1、习 题 821.证明：线性方程零解的渐近稳定性等价于它的全局渐近稳定性证 只需证 的零的解渐近稳定 的零解全局渐近稳定。yxad)(事实上，只需证：若 ，当 且00 0),(,0yxx有时则对一切 有 ,10nRy),(yx).10(同为 ),(0)(xx0x所以 ,0)(supsup10100 yyyy 当 故对任何解 有,1x ),(x故得让)(,( 0000 yyxy x.)(,.2 稳 定 的 充 要 条 件的 零 解 为 稳 定 式 或 渐 近试 求 出 方 程与 七 都 是 标 量设 adt解 方程满足初值条件 的解为 01xdsatoext)(0)(1) 当 , 存在,时dsat
2、o)( satmlt)(:0故当 是有界的,设它的界为 M,即当,0tt)(0于是对 ,取 ,则当 时, ,.)(0Mdsat me0x0t有 所方议程的零解是稳定的.mex0反之,若方程的零解是稳定的,容易推出 .)(0dta(2)当 时, .同而当 时,dta)(0 :)(0stetml 0t是有界的,即存在 时,有 于是对 ,取dsate)(0 ,0MMdsat)(0 .则当 时, 就有 ,且 M0X,t )(x0:)(0dsatextl所以方程的零解的是稳定的.反之,若方程的零解是渐近稳定的,容易推出 .dta)(03.对于极坐标下的方程.Q=1, 012vS的 0当当试做出原点附近的
3、排图,并研究平均衡点 的稳定性质.解 是方程的一个奇点,它的特解族 K=1, 2,是以0v tQkv)(1为半径以(0,0)为圆心的同心圆族,逆时针运行.在 内部,无穷多个同心k1圆轨道中.相邻两个同心圆之间的环域出发的轨道亦绕(0,0)逆时针旋转 且 时, , 时, .)12(kv0dt kvk21)2(0dt, .时k)12(tv其中 ，由每个环域的轨线之向径 是严格单调函数，所以除n)(tv外，已无别拼闭轨。显然，平衡点 是稳定的，但不是渐).(kv 0v近稳定的。4.设二阶常系数线性方程式 其中 A 是一个 22 的常短阵，8dt记 (短阵 A 的迹反号) （短阵 A 的行列式）再设
4、，tvpeq 02qp试证：（1）当 ，零解是渐近稳定的；（2）当时且 0p时，零解是稳定的，但不是渐近稳定的；（3）在其0q且或且他情形下，零解都是不稳定的。证 设线性方程为dycxtbas则特征方程为 0)(02bcaddbca记 tvAp)( Aeq则变为 3p特征根为 于是（1）当 ，p4(21,2 时且 0qp故由定理 8.0， 1）知零解是渐近稳定的0)4(212q2）当 且 时， 或 且 时，0p012，显然特征根所对应的若当块都是一阶的，故由定理 8.1 2)知,1,零解是稳定的。3）在其他情形下，即 。不论 取何值，特征根中至少有一个实部为正，0pq或 ， ， ，故特征根至少
5、有一个为正实根，又由0pq21,，所以不会出现 ， ，故由定理 8.1 3)知,零解都是不20稳定的。5讨论二维方程 的零解的稳定性，其中函),(),( yxfyxfy数 在（0，0）点附近是连续可微的。),(yxf解 因为 在（0，0）点附近是连续可微的。从而方程的右端也是连),(yxf续可微的，因而原方程组的由初始条件所确定的解，在原点的某个领域内存在且惟一， 是方和组的特解，取 ，则其通过方程组的全,2),(yxv导数 2),(2yxyxfdtv)(yx因此，在原点的领域内如 ，则 定负零解为渐近稳定；如0),(yxfdtv，则 定正，零解为不稳定；如则 ，则 常负，零解为0),(yxf
6、dtv 0),(yxfdtv稳定。6设 函数 连续，且 .当 .试证方程 1R)(xg0)(xg当 o的零解是稳定的,但不是渐近稳定的.0)(xg证 令 ,则原方程可化为与之等价的方程但 ydt ydtx)(xgt取定正函数 (由条件 知,它是定正函数).dsgyxvx)21)(00)(g其中 ,当 时, ,则有0)(g(xytv故由定理 8.4 知.方程组的零解是稳定的,但不渐近稳定。7讨论下列方程零解的稳定性1) ,2.xyyx4.2) , 53. 53.3) , 2. )(yxx23. )(yxy4) , 32.52.x解 1）取定正函数散 ,.y则 常负，故方程组)(2)(24xxyd
7、tv0)(224yx的零解是稳定的。2）取定正函数 4),(yv则 0)()(4 85353 yxxyxdt定负，故方程组的零解是4) , 32.yx52. xy解 1）取定正函数散 ,.则 常负，故方程组)(2)(24yxxydtv 0)(224yx的零解是稳定的。2）取定正函数 4),(v则 0)()(4 85353 yxyxyxdt定负，故方程组的零解是渐近稳定的。3）取定正函数 则24),(yxv)(24 232xyxxdtv 1)(2(24yx当 时， 定负，故零解是渐近稳定的。21ydtv4）取 则 xv),( 02)2()( 642532 xyxxyyzx由此可知， 是正定函数，
8、而 是变号函数，所以方程组的零解是不稳定的。tv习 题 831.判断下列方程的奇点（0，0）的类型，并作出该奇点的附近的相图：1） ；.,4yxx2） ；2.2. yx3） ；1, yexyx4） ；325解 1）0（0，0）为系统的惟一奇点,特征方程为 0149特征根 ,实部 ，故奇点为中心点。i35,2102该系统的一次近似系统为， yxdtyxdt2特征方程 021特征根 为大于零的相异的实数，所以一次近系统的奇点3,10（0，0）是不稳定两向结点。又 )(0),(42vxy)(,2voyx当 ； 、 在原点的一个小领域内对 连续可微，故由定理 8.6v),(4yx),(y知,原系统的奇
9、点 0(0.0)也是不稳定两向结点。3）令系统右端等于零，得 求得惟一奇点 0（0.0）.0142yexs将 与 分别在 按泰勒分式展开得ysine0y ),(42)21(5342 yxyyxdt x其中 满足定理 8.6 的条件,上述系统的一次系统为),(4特征方程 yxdt250251特征方程 3,1因而一次近似系统的奇点 0(0.0)为鞍点,由定理 8.6 知,原系统的奇点 0(0.0)也是鞍点。4）原系统可写为 ),(42yxdtx ),(5yxdt其中 。 它的一次近似系统0),(yx3),(yxyxdt52特征方程为 021特征根 321由于 。 故矩阵的标准列为0b130所以一次
10、近似系统的奇点 0（0，0）是不稳定的单向结点，又 ，),(4yx当 ，故由定理 8.6 知,原系统的奇点 0(0,0)也是不稳定的)(0),(1yx单向结点。2.设函数 在单连通区域口内连续可微，且 ，),(,yxQp 0yQxp当 。Dyx),(试证系统 ， 在口内不存在闭轨线。.),(yxp),(.yx证：反让法、若不然，设原方程但有一条闭轨线 C，C 连其内部区域 G 全部被包含在 D 内，因为 D 是单连通的。于是由格林公式有dyQxpGTSdpayc 上式左边为 0)()( tPacc而右边被积函数在 G 中不等于零，故=重积分不等于零，故矛盾。同此原方程组在 D 内不存在闭轨线。
