1、遂 宁 市 高 中 2016 届 二 诊 考 试数学（理科）试题本试卷分第 I 卷（选择题）和第 II 卷（非选择题）两部分。总分 150 分。考试时间120 分钟。第卷（选择题，满分 50 分）注意事项：1答题前，考生务必将自己的姓名、班级、考号用 0.5毫米的黑色墨水签字笔填写在答题卡上。并检查条形码粘贴是否正确。2选择题使用 2B铅笔填涂在答题卡对应题目标号的位置上，非选择题用 0.5毫米黑色墨水签字笔书写在答题卡对应框内，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。3考试结束后，将答题卡收回。一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分.在每小题列出的四个
2、选项中，只有一项是符合题目要求的.1设集合 ， ，2|30Ax1)2(4|xB则 BIA B C D)3,0(),(),1(),(2已知 是虚数单位，若复数 满足 ，则 的共轭复数 为iz3izzA B C D112i2i12i3下列有关命题的说法正确的是A命题“若 ”的否命题为：“若 ”；x， 则 x， 则B“ ”是“直线 互相垂直”的充要条件1m00ymy和 直 线C命 题“ ，使得 ”的否定是：“ ，均有 ”；0R21xR210xD命 题“已知 A、B 为一个三角形的两内角，若 A=B，则 ”的逆命题为真命题.siniAB4要得到函数 的 图象，只要将函数 的图象ysinco2yxA向右
3、平移 个单位长度，再将各点的横坐标伸长为原来的 4 倍，4纵坐标不变 B. 向左平移 个单位长度，再将各点的横坐 标缩短为原来的 倍，1纵坐标不变 C. 向左平移 个单位长度，再将各点的横坐标伸长为原来的 4 倍，纵坐标不变4D. 向右平移 个单位长度，再将各点的横坐标缩短到原来的 ，纵坐标不变15一个几何体的三视图如图所示，其中正视图为矩形，侧视图为等腰直角三角形，俯视图为直角梯形，则这个几何体的体积是A144 B120 C80 D726各大学在高考录取时采取专业志愿优先的录取原则一考生从某大学所给的 7 个专业中，选择 3 个作为自己的第一、二、三专业志愿，其中甲、乙两个专业不能同时兼报，
4、则该考生填报专业志愿的方法有种。A180 B200 C204 D2107执行如图所示的程序框图，则输出的 为SA2 B 31C D 18若 在不等式组 所表示的平面区域内，),(yxP0218yx则 的最小值为32A B C5 D4219设 、 是定点，且均不在平面 上, 动点 在平面 上,BCA且 ，则点 的轨迹为sinA圆或椭圆 B抛物线或双曲线 C椭圆或双曲线 D以上均有可能10已知定义域 为 R 的偶函数 满足对任意的 ，)(xfRx有 ，且当 时， 。若函数1)(2(fxf3,22()1f在 上恰有三个零点，则实数 的取值范围是1()2yfxa),0(aA B C D,343(3,1
5、2)4(,12)3第卷（非选择题，满分 100 分）注意事项：1请用蓝黑钢笔或圆珠笔在第 卷答题卡上作答，不能答在此试卷上。2 试 卷 中 横 线 及 框 内 注 有 “ ”的 地 方 ， 是 需 要 你 在 第 卷 答 题 卡 上 作 答 。二、填空题:本大题共 5 题,每小题 5 分,共 25 分11若 的二项展开式中所有项的二项式系数和为 64，则常数项为 （用数字作1()nx答）12已知函数 ，122(3),0)log8(),4xxffe则 )2016(f13海轮“和谐号”从 A 处以每小 时 21 海里的速度出发，海轮“奋斗号”在 A 处北偏东 的方45向，且与 A 相距 10 海里
6、的 C 处，沿北偏东 的方向以每小时 9 海里的速度行驶，则105海轮“ 和 谐号”与海 轮“奋斗号”相遇所需的最短时间为 小时14若点 M 是以椭圆 的短轴为直径的圆在第一象限内的一点，过点 M 作该圆892yx的切线交椭圆 E 于 P，Q 两点，椭圆 E 的右焦点为 ，则 的周长是 2FQP215如图，B 是 AC 的中点， ，P 是矩形2BOur 内（含边BCDE界）的一点，且 + 。有xA(,)yxR以下结论：当时， ；当 P 是线段 CE 的中点0x2,3y时，；若 为 定值，则在平面15,直角坐标系中，点 P 的轨迹是一条 线段； 的最大值为1；其中你认为正确的所有结论的序号为 。
7、三、解答题：本大题共 6 小题，共 75 分解答 应写 出文字说明，证明过程或演算步骤16（本小题满分 12 分）在ABC 中，角 A,B,C 的对边分别为 ，已知 ，且 。cba,22cba3bc（1）求角 A 的大小；（2）设 函数 ，求函数 的单调递增区间xBxxf os)2cos(1)()(xf17（本小题满分 12 分）经调查发现，人们长期食用含高 浓度甲基汞的鱼类会引起汞中毒，其中罗非鱼体内汞含量比其它鱼偏高现从一批数量很大的 罗非鱼中随机地抽出 条作样本，经检测得各条鱼15的汞含量的茎叶图（以小数点前的数字为茎，小数点后一位数字为叶）如下： 012356789中华人民共和国环境保
8、护法规定食品的汞含量不得超过 ppm1.0（1）检查人员从这 条鱼中，随机抽出 条，求 条中恰有 条汞含量超标的概率；153（2）若从这批数量很大的鱼中任 选 条鱼， 记 表示抽到的汞含量超 标的鱼的条数以此条鱼的样本数据来估 计这 批数量很大的鱼的总体数据，求 的分布列及数学期望 5 E18（本小题满分 12 分）如图，多面体 ABCDPE 的底面 ABCD 是平行四边形， ， ，2ABD0D平面 ABCD，ECPD，PD且 PD=2EC=2（1（ 若棱 AP 的中点为 H，证明：HE平面 ABCD（2）求二面角 的大小EPBA19（本小题满分 12 分）已知等比数列 、等差数列 ，满足 n
9、anb且数列 唯一。11230,aba（1）求数列 ， 的通项公式；n罗非鱼的汞含量（ppm）（2）求数列 的前 项和nab20（本小题满分 13 分）已知点 F(0,1)为抛物线 的焦点。2xpy（1）求抛物线 C 的方程；（2）点 A、B、C 是抛物线上三点且 ,求 面积的最大值0FCBAAB21(本小 题满分 14 分)已知函数 .（其中 为自然对数的底数,）(1xfmee（1）若曲线 过点 ，,求曲线 在点 处的切线方程。)y(0)P()yfx(0,1)P（2）若 的两个零点 为 且 ,(fx12x12求 的值域。2121)xyeme（3）若 恒成立，试比较 与 的大小，并说明理由。(
10、0f1ee遂 宁 市 高 中 2016 届 二 诊 考 试数学（理科）试题参考答案及评分意见一、选择题（510=50 分）题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10答案 B C D A B A D C D B二、填空题（5 5=26 分）11 20 128 13 146 15214.根据题意作出图形如图所示，设直线 PQ 的方程为 ，由)0,(mkxy得 ，有1892yxmk 072918)9(2mkx)8()(4)( 222 kk设 ， ，则 ， ，,1yxP,2yxQ22198x2197kx21k 21214)(k。直线222 9874)98(m2)98(8kmk与圆 相切， ，即 ，
11、PQ2yx12k1， ，2986km2112)(yxPF)9(8)(2121xx21)3(， ，同理 ，301x312322QPQF22219866k 698622kmk因此， 的周长是定值 6.QPF2法二：设 ， ，则 ，),(1yxP),(2yxQ18921yx 2112)(yxPF， ， ，又 M 是圆 O 的)9(8)(12121)3(301312切点，连接 OP，OM， 22OMP821yx8)9(2121x， ，同理 ，13x3132 xPMF 32QF，因此， 的周长是定值 6.QP2 62三、解答题：本大题共 6 小题，共 75 分16 （本小题满分 12 分）解：（1）在A
12、BC 中，因为 ，所以 。2 分221cosacbB3B在ABC 中，因为 ，由正弦定理可得 ，3bsinsiC所以 ， ， ，故 6 分2sinC204C12543A（2 ）由（1 ）得 xxxf 2cos)3cos(1)(2incsxcos1i2319 分)67sn(x令 ，得)(22Zkk )(365Zkx即函数 的单调递增区间为 12 分)(xf )(3,65Zk17 （本小题满分 12 分）解：（1）记“ 条鱼中任选 条恰好有 条鱼汞含量超标”为事件 ，则531A，120354()9CPA条鱼中任选 条恰好有 条鱼汞含量超标的概率为 . 4 分114591（2 ）依题意可知，这批罗非
13、鱼中汞含量超标的鱼的概率 ，5 分()3PB可能取 ， ， ， . 6 分0123则 ， ，38()7PC 2134()9PC， 10 分231()93()27其分布列如下：0 1 2 3P8274917所以 . 12 分401319E18 （本小题满分 12 分）解：（1）底面 ABCD 是平行四边形， ， ，底面 ABCD 是边2ABD0D长为 2 的正方形，取 AD 的中点 G，连接 HE，HG，GC ，根据题意得 HG=EC=1，且HGECPD，则四边形 EHGC 是平行四边形 3 分所以 HEGC，HE 平面 ABCD，GC 平面 ABCD，故 HE平面 ABCD5 分（2 ）法一：
14、如图，取 PB 的中点 M，连接 AC，DB 交于点 F，连接 ME，MF，作 FKPB于点 K，容易得到AKF 是二面角 A-PB-D 的平面角 7 分， ，易得 ，21ACFPDBRtKt36从而 ，所以 8 分3tanFAF由于点 M 是 PB 的中点，所以 MF 是PDB 的中位线，MFPD，且 ，PDMF21，且 MFEC，故四边形 MFCE 是平行四边形，则 MEAC，又 AC平ECF面 PDB，则 ME平面 PDB， ME 平面 PBE，所以平面 PBE平面 PDB，所以二面角 A-PB-E 的大小就是二面角 A-PB-D 的大小与直二面角 D-PB-E 的大小之和11 分故二面
15、角 的大小为 12 分EPBA6523法二：由（1）知，DA ，DC，DP 两两互相垂直，建立空间直角坐标系 如图xyzD所示，设 PA 的中点为 N，连接 DN，则 D（0,0,0） ，A(2,0,0)，B（2,2,0） ，E（0,2,1） ，P（0,0,2 ） ，N（1,0,1） ，易知 DNPA，DN AB，所以 DN平面 PAB，所以平面 PAB的一个法向量为 7 分)1,0(nD设平面 PBE 的法向量为 ，因为 ， ，由zyxm)01,2(E)2,(P得 ，取 ，则 ， ，所以 为平面0BPmEz22xy,1mPBE 的一个法向量。 9分所以 236,cosn从图形可知，二面角 A
16、-PB-E 是钝角，所以二面角 A-PB-E 的大小为 12 分6519 （本小题满分 12 分）解：（1）设 的公比为 q，则由 有na312b21112 0qaq4()40故方程有两个不同的实根，由 唯一可知方程必有一根为 0，代入方程得n 1a3 分从而 2q， 6 分1na120,0(1)2nbababn（2 ）由（1 ）知 则nn)1()(123n nTababL302(-1)2n24 1()2nn 13411()() 42nnnnTL12 分2)(1nn20 （本小题满分 13 分）解（1）由题意知 4 分yxp42（2 ）令 ，不妨设直线 AB 与 轴交于点),(),()4,(3
17、221CBxAy),0(Dy402112122 xyxxDD又因为 FCBA134,0322121 xx从而 2321321 2213()()6xxx1ySDABFC )122()4(69)()41(9 3232212 xxxx8(736323x令 0t)8(247ty10 分 212(t)60,6ty令(0,2) tt当 时 函 数 单 调 递 减 ， 当 t(2,6)时 函 数 单 调 递 增 ， （ 6， +） 时 函 数 单 调 递 减且当 t=0 时 y 77,y当 时max213 分ax36ABCS21 （本小题满分 14 分）解：（1）当 时，021)(mf， ，所求切线方程 ，
18、即12)(/xef0/ 1xyyx3 分（2 ）由题意， ， 。 4 分011xme012xe)(1212 xxy )(1212x)(1212xex令 )0t(1)(tetgt又 0)()2/ t 在 上单调递减tg, 0)( ,t 的值域为 8 分2121()()xxyeme)0,(（3 ）由 得 ，即有0f 0xe1令 ，则 ，令 ，xeu)(xeu)(/ )(/u0)(/xu 在 上单调递增，在 上单调递减。)(xu)0,),0( ， 10 分1(ma又令 ，则 。ln)eh memh1)(/令 ， ，又0)(/ 0/ 在 上单调递增，在 上单调递减)1,e),1(e又 ，)(h(h当 时， ，即em0ln)0)me 1ln)(me 1同理，当 时， ，当 时， 。e1em 1em综上，当 时，1当 时， ，e1em当 时， 。 14 分
