因式分解练习提高班.doc

1、 1因式分解例 1. 计算： 201020例 2. 已知： （b、c 为整数）是 及 的公因式，求 b、c 的x2x426534285xx值。解：例 3. 设 x 为整数，试判断 是质数还是合数，请说明理由。1052x()解：1. 证明： 能被 45 整除。81279132 化简： ，且当 时，求原式的值。1295xxx()()()x02、运用公式法进行因式分解【知识精读】把乘法公式反过来，就可以得到因式分解的公式。主要有：平方差公式 abab2()完全平方公式 22立方和、立方差公式 3()补充：欧拉公式：abcabcacabc3322()( )122)(特别地：（1）当 时，有c0c33（

2、2）当 时，欧拉公式变为两数立方和公式。c0运用公式法分解因式的关键是要弄清各个公式的形式和特点，熟练地掌握公式。但有时需要经过适当的组合、变形后，方可使用公式。用公式法因式分解在求代数式的值，解方程、几何综合题中也有广泛的应用。因此，正确掌握公式法因式分解，熟练灵活地运用它，对今后的学习很有帮助。例：已知多项式 有一个因式是 ，求 的值。23xm21xm3. 在几何题中的应用。例：已知 是 的三条边，且满足 ，试判断 的形abc、 、 ABCabcabc220ABC状。题型展示：例 1. 已知： ，ambcm1212123， ，求 的值。bc2例 2. 已知 ，abcabc0033，求证：

3、55例 3. 若 ，求 的值。xyxy32279， xy21. 分解因式：（1） （2）()()a2312xyx52()()2（3） axyaxy2234()()()2. 已知： ，求 的值。x13x413. 若 是三角形的三条边，求证：abc， ， abc2204. 已知： ，求 的值。2102015. 已知 是不全相等的实数，且 ，试求abc， ， abcbca033，（1） 的值；（2） 的值。()()()114、用分组分解法进行因式分解【知识精读】分组分解法的原则是分组后可以直接提公因式，或者可以直接运用公式。使用这种方法的关键在于分组适当，而在分组时，必须有预见性。能预见到下一步能继

4、续分解。而“预见”源于细致的“观察” ，分析多项式的特点，恰当的分组是分组分解法的关键。应用分组分解法因式分解，不仅可以考察提公因式法，公式法，同时它在代数式的化简，求值及一元二次方程，函数等学习中也有重要作用。下面我们就来学习用分组分解法进行因式分解。1. 在数学计算、化简、证明题中的应用例 1. 把多项式 分解因式，所得的结果为（ ）21142aa()ABaCD.().()22221例 2. 分解因式 xx54312. 在几何学中的应用例：已知三条线段长分别为 a、b、c，且满足 abcbac， 22证明：以 a、b、c 为三边能构成三角形分析：构成三角形的条件，即三边关系定理，是“两边之

5、和大于第三边，两边之差小于第三边”证明：3. 在方程中的应用例：求方程 的整数解xy分析：这是一道求不定方程的整数解问题，直接求解有困难，因等式两边都含有 x 与 y，故可考虑借助因式分解求解例 3. 分解因式： _x3241解：5、题型展示：例 1. 分解因式： mnn22141()解3例 2. 已知： ，求 ab+cd 的值。abcdacbd22110， ， 且解： 例 3. 分解因式： x321. 填空题：（ ） 分 解 因 式 ：（ ） 分 解 因 式 ：（ ） 分 解 因 式 ：132243123abxymnn()2. 已知： abcacbc03223， 求 的 值 。3. 分解因式

6、： 15a4. 已知： ，试求 A 的表达xyzAxyzxyzxyz22 330 ， 是 一 个 关 于 的 一 次 多 项 式 ， 且, ()式。5. 证明： ()()()()abaabb211225、用十字相乘法把二次三项式分解因式【知识精读】对于首项系数是 1 的二次三项式的十字相乘法，重点是运用公式进行因式分解。掌握这种方法的关键是确定适合条件的两个数，即把xabxab2()常数项分解成两个数的积，且其和等于一次项系数。对于二次三项 （a、b、c 都是整数，且 ）来说，如果存在四个整数2 a0满足 ，并且 ，那么二次三项式 即ac12， ， ， 1212， cb121axbc2可以分解

7、为 。这里要确定四个常数 ，xcx1x2 12， ， ，分析和尝试都要比首项系数是 1 的类型复杂，因此一般要借助画十字交叉线的办法来确定。下面我们一起来学习用十字相乘法因式分解。【分类解析】1. 在方程、不等式中的应用例 1. 已知： ，求 x 的取值范围。x2140分析：本题为二次不等式，可以应用因式分解化二次为一次，即可求解。解： 例 2. 如果 能分解成两个整数系数的二次因式的积，试求 m 的值，并把这个xmx432多项式分解因式。2. 在几何学中的应用例. 已知：长方形的长、宽为 x、y，周长为 16cm，且满足，求长方形的面积。xyxy2203、在代数证明题中的应用例. 证明：若

8、是 7 的倍数，其中 x，y 都是整数，则 是 49 的倍数。4xy810322xy5、题型展示例 1. 若 能分解为两个一次因式的积，则 m 的值为（ ）m256A. 1 B. -1 C. D. 21解：例 2. 已知：a、b、c 为互不相等的数，且满足 。acbac244求证： abc证明：例 3. 若 有一因式 。求 a，并将原式因式分解。xxa3257x1解：7、因式分解小结【知识精读】因式分解是把一个多项式分解成几个整式乘积的形式，它和整式乘法互为逆运算，在初中代数中占有重要的地位和作用，在其它学科中也有广泛应用，学习本章知识时，应注意以下几点。1. 因式分解的对象是多项式；2. 因

9、式分解的结果一定是整式乘积的形式；3. 分解因式，必须进行到每一个因式都不能再分解为止；4. 公式中的字母可以表示单项式，也可以表示多项式；5. 结果如有相同因式，应写成幂的形式；6. 题目中没有指定数的范围，一般指在有理数范围内分解；7. 因式分解的一般步骤是：（1）通常采用一“提” 、二“公” 、三“分” 、四“变”的步骤。即首先看有无公因式可提，其次看能否直接利用乘法公式；如前两个步骤都不能实施，可用分组分解法，分组的目的是使得分组后有公因式可提或可利用公式法继续分解；（2）若上述方法都行不通，可以尝试用配方法、换元法、待定系数法、试除法、拆项（添项）等方法；下面我们一起来回顾本章所学的

10、内容。【分类解析】1. 通过基本思路达到分解多项式的目的例 1. 分解因式 xx543212. 通过变形达到分解的目的例 1. 分解因式 x3243. 在证明题中的应用例：求证：多项式 的值一定是非负数()xx24102分析：现阶段我们学习了两个非负数，它们是完全平方数、绝对值。本题要证明这个多项式是非负数，需要变形成完全平方数。证明： 4. 因式分解中的转化思想例：分解因式： ()()()abcabc2333分析：本题若直接用公式法分解，过程很复杂，观察 a+b，b+c 与 a+2b+c 的关系，努力寻找一种代换的方法。解：例 1.在 中，三边 a,b,c 满足ABCabcabc221610

11、求证： acb2证明：说明：此题是代数、几何的综合题，难度不大，学生应掌握这类题不能丢分。例 2. 已知： _xx1213， 则解 题型展示：1. 若 x 为任意整数，求证： 的值不大于 100。()()7342xx解： 52. 将 aa222 221 674()()分 解 因 式 ， 并 用 分 解 结 果 计 算 。解：【实战模拟】1. 分解因式：（ ）（ ）1308310825542xxxaa()()（ ）（ ）47623yyx2. 已知： 的值。xyxy613， ， 求 ：3. 矩形的周长是 28cm，两边 x,y 使 ，求矩形的面积。xy32304. 求证： 是 6 的倍数。 （其中

12、 n 为整数）n355. 已知：a、b、c 是非零实数，且 ，求 a+b+c 的值。abcabcacb21113， ()()()6. 已知：a、b、c 为三角形的三边，比较 的大小。abcab2224和10、分式的运算【知识精读】1. 分式的乘除法法则；abcdadbc当分子、分母是多项式时，先进行因式分解再约分。2. 分式的加减法（1）通分的根据是分式的基本性质，且取各分式分母的最简公分母。求最简公分母是通分的关键，它的法则是：取各分母系数的最小公倍数；凡出现的字母（或含有字母的式子）为底的幂的因式都要取；相同字母（或含有字母的式子）的幂的因式取指数最高的。（2）同分母的分式加减法法则acb

13、（3）异分母的分式加减法法则是先通分，变为同分母的分式，然后再加减。3. 分式乘方的法则（n 为正整数）()ab4. 分式的运算是初中数学的重要内容之一，在分式方程，求代数式的值，函数等方面有重要应用。学习时应注意以下几个问题：（1）注意运算顺序及解题步骤，把好符号关；（2）整式与分式的运算，根据题目特点，可将整式化为分母为“1”的分式；（3）运算中及时约分、化简；（4）注意运算律的正确使用；（5）结果应为最简分式或整式。下面我们一起来学习分式的四则运算。【分类解析】例 1：计算 的结果是（ ）xx2266A. B. C. D. x13x19x219x213分析：原式 ()()xx232()(

14、)()x131192故选 C说明：先将分子、分母分解因式，再约分。例 2：已知 ，求 的值。abc1abcca11分析：若先通分，计算就复杂了，我们可以用 替换待求式中的“1” ，将三个分式化成同分母，运算就简单了。解：原式 abbcabca1a11例 3：已知： ，求下式的值：250mn()()11n分析：本题先化简，然后代入求值。化简时在每个括号内通分，除号改乘号，除式的分子、分母颠倒过来，再约分、整理。最后将条件等式变形，用一个字母的代数式来表示另一个字母，带入化简后的式子求值。这是解决条件求值问题的一般方法。解： ()()11nmnmmnmnmn()()()()()25052mmn故原

15、式2n73例 4：已知 a、b、c 为实数，且 ，那么 的值是多少？abca13415， ， abc分析：已知条件是一个复杂的三元二次方程组，不容易求解，可取倒数，进行简化。解：由已知条件得： 1bca， ，所以 22()ac即 16b又因为 cba16所以 a6例 5：化简： ()xx322141解一：原式 ()()xx32217xxxxxxx432223241111314()()()()()解二：原式 ()()()()xxx221221()()xxx232221134说明：解法一是一般方法，但遇到的问题是通分后分式加法的结果中分子是一个四次多项式，而它的分解需要拆、添项，比较麻烦；解法二则

16、运用了乘法分配律，避免了上述问题。因此，解题时注意审题，仔细观察善于抓住题目的特征，选择适当的方法。例 1、计算： 2422nmn解：原式 ()123nmn说明：分式运算时，若分子或分母是多项式，应先因式分解。例 2、已知： ，则 _。Mxyxy22M解： 22222xyxyMx说明：分式加减运算后，等式左右两边的分母相同，则其分子也必然相同，即可求出 M。中考点拨：例 1：计算： ()()()1122abab解一：原式 ()()224222ababab()解二：原式 ()()()111baba2abab()说明：在分式的运算过程中，乘法公式和因式分解的使用会简化解题过程。此题两种方法的繁简程

17、度一目了然。例 2：若 ，则 的值等于（ ）ab23()()12123babaA. B. C. D. 103解：原式 abba33228ababab32222341()故选 A【实战模拟】1. 已知： ，则 的值等于（ ）ab25， abA. B. C. D. 5141952452. 已知 ，求 的值。x260x33. 计算： 13215617219202 2xxxx4. 若 ，试比较 A 与 B 的大小。AB9191223，5. 已知： ，求证： 。abca08， 0abc11、公式变形与字母系数方程【知识精读】含有字母系数的方程和只含有数字系数的一元一次方程的解法是相同的，但用含有字母的式

18、子去乘以或除以方程的两边，这个式子的值不能为零。公式变形实质上是解含有字母系数的方程对于含字母系数的方程，通过化简，一般归结为解方程 型，讨论如下：axb（1）当 时，此时方程 为关于 x 的一元一次方程，解为：a0axbxba（2）当 时，分以下两种情况：若 ，原方程变为 ，为恒等时，此时 x 可取任意数，故原方程有无数个解；b0若 ，原方程变为 ，这是个矛盾等式，故原方程无解。0xb()含字母系数的分式方程主要有两类问题：（一）求方程的解，其中包括：字母给出条件和未给出条件：（二）已知方程解的情况，确定字母的条件。下面我们一起来学习公式变形与字母系数方程【分类解析】1. 求含有字母系数的一

19、元一次方程的解例 1. 解关于 x 的方程 2362abxacb()分析：将 x 以外字母看作数字，类似解一元一次方程，但注意除数不为零的条件。解：去分母得： 1c移项，得 26aba()10216xxbca2. 求含字母系数的分式方程的解例 2. 解关于 x 的方程 abx2分析：字母未给出条件，首先挖掘隐含的条件，分情况讨论。解：若 a、b 全不为 0，去分母整理，得()x2对 是否为 0 分类讨论：（1）当 ，即 时，有 ，方程无解。ba2b02xab9（2）当 ，即 时，解之，得ba20bxab2若 a、b 有一个为 0，方程为 ，无解12x若 a、b 全为 0，分母为 0，方程无意义

20、检验：当 时，公分母 ，所以当 时， 是原方x2()abx0ab0， xab2程的解。说明：这种字母没给出条件的方程，首先讨论方程存在的隐含条件，这里 a、b 全不为 0 时，方程存在，然后在方程存在的情况下，去分母、化为一元一次方程的最简形式，再对未知数的字母系数分类讨论求解。当 a、b 中只有一个为 0 时，方程也存在，但无解；当 a、b 全为 0 时，方程不存在。最后对字母条件归纳，得出方程的解。3. 已知字母系数的分式方程的解，确定字母的条件例 3. 如果关于 x 的方程 有唯一解，确定 a、b 应满足的条件。abx1分析：显然方程存在的条件是： 且0解：若 且 ，去分母整理，得a0b

21、()()bx当且仅当 ，即 时，解得axab经检验， 是原方程的解a应满足的条件： 且b、 0，说明：已知方程有唯一解，显然方程存在的隐含条件是 a、b 全不为 0，然后在方程存在的条件下，求有解且唯一的条件。因为是分式方程，需验根后确定唯一解的条件。4. 在其它学科中的应用（公式变形）例 4. 在物理学中我们学习了公式 ，其中所有的字母都不为零。已知 S、 、t，试求Svta021 v0a。分析：利用字母系数方程完成公式变形，公式变形时要分清哪个量是被表示的量，则这个量就是未知数，其它的量均视为已知量，然后按解字母系数方程求解。解： Svta0211201202at atavtS5、中考点拨

22、例 1. 填空：在 中，已知 且 ，则 _。vat0va、 、0t解： tatv0例 2. 在公式 中，已知 P、F、t 都是正数，则 s 等于（ ）PstA. B. C. D. 以上都不对tFt解： sts，故选 AsP说明：以上两题均考察了公式变形。6、题型展示：例 1. 解关于 x 的方程 abcxcabbc30()， ，解：原方程化为： xc111即 abcaxc010()()xabcabcx1001， ，说明：本题中，常数“3”是一个重要的量，把 3 拆成 3 个 1，正好能凑成公因式 。若按xabc常规在方程两边去分母，则解法太繁，故解题中一定要注意观察方程的结构特征，才能找到合适

23、的办法。例 2. 解关于 x 的方程。ababxba()()()()0解：去括号： xxxab2222()()()()abxab202说明：解含字母系数的方程，在消未知数的系数时，一定要强调未知数的系数不等于 0，如果方程的解是分式形式，必须化成最简分式或整式。例 3. 已知 ，求 z。 （ ）zabcdd0分析：本题是求 z，实质上是解含有字母系数的分式方程，应确定已知量和未知量，把方程化归为的形式，便可求解。ax()0解： dzcbzadczc()()()又 0bac【实战模拟】1. 解关于 x 的方程 ，其中 。mnx1mn0， ，2. 解关于 x 的方程 。()axa1423. a 为

24、何值时，关于 x 的方程 的解等于零？a12354. 已知关于 x 的方程 有一个正整数解，求 m 的取值范围。mx325. 如果 a、b 为定值，关于 x 的一次方程 ，无论取何值，它的根总是 1，求 a、b326kxaxbk的值。12、分式方程及其应用【知识精读】1. 解分式方程的基本思想：把分式方程转化为整式方程。112. 解分式方程的一般步骤：（1）在方程的两边都乘以最简公分母，约去分母，化成整式方程；（2）解这个整式方程；（3）验根：把整式方程的根代入最简公分母，看结果是否等于零，使最简公分母等于零的根是原方程的增根，必须舍去，但对于含有字母系数的分式方程，一般不要求检验。3. 列分

25、式方程解应用题和列整式方程解应用题步骤基本相同，但必须注意，要检验求得的解是否为原方程的根，以及是否符合题意。下面我们来学习可化为一元一次方程的分式方程的解法及其应用。【分类解析】例 1. 解方程： x12分析：首先要确定各分式分母的最简公分母，在方程两边乘这个公分母时不要漏乘，解完后记着要验根解：方程两边都乘以 ，得()x1xx22132()，即 ，经 检 验 ： 是 原 方 程 的 根 。例 2. 解方程 xx1672356分析：直接去分母，可能出现高次方程，给求解造成困难，观察四个分式的分母发现的值相差 1，而分子也有这个特点，因此，可将分母的值相差 1 的两()()()()xx67与

26、、 与个分式结合，然后再通分，把原方程两边化为分子相等的两个分式，利用分式的等值性质求值。解：原方程变形为： xx67523方程两边通分，得1671238392()()()xxx所 以即经检验：原方程的根是 x92。例 3. 解方程： 104348923716945xx分析：方程中的每个分式都相当于一个假分数，因此，可化为一个整数与一个简单的分数式之和。解：由原方程得： 8xxx即 289628107xx于 是 ，所 以解 得 ：经 检 验 ： 是 原 方 程 的 根 。 88961071()()(xx例 4. 解方程： 61244022yyy分析：此题若用一般解法，则计算量较大。当把分子、分

27、母分解因式后，会发现分子与分母有相同的因式，于是可先约分。解：原方程变形为： 62220()()()yyy约分，得 220yy()方程两边都乘以 ()， 得602()yy12整 理 ， 得经 检 验 ： 是 原 方 程 的 根 。2168y注：分式方程命题中一般渗透不等式，恒等变形，因式分解等知识。因此要学会根据方程结构特点，用特殊方法解分式方程。5、中考题解：例 1若解分式方程 产生增根，则 m 的值是（ ）211xmxA. B. 或 或C. D. 2或 2或分析：分式方程产生的增根，是使分母为零的未知数的值。由题意得增根是： 化简x01或 ，原方程为： 把 代入解得 ，故选择 D。122x

28、mx()()， x01或 m12或例 2. 甲、乙两班同学参加“绿化祖国”活动，已知乙班每小时比甲班多种 2 棵树，甲班种 60 棵所用的时间与乙班种 66 棵树所用的时间相等，求甲、乙两班每小时各种多少棵树？分析：利用所用时间相等这一等量关系列出方程。解：设甲班每小时种 x 棵树，则乙班每小时种（x+2）棵树，由题意得： 602120x经 检 验 ： 是 原 方 程 的 根答：甲班每小时种树 20 棵，乙班每小时种树 22 棵。说明：在解分式方程应用题时一定要检验方程的根。6、题型展示：例 1. 轮船在一次航行中顺流航行 80 千米，逆流航行 42 千米，共用了 7 小时；在另一次航行中，用

29、相同的时间，顺流航行 40 千米，逆流航行 70 千米。求这艘轮船在静水中的速度和水流速度分析：在航行问题中的等量关系是“船实际速度=水速+静水速度” ，有顺水、逆水，取水速正、负值，两次航行提供了两个等量关系。解：设船在静水中的速度为 x 千米/小时，水流速度为 y 千米/ 小时由题意，得80427xy解 得 ：经 检 验 ： 是 原 方 程 的 根xy173答：水流速度为 3 千米/小时，船在静水中的速度为 17 千米/ 小时。例 2. m 为何值时，关于 x 的方程 会产生增根？2432mx解：方程两边都乘以 ，得246整理，得 ()10当 时 ，如 果 方 程 产 生 增 根 ， 那

30、么 ， 即 或（ ） 若 ， 则（ ） 若 ， 则（ ） 综 上 所 述 ， 当 或 时 ， 原 方 程 产 生 增 根xmxxxm4021212634说明：分式方程的增根，一定是使最简公分母为零的根【实战模拟】1. 甲、乙两地相距 S 千米，某人从甲地出发，以 v 千米/小时的速度步行，走了 a 小时后改乘汽车，又过 b 小时到达乙地，则汽车的速度（ ）A. B. C. D. aavbSab2Sab2. 如果关于 x 的方程 231mx有 增 根 ， 则 的 值 等 于 （ ）A. B. C. D. 33133. 解方程：（ ） 1012131902xxxx()()()（ ）212140xx

31、4. 求 x 为何值时，代数式 的值等于 2？2931xx5. 甲、乙两个工程队共同完成一项工程，乙队先单独做 1 天后，再由两队合作 2 天就完成了全部工程。已知甲队单独完成工程所需的天数是乙队单独完成所需天数的 ，求甲、乙两队单独完成各需多少天？2313、分式总复习【知识精读】分 式 定 义 ： （ 、 为 整 式 ， 中 含 有 字 母 ）性 质 通 分 ：约 分 ：分 式 方 程 定 义 ： 分 母 含 有 未 知 数 的 方 程 。 如解 法 思 想 ： 把 分 式 方 程 转 化 为 整 式 方 程方 法 ： 两 边 同 乘 以 最 简 公 分 母依 据 ： 等 式 的 基 本 性

32、 质注 意 ： 必 须 验 根应 用 ： 列 分 式 方 程 解 应 用 题 及 在 其 它 学 科 中 的 应 用ABMABxB ()0513【分类解析】1. 分式有意义的应用例 1. 若 ，试判断 是否有意义。ab101ab，分析：要判断 是否有意义，须看其分母是否为零，由条件中等式左边因式分解，即可b，判断 与零的关系。1，解： ab10()即或b10a中至少有一个无意义。，2. 结合换元法、配方法、拆项法、因式分解等方法简化分式运算。例 2. 计算： aa22131分析：如果先通分，分子运算量较大，观察分子中含分母的项与分母的关系，可采取“分离分式法”简化计算。14解：原式 aa()(

33、)131aa13213()()例 3. 解方程： 765622xx分析：因为 ， ，所以最简公分母为：1()xx223()，若采用去分母的通常方法，运算量较大。由于()()x163故可得如下解法。xx22255656解： x221原方程变为 7615622xx115022x经检验， 是原方程的根。x3. 在代数求值中的应用例 4. 已知 与 互为相反数，求代数式a269|b1的值。()42222bab分析：要求代数式的值，则需通过已知条件求出 a、b 的值，又因为 ，aa226930()，利用非负数及相反数的性质可求出 a、b 的值。|b10解：由已知得 ，解得ab301， 31，原式 ()(

34、)()422aba()()ababaab222221把 代入得：原式3， 124. 用方程解决实际问题例 5. 一列火车从车站开出，预计行程 450 千米，当它开出 3 小时后，因特殊任务多停一站，耽误 30 分钟，后来把速度提高了 0.2 倍，结果准时到达目的地，求这列火车的速度。解：设这列火车的速度为 x 千米/时根据题意，得 450312.方程两边都乘以 12x，得 4503x解得 x7经检验， 是原方程的根答：这列火车原来的速度为 75 千米/时。5. 在数学、物理、化学等学科的学习中，都会遇到有关公式的推导，公式的变形等问题。而公式的变形实质上就是解含有字母系数的方程。例 6. 已知

35、 ，试用含 x 的代数式表示 y，并证明 。xy23()3213xy解：由 ，得y2332332xxy()15()()323269421321xyyy6、中考原题：例 1已知 ，则 M_。Mxyxy22分析：通过分式加减运算等式左边和右边的分母相同，则其分子也必然相同，即可求出 M。解： 2xy2222xyxyMx例 2已知 ，那么代数式 的值是_。x230()x132分析：先化简所求分式，发现把 看成整体代入即可求的结果。2解：原式 ()()xxx132 2x22303原 式 x7、题型展示：例 1. 当 x 取何值时，式子 有意义？当 x 取什么数时，该式子值为零？|x23解：由 2310

36、()得 或1所以，当 和 时，原分式有意义x2由分子 得|20当 时，分母x2x230当 时，分母 ，原分式无意义。所以当 时，式子 的值为零|2例 2. 求 的值，其中 。xmnxmn22() xmn231分析：先化简，再求值。解：原式 ()()xx()mxn2xnn312416， ， ，原 式 ()()m223n224169()【实战模拟】1. 当 x 取何值时，分式 有意义？21x2. 有一根烧红的铁钉，质量是 m，温度是 ，它放出热量 Q 后，温度降为多少？（铁的比热为 c）t0163. 计算： xyxy24224. 解方程： xx214365875. 要在规定的日期内加工一批机器零件

37、，如果甲单独做，刚好在规定日期内完成，乙单独做则要超过3 天。现在甲、乙两人合作 2 天后，再由乙单独做，正好按期完成。问规定日期是多少天？6. 已知 ，求 的值。4360270xyzxyzxy， ， xyz26、全等三角形及其应用【知识精读】1. 全等三角形的定义：能够完全重合的两个三角形叫全等三角形；两个全等三角形中，互相重合的顶点叫做对应顶点。互相重合的边叫对应边，互相重合的角叫对应角。2. 全等三角形的表示方法：若ABC 和A BC 是全等的三角形，记作 “ABCAB C其中， “”读作 “全等于” 。记两个三角形全等时，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上。3. 全等三角形的的性

38、质：全等三角形的对应边相等，对应角相等；4. 寻找对应元素的方法（1）根据对应顶点找如果两个三角形全等，那么，以对应顶点为顶点的角是对应角；以对应顶点为端点的边是对应边。通常情况下，两个三角形全等时，对应顶点的字母都写在对应的位置上，因此，由全等三角形的记法便可写出对应的元素。（2）根据已知的对应元素寻找全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边；（3）通过观察，想象图形的运动变化状况，确定对应关系。通过对两个全等三角形各种不同位置关系的观察和分析，可以看出其中一个是由另一个经过下列各种运动而形成的。翻折 如图（1） ，BOCEOD ，BOC 可以看成是由EOD 沿直线 AO

39、 翻折 180得到的；旋转 如图（2） ，CODBOA，COD 可以看成是由BOA 绕着点 O 旋转 180得到的；平移 如图（3） ，DEF ACB，DEF 可以看成是由ACB 沿 CB 方向平行移动而得到的。5. 判定三角形全等的方法：（1）边角边公理、角边角公理、边边边公理、斜边直角边公理（2） 推论：角角边定理6. 注意问题：（1）在判定两个三角形全等时，至少有一边对应相等；17（2）不能证明两个三角形全等的是，a: 三个角对应相等，即 AAA；b : 有两边和其中一角对应相等，即SSA。全等三角形是研究两个封闭图形之间的基本工具，同时也是移动图形位置的工具。在平面几何知识应用中，若证

40、明线段相等或角相等，或需要移动图形或移动图形元素的位置，常常需要借助全等三角形的知识。【分类解析】全等三角形知识的应用（1） 证明线段（或角）相等例 1：如图，已知 AD=AE,AB=AC.求证：BF=FC分析：由已知条件可证出 ACDABE，而 BF 和 FC 分别位于 DBF 和 EFC 中，因此先证明ACD ABE，再证明 DBFECF，既可以得到 BF=FC.证明：在 ACD 和 ABE 中，AE=D A AB=C. ACDABE (SAS) B=C （全等三角形对应角相等）又 AD=AE,AB=AC. ABAD=ACAE即 BD=CE在 DBF 和 ECF 中 B= C FD FE（

41、 对 顶 角 相 等 ） B=CE DBF ECF （AAS ） BF=FC （全等三角形对应边相等）（2）证明线段平行例 2：已知：如图，DEAC ，BFAC，垂足分别为 E、F，DE=BF ，AF=CE. 求证：ABCDDCBAEF分析：要证 ABCD，需证CA，而要证CA，又需证 ABFCDE.由已知BFAC，DE AC，知DEC BFA=90，且已知 DE=BF，AF=CE. 显然证明 ABFCDE 条件已具备，故可先证两个三角形全等，再证CA,进一步证明 ABCD.证明： DEAC，BFAC （已知） DECBFA=90 （垂直的定义）在 ABF 与 CDE 中，AF=CE （ 已

42、知 ） D BFA （ 已 证 ） E=BF （ 已 知 ） ABF CDE（SAS） CA (全等三角形对应角相等 ) ABCD （内错角相等，两直线平行）（3）证明线段的倍半关系，可利用加倍法或折半法将问题转化为证明两条线段相等例 3：如图，在 ABC 中，AB=AC ，延长 AB 到 D，使 BD=AB，取 AB 的中点 E，连接 CD 和 CE. 求证：CD=2CE分析：()折半法：取 CD 中点 F，连接 BF，再证 CEBCFB.这里注意利用 BF 是 ACD 中位线这个条件。证明：取 CD 中点 F，连接 BF 18 BF= AC,且 BFAC （三角形中位线定理）12 ACB2

43、 (两直线平行内错角相等)又 AB=AC ACB3 （等边对等角） 32在 CEB 与 CFB 中，BF=E 3 2 CB=CB CEB CFB (SAS) CE=CF= CD （全等三角形对应边相等）12即 CD=2CE（）加倍法证明：延长 CE 到 F，使 EF=CE，连 BF.AEBDCF4123在 AEC 与 BEF 中，AE=BE 1 2 （ 对 顶 角 相 等 ） CE=FE AECBEF (SAS) AC=BF, 43 (全等三角形对应边、对应角相等 ) BF AC (内错角相等两直线平行) ACB+CBF=180 o,ABC+CBD=180 o,又 AB=AC ACB=ABCC

44、BF= CBD （等角的补角相等）在 CFB 与 CDB 中，CB=CB F CBD BF=D CFBCDB (SAS) CF=CD即 CD=2CE说明：关于折半法有时不在原线段上截取一半，而利用三角形中位线得到原线段一半的线段。例如上面折道理题也可这样处理，取 AC 中点 F，连 BF(如图)（B 为 AD 中点是利用这个办法的重要前提） ，然后证 CE=BF.(4)证明线段相互垂直例 4：已知：如图，A、D、B 三点在同一条直线上，ADC、BDO 为等腰三角形，AO 、BC 的大小关系和位置关系分别如何？证明你的结论。 CBAOED分析：本题没有直接给出待证的结论，而是让同学们先根据已知条

45、件推断出结论，然后再证明所得出的结论正确。通过观察，可以猜测：AO=BC，AOBC.证明：延长 AO 交 BC 于 E,在 ADO 和 CDB 中AD=C O= CDB=90o OD=B ADOCDB (SAS) AO=BC, OAD=BCD（全等三角形对应边、对应角相等） AODCOE （对顶角相等） COE+OCE=90 o AOBC5、中考点拨：19例 1如图，在ABC 中，ABAC ，E 是 AB 的中点，以点 E 为圆心，EB 为半径画弧，交 BC 于点 D，连结 ED，并延长 ED 到点 F，使 DFDE，连结 FC求证：FA分析：证明两个角相等，常证明这两个角所在的两个三角形全等，在已知图形中A、F 不在全等的两个三角形中，但由已知可证得 EFAC，因此把A 通过同位角转到BDE 中的BED，只要证EBDFCD 即可证明：ABAC，ACBB，EBED ，ACBEDBEDACBEDABEEABDCD又 DEDF ，BDE CDFBDECDF，BEDFFA 说明：证明角（或线段）相等可以从证明角（或线段）所在的三角形全等入手，在寻求全等条件时，要注意结合图形，挖掘图中存在的对项角、公共角、公共边、平行线的同位角、内错角等相等的关系。例 2 如图，已知 ABC 为等边三角形，延长 BC 到 D，延长