1、12015.2-3 学大伟业石家庄(代数)1.证明对于所有正实数 ，均有 。,abcd43234abcdb2.证明对于所有正整数 和满足 的正实数 ，有n12n 12,n。41123nnii ia3.设 是正实数，且 ，证明,bc8abc。2223334111aca4.已知 的三边长分别为 ，外接圆半径和内切圆半径分别为 ，证明ABC,ab,Rr。2222 2644Rcrabcb 5.给定一个正整数 ，试求出所有的正整数 ，使得对于满足条件nm的任何一组正实数 ，都有下列不等式成立12naA na,21。1212mmnna 6.设 ，且 。若存在正整数12120,0nnb 1niiab，使得当
2、 时有 ，当 时有 ，求证 。knikiiakii11nnii7.设 ，其中 是两个不同的正实数，证明对于每个实fxxb,b数 ，存在唯一的正实数 ，使得 。0,1s12ssaf8.对于每个正整数 ，求最大实数 ，使得对于所有正实数 ，有2nnC12,na。222 211 1naaaa 29.证明对于满足 的正实数 ，有223abc,abc。11135552ab10.设正实数 满足 ，证明,acbc。2221134ba11.已知 为正整数， 为正实数，证明n1,n 2322221 121212 0505n nnnaaaaa 。12.已知正实数 满足 ，证明,bc1。222555113abcab
3、13.已知实数 满足 ，证明 ，并,xyz0yz222011xyz确定等号成立的条件。14.已知正实数 满足 ，证明,zxz。233224441119939xyzyyxz 15.设 为正实数，证明,abc。222222831861633bccaab16.已知 是正实数，证明 。,xyz xyzxzxyz17.设 为正实数，实数 满足 ，证明,w,21,kA。sinisinixyzwyxzxyz18.设 为正实数， 为 的三个内角，求证,ABC3。1sinisin2xyzxAyBzCxyz19.设 为正实数，满足 ，点 是以原点为圆,abcd1abcd,1,234iiP心的单位圆周上的四个点，求
4、证。222 21234431abcdyyxx20.设 均为实数， 均为正实数，证明1212,;,nnab 12,nc。2,1,1,1nnijijijiji ijacccA21.求 的最大值，使得对于任意满足 的正实数C3113241xx，均有 。1234,x341iiixC22.设 是实数，证明 。12,n ,11nnijiijxx23.已知 ，证明020,2i nx 。120snisinnxxA24.证明对于任意正实数 ，有,abc。4242420bcaabc25.设正实数 满足 ，证明,bc1ac。2223333aabcac b26.已知 的三边长分别为 ，且 ，证明ABC,c。abacc
5、27.设实数 满足 ，且 ，证明,cde0bde1abde4。15adcbea28.证明对于任意正实数 ，有,bc2222222224 4 4bccaca。22113abcaca29.求最小的实数 ，使得对于所有正实数 ，有C12345,xx162050250205121525134 534Cxxx x。30.设 ，其中 是有理数， 是正整数，求所有三元数组rrrSnn n，其中 是正有理数， 是正整数，使得存在无穷多个正整数 ，满足,abc,abc n。c31.设 ，求实数 的集合，使得存在一个三元正,xyzxyzfzr实数组 ，满足 。,xy,fr32.求 的最大值，使得对一切正实数 ，且
6、 ，均有k,abccabc。11abckbc33.设正实数 满足 ，证明,aabc。22211136abcc34.已知 为正整数，实数 ，若正整数 满足 ，求k0a12,rk 12rkk的最大值。12rk35.设正整数 满足 ，若 ，求 的最大值。,bcdc0acacbd36.对于满足条件 的任意非负实数 ，求 的121nxx 12,nx 451iiix5最大值。37.设 是四个非负实数，且 ，证明,abcd1abcd。176238.已知正整数 ，定义集合 ，对于任意满足n,TijijnijijA的非负实数 ，求 的最大值（表示为关于 的函121xx 12,nx ,ijijTxn数） 。39.
7、证明 对于任意正整数 ，有 ； 若 是小于m132m 12,np的所有素数由小到大的排列，则 。102120npp40.设 是由正实数组成的无穷项数列，对于任意正整数 ，证明12,a N，其中 。2114Nnnb1niba41.正整数数列 满足，对于每个正整数 ， 是一个正nan21nnaa整数，且为 的倍数，求证对于元素全为素数的任意一个有限集 ，下述不等式成立：21n P。logpPpa42.设 ， ， 。求021na na321 221na证 。343.求最大的实数 ，使得对于任意正实数 ，均有M,bc。33223abcabca44. 求最大的实数 ，使得对于任意非负实数 ，均有C,xy
8、z。3322221xyzCxyzxxyzx45.已知正实数 满足 ，证明 。,yz 32zxyy646.已知正实数 满足 ，证明 。,xyz1yz123yzxyz47.设 是正实数，且 ，求 的最大值。,abcabc2223abc48.设 是实数列，且满足 ，要使 ，问 有n 11,4,1nnt1980at多少个不同的取值。49. 设 ，证明对任意正整数 ，方程211, ,23,nnPxxPx n的根全是相异实根。n50.设实数 满足 ，证12,3na 22121,nnaaa 明 。mx51.设 ，证明 。3nn !1nxn52.证明对任意实数 ，都存在 ，使得对任意不超过 的非负12,na
9、,2k 1实数 ，都有 。12nb 11iiba53. 是正整数，实数列 和 满足 ，2,n 12,nb 12naa，且对于任意的 ， ，12nb i i iab 。假设对于任意实数 ，满足 的数对12nab mij的数目等于满足 的数对 的数目，证明对于 ，有 。,ijklm,kl 1,2n iab54.设正实数 满足 ； 对于1212,nnxy 1120nxyxy 每一个 ， ，证明k 2kkx 。1212nnxxyy 55.设 为非负整数，对于任意正整数 ，且 ，有10,a ,ij201ij，证明存在实数 ，使得对于所有的 ，有ijijijx,n。nx756.求正整数 ，满足下述条件：存
10、在正整数 ，使得数列2n12,na是非常数等差数列。1231,aa57.对于正整数 ，定义 分别为 的各位数字之和与各位数字之积，证明,SaP对于每个正整数 ，存在正整数 ，满足 ，且对于n12,n 12nSaSa， ，其中 。1,2i ii158.整数列 满足 ，求证当 时， 为奇数。na2121,7,naa2nna59.设整数数列 满足 ，对于任意正整数 ，均有,n 125,6，证明若素数 满足：112 1n nnaaaa p对于某个正整数 ，有 整除 ，则存在正整数 ，使得 。pm25od60.已知非负整数 满足：对于所有实数 ，若12,n 12,nx， ，则一定有 ，证明120nxx
11、12nx 31kax。212 4jnnaa 61.如果实数列 满足对于每一个整数 ，均有01389, 01389i，则称这个实数列为凹数列，试求最大的实数 ，使得对于每一个非负的12iiia C凹数列，均有 。38913892200iiiaC62.求 的排列 的个数，使得对于任意的整数1,4 12014,a，均有 。,2ijijij63.设 是 组成的长度为 的有序数组构成的集合，且每个长度为 的有序数组nA,abcnn都不包含两个相邻字母是 或 的情形， 是 组成的长度为 的有序数组构成的bnB,abc集合，且每个长度为 的有序数组都不包含三个相邻字母互不相同的情形，证明对于 ，18有 。1
12、3nnBA64.在 的方格表的每个格子中填上 或 ，求填法的种数，使得任意相邻的两个格401子中所填的数的乘积为 ，其中相邻格子是指有公共边的两个格子。065.证明对于任意正整数 ，有 。n3154in66.求出所有的实数 ，使得存在正实数 满足 。t,xyz2231,4xzyt67.设正整数 ， 是整数，且 互不相同，5n12,nabab ,1,2iabn若 ，证明存在一对正整数 ，满足121231ab ij，其中 。ijji ij68.给定正整数 ，函数 满足 ，求集合n0:fA1,2,nxf为 偶 数 ；为 奇 数，其中 为所有非负整数构成的集合， ，0nAxfx0 1fxf。1,23,
13、kkf69.已知函数 及正数 ，求证存在实数 ，使得sinfxxdp对一切实数 成立，且 的值可以任意大。fxpdp70.已知 为正整数集，对所有正整数 ，函数 满足A,kn:fA。1kfnfkfn求证对于任意正整数 ，有 ；1,ab1ffbfaffb求证对于任意正整数 ，如果函数 满足 ，则存2 207205n在正整数 ，使得 。c207fcfc71.设 是定义在非负实数上且在非负实数上取值的函数，并满足 对于任意非fx 1负实数 ，均有 ； ；,yfyffxy20f39，02fx， ，求满足上述条件的 。fx72.求所有函数 ，满足 对于任意非负实数 ，0： ， ， 10xy， ，均有 ；
14、 ； 对于任意 ，有 。xyfxyff20f31f73.设 是正实数集，证明不存在函数 ，使得对于任意的 ，有R :fR ,xyR。2fxfyfx74.设 是正实数集，问是否存在函数 ，使得对于任意的 ，有 :f,xy。221fxyfxyf75.设函数 满足对于任意大于 的正整数 ，总存在 的素因数 ，使得:A1np，已知 ，求nfffp2014205201633fff的值。23501456fff76.求所有函数 ，使得对于任意 ，均有:A,xyA。fxyffxfy77.已知正整数 ， 为 次整系数多项式，且对于任意的 ，10nPn1,20k均存在整数 ，使得 。若 ，证明对于每个整数 ，均存
15、mk1010P在整数 ，使得 。78.对于非负整数 ，定义实数数列 如下： ，对于每个正整数 ，,n,amn,2an，对于任意正整数 ， ，证0,1,2an ,1,1nam明对于每个正整数 ，多项式 的所有根均为实数。k0,21kikiPxax79.设 为实数，使得对于任意实数 ，有12,nabcbc，证明2 2221nn nxxaxbxcbxcbxc 10。121ncc80.设首项系数为 1 的 次多项式 有 个复根 和 是)(xPn1,2,()iinRx S实系数多项式，且有 = 。证明多项式 有 个实根。)(xiSR)(xR81.设正整数 ， ，求 的最小值。2n12,n 21cosij
16、ijn82.设正整数 ，对于每个实数 ，定义,tkA，证明 的充分1 1cos, sin nk kxtktyt 0nnxtyt必要条件是 。tatn283.已知 为正数数列，求证若存在正数 ，使得对于所有的 ，13, M1,2n都有 ，则存在一个正数 ，使得对于所有的 ，都有221nM 。12aa84. 设 ， 是 的所有子集构成的集合，求函数,20,219AB SA的个数，使得对于所有的 ，均有 。:fSBA1212min,ffAf85.已知集合 ，其中 为正整数，且12,0,2,nnmaT ,， 为 的所有子集构成的集合，映射 满足下列性质：对于3mPS :nmfPST的任意两个元素 ，都有 ，试n12,X121212fXXffX求（1）当 时，所有这样的映射 的个数；（2）当 时，所有这样的映0f 射 的个数。f
