1、数学物理方法课程论文题目：有界杆的导热问题系部：物理系学号：姓名： 年 月 2摘要：本文针对一维导热问题，结合数学物理方法中的分离变量法和把解偏微分方程的问题转化为常微分方程的问题这一思想运用到求定解问题中。本课题中求解有界杆导热问题同时还用到了解本征值问题以及用傅里叶级数确定傅里叶系数。3关键词：定解问题 分离变量法 本征值 傅里叶级数 边界条件4有界杆导热问题热传导方程的含第二类边界条件的混合问题问题：一长度为 L 的均匀细杆，其侧面与左右两端都保持绝热，杆内初始时刻的温度分布是不均匀的，求杆内温度随时间的变化。简单分析：设细杆沿 x 轴放置，初始温度分布为 x，以 u（x，y）表示杆上点
2、 x 处 t 时刻的温度这个问题，可归结为求解下列定解问题：tu= 2at，,0x= （00 )(,)xtul求解：这个定解问题的特点是：方程是线性齐次的，边界条件是齐次的，所以可以运用分离变量法来求解：（1） 分离变量：这一步骤的主要思想还是把解偏微分方程的问题转化为解微分方程的问题。考虑问题的下列形式的特解：(,)()uxtXTt其中 只是自变量 x 的函数，而 ()Tt只是自变量 t 的函数。将（）代入到问题中的方程，得XT= 2aXT 2()()xtaT上式的左端仅是 x 的函数,右端仅是 t 的函数,而 x 和 t 是两个独立的自变量，要是两边相等，唯一的可能是它们等于一个公共的常数
3、，即有52()()XxTta由此得到两个常微分方程：2()()0XxTtat这两个常微分方程总是有解的，问题是要找到满足定解条件的解。为此将将（）带入到问题中的初边界条件得(0)XTtl()0()XxT既然 T(t）是非零函数，所以有()()0xXl称为常微分方程 ()()0x在边界条件 (0)Xl下的固有值（特征值或本征值）问题，使此问题有非零解的 称为该问题的固有值（特征值或本征值） ，相应的非零解 X(x)称为该问题的固有（特征或本征）函数。由上可见，应先解出 X(x),然后才能得到 T(t） 。（2) 解本征值问题下面对 分三种情况来讨论。0112:()0()Xxxc 由112();0
4、()clx因此 =0 是本征值。02212:0()xxkkXce6由 1212(0) 010()l lllXceeXx因此 0 不是本征值。02123:()cosinkkXxxx由 2112(0)0.()cos;sinsi,(0,.)ncxxXlll 是本征值问题的本征值。它是离散的。相应的得到本征值函数： （n=0,1,2，）()cosnXxxl（3）求函数 T（t）将 代入到方程 2()()0Ttat2nl中得到2()()0nnaTttl其通解为2()(0,1)natlnTtCe为任意常数。7（4）由 Fourier 级数定系数。要得到同时满足初始条件的解，可利用问题中的方程是线性齐次的，
5、有叠加原理可得 201(,)cosnatlnuxtCexl（）由初始条件得01()cosnxCxl利用 Fourier 系数公式得到10(),2coslCxdnxl（）这样定解问题已解出，其解为（） ，其中系数由上式 （）所确定.解的物理意义：表示温度从开始时的非均匀分布过渡到均匀的温度分布：01(,)()ltuxCxd0的物理意义是 在 0,l上的平均值，即最终温度是按初始温度分布算得平均温度.这个过程是从热力学非平衡态趋于热力学平衡态的弛豫过程.8参考文献：1梁昆淼.数学物理方法(第 3 版)M.北京:高等教育出版社,1998.2何淑芷,陈启流.数学物理方法M.广州:华南理工大学出版社,1
6、994.3程利青,林秀敏.数学物理方法M.福州:福建人民出版社,2000.4郭敦仁.数学物理方法M.北京:高等教育出版社,1991.5闫桂峰,数学物理方法M.北京理工大学出版社，2009-6-1 6王明新,石佩虎.数学物理方法，IM.SBN：9787302307730 ,2013-1-23,7邵惠民 编著,数学物理方法：M.普通高等教育十五国家级规划教材,图书编号:2159044,出版社:科学 8郭玉翠 数学物理方法（第2版）M 清华大学出版社图书，2006-12-29 9梁昆淼.数学物理方法-第四版.M高等教育出版社 2010/2/11 10季孝达 薛兴恒 陆英 宋立功,数学物理方程 (第二版) .M 科学出版社2010-9-24 21:46
