1、,第四节,基本积分法 : 直接积分法 ;,换元积分法 ;,分部积分法,一、有理函数的积分,二、可化为有理函数的积分举例,有理函数的积分,本节内容:,一、 有理函数的积分,有理函数:,时,为假分式;,时,为真分式,有理函数,多项式 + 真分式,分解,其中部分分式的形式为,若干部分分式之和,例1. 将下列真分式分解为部分分式 :,解:,(1),代入特殊值来确定系数,取,取,取,并将 A、B的值代入(1)得,(2),(3),整理得,四种典型部分分式的积分:,变分子为,再分项积分,例2.,解:,例3. 求,解:,例4. 求,解:,二 、可化为有理函数的积分举例,设,表示三角函数有理式 ,令,万能代换,
2、t 的有理函数的积分,1. 三角函数有理式的积分,则,例5. 求,2. 简单无理函数的积分,令,令,被积函数为简单根式的有理式 , 可通过根式代换,化为有理函数的积分.,例如:,令,例6. 求,例7. 求,例8. 求,内容小结,1. 可积函数的特殊类型,有理函数,分解,多项式及部分分式之和,三角函数有理式,万能代换,简单无理函数,三角代换,根式代换,2. 特殊类型的积分按上述方法虽然可以积出,但不一定,要注意综合使用基本积分法 ,简便计算 .,简便 ,思考与练习,如何求下列积分更简便 ?,解: 1.,2. 原式,第五节,积分计算比导数计算灵活复杂,为提高求积分,已把常用积分公式汇集成表, 以备查用.,如 P362附录 .,积分表的结构: 按被积函数类型排列,积分表的使用:,1) 注意公式的条件,2) 注意简单变形的技巧,注: 很多不定积分也可通过 Mathematica , Maple,等数学软件的符号演算功能求得 .,的效率,积分表的使用,例1. 求,解:,应使用 P368 公式105 .,例2. 求,解:,令,则,原式,(P364 公式 37),作业,P218 2 , 8 , 13 , 18 , 20 P221 3 , 8,
