1、第五节 偏导数的应用Application of Partial Derivative教学目的: 会利用偏导数求空间曲线在某点的切线方程和法平面方程,会利用偏导数求曲面在某点的切平面方程和法线方程;理解二元函数极值的概念,熟练掌握二元函数极值与最大值、最小值的求法,会利用拉格朗日乘数法求条件极值.课 题: 偏导数的几何应用 ;多元函数极值; 条件极值.教学重点: 二元函数的极值与多元函数的条件极值教学难点: 二元函数的极值教学方法: 精讲:多元函数极值及拉格朗日乘数法; 多练:二元函数求极值教学内容:一、偏导数的几何应用1.空间曲线的切线和法平面设空间曲线 的参数方程为L()xtyzt假定 均
2、可导, 不同时为零,曲线上对应于 及(),()xtyzt00(),()xt 0t的点分别为 和 .割线 的方程为0M00,)xyzMy当 沿着曲线 趋于 时,割线的极限位置 是 在 处的切线.上式分母同除L00MTL0以 得t 0xyzttt当 (即 )时,对上式取极限,即得曲线在 点的切线方程0t0M000 ()()xyzttt向量 是切线 的方向向量,称为切线向量.切线向量的方向0(),xtyzTMT余弦即为切线的方向余弦.通过点 与切线垂直的平面称为曲线在 点的法平面.它是通过点 ,0 00(,)Mxyz以切线向量 为法向量的平面.因此,法平面方程为 0 0()()()xtytzt【例
3、1】求螺旋线 在点 的切线及法平面方程.cos,in,z1,解 点 对应的参数 .因为 ,所以切线向(,t sincos,()1xttytz量 ,因此,曲线在点 处的切线方程为)()1xyzT(,)01yz在点 处的法平面方程为(1,0)0(1)(0)1()0xyz即【例 2】 求曲线 上点 处的切线和法平面方程.sin,2yz,解 把 看作参数,此时曲线方程为xsin2xyz 11,cos,2xxxxyz在点 处的切线方程为,02 0211zxy法平面方程为 ()(0()02xyz即 452.曲面的切平面与法线设曲面 的方程为 是曲面上的一点,假定函数S00(,),(,)FxyzMxyz的偏
4、导数在该点连续且不同时为零,设 是曲面 上过点 的任意一条曲线,()Fxyz LS0M的方程为 ,与点 相对应的参数为 ,则曲线 在 处的切L),ttt tL0线向量为 .因 在 上,故有00()zTS()0xtyzt此恒等式左端为复合函数,在 时的全导数为t0 000000(,)(,(),)(txyzdFyzFtFxyzt记 ,则 ,即 与 互相垂直.由于曲 (,),x zxn Tn线 是曲面上过 的任意一条曲线,所以在曲面 上所有过 点的曲线的切线都与同一L0MS0M向量 垂直,故这些切线位于同一个平面上.这个平面称为曲面在 处的切平面.向量 是切n平面的法向量,称为曲面在 处的法向量.切
5、平面方程为0 00000(,)(,)(,)(x y zFyzxFxzyFxyz过点 与切平面垂直的直线,称为曲面 在点 处的法线,其方程为S 000(,)(,)(,)xyzz若曲面方程由 给出,则可令zfy,Ffx于是 ,1xyzFffF这时曲面在 处的切平面方程为00(,)Mxyz 0000()(,)()yff z法线方程为 00(,)(,)1xyffx【例 3】求椭球面 在点 处的切平面和法线方程.2236yz解 设 (,)Fxz (,),(,),(,)4111xyzFyz故在点 处椭球面的切平面方程为(1,)2()6()4()0z即 32xy法线方程为 11【例 4】 求旋转抛物面 在点
6、 处的切平面方程和法线方程.2zxy(,)解 由 得2zxy (1,) (1,)(,),2yf f切平面方程为 2zx即 z法线方程为 1221y二、多元函数极值1. 二元函数的极值【例 5】 曲面 在点 有极小值 .2zxy(0,)0z【例 6】 曲面 在点 有极大值 .244与一元函数极值类似,多元函数的极值也是相对某个邻域而言的,是一个局部概念.定义 1 设函数 在点 的某个邻域内有定义,若对改邻域内任一点(,)f0()xy都有(,)xy(或 ),xyf0,(,ffxy则称函数 在点 有极大值(或极小值) .而称点 为函数(,)zf0 0(,)xy的极大(或极小)值点.极大值点与极小值点
7、统称极值点 .,f2.极值的检验法(1) 一阶偏检验定理 1 (必要条件)设函数 在点 处有极大值,且在该点的偏导数存(,)zfxy0()在,则必有 . 00(,),()xyffx证明 不妨设 在点 处有极大值,根据极值定义,对 的某一z0()y0(,)xy邻域内的任一点 ,有 0,(,)ffx在点 的邻域内,也有 ,这表明一元函数 在 处取得0()xy0(,)fx 0(,)f0极大值.因此,有 0(,)xfy同理可证 与一元函数类似,使一阶偏导数 的点 称为函数 00,()xyffx(,)xy的驻点.由定理 1 及例 5、例 6 可以看出：二元函数的极值点必然是驻点或一阶()zfxy偏导数不
8、存在的点.(2) 二阶偏检验定理 2 (充分条件)设函数 在定义域内的一点 处有二阶连续偏导数,且 .(,)zfxy0()xy 00(,),()xyffx记 ,则 000,)xxyfAfBC(1) 当 且 时,函数 在点 处有极小值 ;BCf0,0(,)fxy当 且 时,函数 在点 处有极大值 ;2 (,)xy()(2) 当 时,函数 在点 处无极值;f0(3) 当 时,函数 在点 处可能有极值,也可能无极值.20,综上可得,具有连续二阶偏导数的函数 ,其极值求法如下:()zf(1) 先求出偏导数 ;,xyxyff(2) 解方程组 ,求出定义域内全部驻点;(),0yf(3) 求出驻点处的二阶偏
9、导数值: ,确定 的符号,xxyyAfBfCf2BAC并判断 是否有极值,如果有,求出其极值.()fx【例 7】 求函数 的极值.3(,)fxy解 先求偏导数 2 2 ,()366xyxyfxxff解方程组 ,求得驻点为 .230(0,)1在驻点 处, ,(0) ()3,(0,)xyyAfBfCf2BAC,于是 不是函数的极值点.9在驻点 处,1 1,6(1,),1,67xxyyfff,且 ,所以点 是函数的极小值点, 为函数的极小值.6()f3.最大值与最小值如果函数 在有界闭区域 上连续,则函数在 上一定取得最大值和最小值.zfyD如果函数的最大值或最小值在区域 的内部取得,则最大值点或最
10、小值点必为驻点.因此,求处驻点的函数值及边界上函数的最大值和最小值,其中最大值便是函数在闭区域 上的最大D值,最小值便是函数在闭区域 上的最小值.具体问题中,常常通过分析可知函数的最大值或最小值存在,且在定义域内部取得,又知在定义域内只有唯一驻点,于是可以肯定驻点处的函数值便是函数的最大值或最小值.【例 8】 求函数 在 上的最大值.2(,)4fxyxy2:1Dxy解 在 内( ),由D21 220, 04x yff解得驻点为 .(0,),在 的边界上( )21y21(,43xyfx故函数在 处有最大值 .(,)0)【例 9】 要做一容积为 的无盖长方体铁皮容器,问如何设计最省材料?a解 所谓
11、最省材料,即无盖长方体表面积最小.该容器的长、宽、高分别为 ，表面积为 ，则有xyzSa2Sxyz消去 ，得表面积函数z其定义域为 0,xy由 ，求得驻点为 . 2yaSx3(2,)a由于 为开区域,且该问题必有最小值存在,于是 必为 的最小值点,此时D3(,2)aS,即长方体长、宽、高分别为 , 时,容器所需铁皮最少,其表3/4azxy /4面积为 .323(2/4)Sa【例 10】某公司每周生产 单位 产品和 单位 产品,其成本为xAyB2(, 10Cyx产品 的单位售价分别为 200 元和 300 元.假设两种产品均很畅销,试求使公司获得最大,AB利润的这两种产品的生产水平及相应的最大利
12、润.解 依题意,公司的收益函数为 (,)23Rxyy因此,公司的利润函数为 22(,),010PCx令 ,得驻点 .(,)2034xyPxy(5,)利用二阶偏检法,求二阶偏导数 ，显然二 (,),()4xxyyPx阶偏导数在驻点 的值为 。(5,) 22,40,2ABCA由此可见，当产品 的周产量均为 50 个单位时，公司可获得最大利润，其最大利润为B（元）(50,)1P三、条件极值如果函数的自变量除了限制在定义域内以外，再没有其他限制，这种极值问题称为无条件极值。但在实际问题中，自变量经常会受到某些条件的约束，这种对自变量有约束条件的极值问题称为条件极值.条件极值问题的解法有两种,一是将条件
13、极值转化为无条件极值,如例 9 就是求在自变量满足约束条件 时的条件极值.当我们从约束条件中解出2Sxyzxyza代入 中,得 ,就成了无条件极值,于是可以求解.但实际问题中的许az2aSxy多条件极值转化为无条件极值时,时很复杂甚至是不可能的.下面介绍条件极值的另外一种更一般的方法拉格朗日乘数法.设 是函数 在约束条件 下的条件极值问题的极值点,如果(,)xy(,)zf(,)0xy函数 , 在点 的邻域内有连续偏导数(不妨设 ),则一元函数fxy(,)0yx在点 的导数 .由复合函数微分法,有()(zdz (,)()0xydffx由于 是由 所确定的,所以()yx(,)0y,()xyd代入上
14、式,消去 ,得dx (,)(,)(,)0xxyyff即 ,()xxyff令 ,则有(,)yfx (,)(,)0,xxyyf(*)称满足方程组(*)的点 为可能的极值点.(,)x我们构造一个函数 (,)(,)(,)Lyfxy则(*)等价于 ,0()()(),xxxyyyf于是,用拉格朗日乘数法求解条件极值问题可归纳为以下步骤:(1) 构造拉格朗日函数 , 称为拉格朗日乘数;(,)(,)()Lxfx(2) 解方程组 (,)(,)(,)0,xxxyyyLf得点 ,为可能极值点；()xy(3) 根据实际问题的性质,在可能极值点处求极值.【例 11】求平面上点 到直线 的距离.0(,)xy0AxByC解
15、 设点 到直线上动点 的距离为 ,则问题归结为求距离函数0(,)(,d在约束条件 之下的极小值.222dxyf构造拉格朗日函数 2200(,)()()()Lxxyxy解方程组 0,()(),xy ABxyC得 00,2x代入 ,得0AxByC02()ABy由于最短距离是存在的,所以 222 22202()()dAxByCA所以 02d课堂练习:1. 求曲面 在点 处的切平面与法线方程.2zxy(,1)2. 求表面积为 而体积为最大的长方体的体积.a小结:学习了多元函数的几何应用,多元函数极值及条件极值.求二元函数的极值与求一元函数的极值有许多类似之处，只需按求极值的步骤去做即可。求多元函数的条件极值是本章的一个难点。解决这类问题的关键是根据题意选择适当的自变量，建立目标函数，确定约束条件，然后求辅助函数，转化为无条件极值.作业:P1821,4,5.
