1、1二次函数在闭区间上的最值一、知识要点：一元二次函数的区间最值问题，核心是函数对称轴与给定区间的相对位置关系的讨论。一般分为：对称轴在区间的左边，中间，右边三种情况.设 ，求 在 上的最大值与最小值。fxabxc()()20fx()mn，分析：将 配方，得顶点为 、对称轴为facb242， xba2当 时，它的图象是开口向上的抛物线，数形结合可得在m，n上 的最值：a0 f()（1）当 时， 的最小值是 的最大值是bmn2， fx()fbacfx242，中的较大者。ff()、（2）当 时ban，若 ，由 在 上是增函数则 的最小值是 ，最大值是mfx()， fx()fm()fn()若 ，由 在
2、 上是减函数则 的最大值是 ，最小值是n2，当 时，可类比得结论。a0二、例题分析归类：（一）、正向型：是指已知二次函数和定义域区间，求其最值。对称轴与定义域区间的相互位置关系的讨论往往成为解决这类问题的关键。此类问题包括以下四种情形：（1）轴定，区间定；（2）轴定，区间变；（3）轴变，区间定；（4）轴变，区间变。1. 轴定区间定： 二次函数是给定的，给出的定义域区间也是固定的，我们称这种情况是“定二次函数在定区间上的最值”。例 1. 函数 在区间0，3 上的最大值是_ ，最小值是_。yx24练习. 已知 ，求函数 的最值_ _。3fx()212、轴定区间变： 二次函数是确定的，但它的定义域区
3、间是随参数而变化的，我们称这种情况是“定函数在动区间上的最值”。例 2. 如果函数 定义在区间 上，求 的最值。fx()12t， 1fx()2例 3. 已知 ，当 时，求 的最值2()3fx1()xttR，()fx对二次函数的区间最值结合函数图象总结如下：当 时:a0当 时:a0)(2)()()()( 876max如 图 如 图如 图， ， abfnnff fxfmbann()()()i， 如 图如 图219103、轴变区间定: 二次函数随着参数的变化而变化，即其图象是运动的，但定义域区间是固定的，我们称这种情况是“动二次函数在定区间上的最值”。例 4. 已知 ，且 ，求函数 的最值。x21a
4、0fxa()23例 5. (1) 求 在区间-1,2上的最大值 。2f(x)ax1(2) 求函数 在 上的最大值。)(y,4. 轴变区间变: 二次函数是含参数的函数，而定义域区间也是变化的，我们称这种情况是“动二次函)(21)()( 21max 如 图如 图， ， nmabnff )(2)()(2)( 543min如 图 如 图如 图， ， abfnabfxf3数在动区间上的最值”。例 6. 已知 ，求 的最小值。（二）、逆向型: 是指已知二次函数在某区间上的最值，求函数或区间中参数的取值。例 7. 已知函数 在区间 上的最大值为 4，则实数 a 的值为 。2()1fxax3,2例 8.已知函
5、数 在区间 上的最小值是 3 最大值是 3 ，求 ， 的值。()f,mnmnm例 9. 已知二次函数 在区间 上的最大值为 3，求实数 a 的值。2f(x)a(1)x3,2三、巩固训练1函数 在 上的最小值和最大值分别是 （ ） y12x,1 ,3 ,3 （C） ,3 （D） , 3 )(A)(B4321412函数 的最值为 （ ）582xy最大值为 8，最小值为 0 不存在最小值，最大值为 8 )( )(B（C）最小值为 0, 不存在最大值 不存在最小值，也不存在最大值D3已知函数 在闭区间 上有最大值 3，最小值 2，则 的取值范围是 32xy,mm(A) (B) (C) (D) ),1,021,(24()0,yax2(3)uxy44若函数 恒成立，则 a 的取值范围（ ）2()()40fxaxxR对 一 切A. B. C. D. ,2,(2,(,2)5已知函数 在区间 内单调递减，则 a 取（ ）4)(2xxf 3A. B. C. 0, 得： 223)3xxa讨论得：当 6(,)2a时，解集为 (,);当 (,时，解集为 223,)3a;当 2a时，解集为 ,)a.2in,()3ff
