单项式转化为单项式乘以多项式法则去计算。 如： =(a+b)c+(a+b)d=ac+bc+ad+bd. （2）为避免丢项，也可以用第一个多项式的每一项依次去乘第二个多项式的每一项，在没有合并同类项之前，积的项数等于这两个多项式项数之积。 如： = ac+bc+ad+bd.项数为 22=4 项。 （3）对于型如(x+a)(x+b) 的积要注意它的特殊性，即(x+a)(x+b)=x 2+bx+ax+ab=x2+(a+b)x+ab, 这就是说，含有一个相同字母的两个一次二项式相乘，得到的积是同一个字母的二次三项式。 例 10计算：( a- b)( a+ b) 解：( a- b)( a+ b)
42、 = a a+ a b- b a- b b 分析： 29= a2+ ab- ab- b2 (1)用法则展开，化为四组单项式乘法的代数和 = a2- ab- b2 (2)合并同类项 例 11化简求值：(x+2)(x-3)-2(x-6)(x+5)-3(x 2-5x+17) ，其中 x=5 . 解：(x+2)(x-3)-2(x-6)(x+5)-3(x 2-5x+17) =x 2+(2-3)x+(2)(-3)-2x2+(-6+5)x+(-6)(5)-(3x2-15x+51) =x 2-x-6-2x2+2x+60-3x2+15x-51 =-4x 2+16x+3 当 x=5 时, 原式= -4( )2+1
43、6( )+3=-30. 例 12计算 ：(3x 3-2-5x)(6-7x+2x2) 解法（一）: (3x 3-2-5x)(6-7x+2x2) =(3x 3)(6)+(3x3)(-7x)+(3x3)(2x2)+(-2)(6)+(-2)(-7x)+(-2)(2x2) +(-5x)(6)+(-5x)(-7x)+(-5x)(2x 2) =18x 3-21x4+6x5-12+14x-4x2-30x+35x2-10x3 =6x 5-21x4+8x3+31x2-16x-12 在多项式乘法里像例 12 这样的两个因式的项数都比较多时，横式的写法在合并同类项时，容易搞错，我们也可以像算术里做多位数乘法一样用竖式
44、的写法来进行演算。 (3x 3-2-5x)(6-7x+2x2)=6x5-21x4+8x3+31x2-16x-12 六整式乘法运算的有关应用 1.简化数字计算 2.化简求值 3.证明等式 4.解方程和不等式 例 13把下列各式化成(a-b) p 的形式： (1) 15(a-b) 3-6(a-b)q+5(b-a)245(b-a)5 (2) (a-b)(b-a) 4(b-a)p+q+1(a-b)3 分析：底数 a-b 与 b-a 的幂相乘（除），实质上可以很方便地化为同底数幂相乘（除），要注意： a-b=-(b-a), (a-b) 2=(b-a)2 (a-b) 3=-(b-a)3, (a-b)4=(
45、b-a)4 (a-b) 2p-1=-(b-a)2p-1 (p 为正整数) (a-b) 2p=(b-a)2p (p 为正整数) 30解：(1)15(a-b) 3-6(a-b)q+5(b-a)245(b-a)5 =-156 (a-b)3(a-b)q+5(a-b)2-(a-b)5 =2(a-b) 3+q+5+2-5 =2(a-b) 5+q (2) (a-b)(b-a) 4(b-a)p+q+1(a-b)3 =(a-b)(a-b) 4-(a-b)p+q+1(a-b)3 =(-1) p+q+1(a-b)1+4+p+q+1-3 =(-1) p+q+1(a-b)p+q+3 注意：(-1) p+q+1 的计算没
46、有最后确定，因为 p,q 的值与 1 的关系没有确定。因此(-1) p+q+1 不能确定是-1 还是+1，因此就用(-1) p+q+1 表示即可。 例 14计算 (1) 4(a+b) 23-2(a+b)32 (2) x n-5(xn+1y3m-2)2-(xn-1ym-2)3(-y3m+2) 解：(1)原式 =43(a+b)6(-2)2(a+b)6 =4 34(a+b)6+6 =256(a+b) 12 (2)原式=x n-5x2(n+1)y2(3m-2)-x3(n-1)y3(m-2)(-y3m+2) =x n-5x2n+2y6m-4-x3n-3y3m-6(-y3m+2) =x n-5+2n+2y6m-4+x3n-3y3m-6+3m+2 =x 3n-3y6m-4+x3n-3y6m-4 =2x 3n-3y6m-4 例 15（1）化简 (a2b6)n+3(-ab3)2n+2(-anb3n)2 (n 为正整数) （2）计算：(- xy2z)2(- xyz2)3(-6x2y2)2 解：(1)原式 =a2nb6n+3a2nb6n+2a2nb6n =(1+3+2)a 2nb6n =6a 2nb6n (2)原式=(-1) 2+3+2( )2( )3(6)2x2+3+4y4+3+4z2+6 =(-1) 7( 6)2 x9y11z8
