1、- 1 -广州市华美英语实验中学 2017 届高三上学期数学 1 月月考试题一选择题：本大题共 9 小题，每小题 5 分，共 45 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1. 设集合 ， ，则 = （ A ） xU32AxACUA B C D2323x2x【解析】利用数轴易知选 A.2等差数列 中， ， ，则 （ C ）na31479a86SA16 B21 C20 D31【解析】由 ， 可求得 .314713,2d3.给出如下四个命题： 若“ p且 q”为假命题，则 p、 q均为假命题；若等差数列 na的前 n 项和为 ,nS则三点 101010(,)(,)(,)SS共线; “
2、xR， x211”的否定是 “xR， x211”; 在 ABC中， “ ”是“ siiAB”的充要条件其中正确的命题的个数是 （ D ）A1 B 4 C 3 D2【解析】若“ p且 q”为假命题，则 p、 q至少有一个为假命题，所以错；若等差数列na的前 n 项和为 ，则数列 为等差数列，所以对；“ xR， x211”的nSn否定是 “xR， x211，则双曲线 C 的离心率 e 的取值范围是 （ C ） A.(1， ) B. ( ，+) C. (1， ) D. ( ，+)622262【解析】联立双曲线渐近线和抛物线方程，消去 y 得： ，由 x0 知 ，即2ba12ba，故 ，又 e 1，所
3、以 1 e ，故选 B.21ca28.在约束条件 下，若目标函数 的最大值不超过 4，则实数 的201xym 2zxym取值范围 （ D ）A B C D )3,(3,0,3 3,Ayo xDyo xyo xCyo xB- 3 -【解析】作出可行域，即知目标函数 在点 处取得最大值.2zxy221(,)m由 得22max1134mz39. 已知 ，实数 a、b 、c 满足 0，且xxfx3logfabfc0abc，若实数 是函数 的一个零点，那么下列不等式中，不可能成立的是 0f（ D ） A a B b C c D c 0x0x0x0x【解析】当 时， 当 时0,log313fx 0,log
4、313f0，且 ，所以 不可能成立.fabfccbacx0二填空题：本大题共 7 个小题，考生作答 6 小题，每小题 5 分，共 30 分，把答案填在答题卡中对应题号后的横线上（一）选做题：从下列两题中任意选做一题，若两题全做，则只按第 9 题记分10 （坐标系与参数方程选做题）极坐标方程为 的圆与参数方程为 2sin12xtyt的直线位置关系是_ _相交_.【解析】.圆心（0,1）到直线 的距离小于半径 1.10xy11 （优选法选做题）下列五个函数： ， ， ，|2xcosyx3(,)2， ， ， 中，不是单峰函数的sinyx(,)23y31是_【解析】根据单峰函数的定义知是单峰函数.（二
5、）必做题（1116 题）12定义运算 ，复数 z 满足()abcdabcA(1)iiA则复数 在复平面对应点为 P_（2，-1） .z【解析】设 ，则i(1)()(1)ziziabiai即 ，所以 在复平面对应点为 P（2，-1）.2,1ab- 4 -13已知 ， ，若对 ， ，使2()fxmxg)(3,1x2,0x)(1xf，则 的范围 .2gm13【解析】若对 ， ， ；使 ，则,1x2,0x)(1xf2gminax()()fxg当 时， ；当 时， .3,xmin()()9ff,a4所以，由 ，得 .94314一个三棱锥的三视图是三个直角三角形，如图所示，则该三棱锥的外接球表面积为（ A
6、 ）A 29B 30C D 216【解析】由三视图复原几何体，几何体是底面是直角三角形，一条侧棱垂直底面直角顶点的三棱锥；把它扩展为长方体，两者有相同的外接球，它的对角线的长为球的直径，即 该三棱锥的外接球的表面积为：29R.294S15已知 M 是面积为 1 的ABC 内的一点（不含边界） ， ，若MBC，MCA 和MAB 的面积分别为 ，则 的最小值是 3 .,xyzxyz【解析】由已知可得，.113xyzxyzxyxyzz16对于定义域和值域均为 0,的函数 ，定义 1()ff，()f21()()fxf， 1()nnfxx， n=1，2，3，满足 ()nfx的点称为 f 的 n阶周期点（
7、1）设 则 f 的 2阶周期点的个数是_1_;()0,324主视图 左视图俯视图- 5 -（2）设 则 f 的 2阶周期点的个数是_4_ .120,(),xf【解析】 （1） 得 ；xfxff 4)()()12 xf)(20（2）当 ，即 时， .由0x0f4)2(1 xf4)(2得 ;当 ,即 时，24xxfxf)(2 由 ，得 ；同理可得另两个周期点.xf)(2 5三、解答题：本大题共 6 个小题，共 75 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17(本题满分 12 分)已知 A，B，C 是 的三个内角，A，B，C 对的边分别为 a， b， c，设平面向量， ， .=cosinm， -=
8、(cosin)， 1=2mA（）求角 A 的值；（）若 ，设角 B 的大小为 ， 的周长为 ，求 的最大值.3axBCy()fx解析 （） ， ，且=(cosin)， -=(cosin)， 1=2A，即 （3 分）12(A，B，C 是 的三个内角，BC即 ，又cos()cosA0（63分）（）由 ， 及正弦定理得aA（8 分）32sinisinibcBC2sisi()3bxcx，+ （10 分）2n23sin()6y x3，03Ax， 5()6x，- 6 -，即 时， （1262x当 3xmax3y分）18(本题满分 12 分)某同学利用国庆节进行社会实践，对25，55岁的人群随机抽取 n 人
9、进行了一次生活习惯是否符合低碳生活的调查，若生活习惯符合低碳观念的称为“低碳族” ，否则称为“非低碳族” ，得到如下统计表和各年龄段人数频率分布直方图：组数 分组 低碳族的人数 占本组的频率第一组 2530， 120 0.6第二组 ， 195 p第三组 4， 100 0.5第四组 05， a 0.4第五组 ， 30 0.3第六组 ， 15 0.3（1）补全频率分布直方图，并求 n,a,p 的值；（2）从年龄段在 的“低碳族”中采用分层抽样抽405，取 6 人参加户外低碳体验生活，其中选取 2 人作为领队，求选取的 2 名领队中恰有 1 人年龄在 岁的概率。405，解：（1）第二组的频率为 1-
10、（0.04+0.04+0.03+0.02+0.01）5=0.3所以高为 （2 分）0.3=65频率直方图如下：第一组的人数为 ，频率为 ，所以120.045=.0=.n由题意可知，第二组的频率为 0.3，所以第二组的人数为1951.3,0.63p所 以第四组的频率为 ，所以第四组的人数为 ，所以0.10.510（6 分）546a（2）因为 岁年龄段的“低碳族”与 岁年龄段的“低碳族”的比值为， 45，60:30=2:1，所以采用分层抽样法抽取 6 人， 岁中有 4 人， 岁中有 2 人. 0， 50，- 7 -（8 分）设 岁中的 4 人为 岁中的 2 人为 ，则选取 2 人作为领队的情况40
11、5， ,45,0abcd,mn有：(,),(),(,),(),(),(,),(),(,)abcdmnbcdcndmn共 15 种，其中恰有 1 人年龄在 岁的情况有：405，共 8 种. （11 分）(,),(),(,),(),nbcdmn所以选取的 2 名领队中恰有 1 人年龄在 岁的概率为 （12 分）， 15p19(本题满分 12 分)如图，三棱锥 中， ， ， ， .ABCDB23C2DAC2BD（）证明： ；（）求直线 AC 与平面 ABD 所成的角的正弦值.解析：（）在 中， ， ，A， 22ACDCD（2 分）又 ，且B，又面 BA面（6AC分）（）在三角形 中， ， ，B223
12、C，22A11ABCS由（1）可知： DBC面（8142333ABCAVS分） 在 中， ，Rt 22()4BD在 中， ， ，故DABADABDC- 8 -（1011242ABDS分）设点 C 到平面 ABD 的距离为 h，CA 与平面 ABD 所成的角为 ABDCV14232h即 AC 与平面 ABD 所成的角的正弦值为 （12 分）sinA 220(本题满分 13 分)已知单调递增的等比数列 na满足： 2430,8a；（1）求数列 n的通项公式；（2）若 12logba，数列 nb的前 n 项和为 nS,求 1250n成立的正整数 n 的最小值.【解析】 （1）设等比数列 n的首项为
13、1a，公比为 q，依题意，有31208aq，解之得 12或 13；（4 分）又 n单调递增， 1a， n.6 分）（2）依题意，, （8 分）12lognnnb ，231.nnS ，12(1)2-得， 2 1(). 2nn nnS （10 分）112n 150nS即为 11250,2nn，- 9 -当 n4 时， 15232n；当 n5 时， 162452n.使 0nS成立的正整数 n 的最小值为 5. （13分）21(本题满分 13 分)为了使“神州七号”飞船的返回仓顺利返回地面，及时将航天员救出，地面指挥中心在返回仓预计到达区域安排了三个救援点 A、B、C（如图）.其中点 B 在点 A 的
14、正东方向，且与点 A相距 6km；点 C 在点 B 的北偏东 30方向，且与点 B 相距 4km.某一时刻，返回仓于点 P 着陆，并同时发出着陆信号.由于 B、C 两地比 A 地距着陆点 P 远，因此在救援点 A 收到信号 4s 后，B、C 两个救援点才同时接受到返回仓的着陆信号，已知该信号的传播速度为 1km/s.（1）试确定返回仓的着陆点 P 相对于救援点 A 的位置；（2）若返回仓在着陆点 P 的正上方某处发出信号，那么救援点 A 与 B 收到信号的时间差变大还是变小？说明你的理由.【解】 （1）以 AB 所在直线为 x 轴，线段 AB 的垂直平分线为 y 轴，建立直角坐标系，则点 A(
15、3，0)，B(3，0). （2 分）过点 C 作 x 轴的垂线，垂足为 D，由已知，|BC|4，CBD60.则|BD|4cos602，|CD|4sin60 ，3所以 C(5， ). 因为|PB|PC|，所以点 P 在线段 BC 的垂直平分线上.3因为直线 BC 的斜率为 tan60 ，线段 BC 的中点为 (4， ).3所以线段 BC 的垂直平分线方程为是 ，即 .1(4)yx-=-70y+-=因为|PB|PA|4，所以点 P 在以 A、B 为焦点的双曲线左支上，且双曲线方程为 .（4 分）2(0)45x-由 ，22221(0)(7)45156037xyxx-=-=+-=+即(11x32)(x
16、8)0. 因为 x0，所以 x8，点 P(8， ).过点 P 作 x 轴的垂线，3A BCPA BCPDxyOE- 10 -垂足为 E，则|AE|5，|PE| .所以|PA|10，tanPAE ，即PAE60.533故着陆点 P 位于救援点 A 的北偏西 30，且与点 A 相距 10km. （8 分）（2）设返回仓在着陆点 P 的正上方点 M 处发出信号，|PM| h，|PA| a，|PB| b，如图.则 22|MBbha-=+-2 22()aba+. ()|bBA-故救援点 A 与 B 收到信号的时间差变小. （13 分）22 (本题满分 13 分)已知函数 1ln()fxaxR（1）讨论函
17、数 的单调性；()（2）若函数 在 处取得极值，不等式 对 恒成立，求实fx()2fxb(0,)x数 的取值范围；b（3）当 时，证明不等式1yeln(1)l()xyee解：（1）函数的定义域是 且 （1 分）(0,)1.axf当 时， ，从而 ，函数 在 上单调递减；0a1x()fx()f0,)当 时，若 ，则 ，从而 ；a10x若 ，则 ，从而 ，x ()f所以函数 在 上单调递减，在 上单调递增. （4 分）()f10, ,a（2）由（1）可知，函数的极值点是 ，若 ，则 .1x1a若 在 上恒成立，即 在 上恒成立，只需()2fxb(0,)ln2xb(0,)在 上恒成立 . （6 分）ln令 ，则 ，1l()xg2221l()xgx易知 为函数 在 内唯一的极小值点，也是最小值点，故2e0,A BMP
