1、- 1 -初中数学竞赛专题讲解最短路径问题【问题概述】最短路径问题是图论研究中的一个经典算法问题， 旨在寻找图（由结点和路径组成的）中两结点之间的最短路径算法具体的形式包括：确定起点的最短路径问题 - 即已知起始结点，求最短路径的问题确定终点的最短路径问题 - 与确定起点的问题相反，该问题是已知终结结点，求最短路径的问题确定起点终点的最短路径问题 - 即已知起点和终点，求两结点之间的最短路径全局最短路径问题 - 求图中所有的最短路径【问题原型】 “将军饮马” ， “造桥选址” ， “费马点” 【涉及知识】 “两点之间线段最短” ， “垂线段最短” ， “三角形三边关系” ， “轴对称” ， “
2、平移” 【出题背景】角、三角形、菱形、矩形、正方形、梯形、圆、坐标轴、抛物线等【解题思路】找对称点实现“折”转“直” ，近两年出现“三折线”转“直”等变式问题考查【十二个基本问题】【问题 1】 作法 图形 原理在直线 l 上求一点 P，使PA+PB 值最小连 AB，与 l 交点即为P两点之间线段最短PA+PB 最小值为 AB【 问题 2】 “将军饮马” 作法 图形 原理在直线 l 上求一点 P，使PA+PB 值最小作 B 关于 l 的对称点 B连 A B，与 l 交点即为P两点之间线段最短PA+PB 最小值为 A B【问题 3】 作法 图形 原理在直线 、 上分别求点1l2M、N，使PMN 的
3、周长最小分别作点 P 关于两直线的对称点 P和 P ，连PP ，与两直线交点即为 M，N两点之间线段最短PM+MN+PN 的最小值为线段 P P 的长【问题 4】 作法 图形 原理在直线 、 上分别求点1l2分别作点 Q 、P 关于直线 、 的对称点 Q1l2和 P 连 Q P ，与两直线交点即为 M，N两点之间线段最短四边形 PQMN 周长的最小值为线段 P P 的长lAB lPBAlBA lPBABl1l2P l1l2NMPP Pl1l2NMPQQPl1l2PQ- 2 -M、N，使四边形 PQMN的周长最小【 问题 5】 “造桥选址” 作法 图形 原理直线 ，在 、 ，mn上分别求点 M、
4、N，使MN ，且 AM+MN+BN的值最小将点 A 向下平移 MN 的长度单位得 A，连A B， 交 于点 N，过 Nn作 NM 于 Mm两点之间线段最短AM+MN+BN 的最小值为A B+MN【问题 6】 作法 图形 原理在直线 上求两点lM、N（M 在左） ，使，并使aAM+MN+NB 的值最小将点 A 向右平移 个长a度单位得 A，作 A关于 的对称点 A ， 连lA B，交直线 于点 N，l将 N 点向左平移 个单a位得 M两点之间线段最短AM+MN+BN 的最小值为A B+MN【问题 7】 作法 图形 原理在 上求点 A，在 上求1l2l点 B，使 PA+AB 值最小作点 P 关于
5、的对称点1lP，作 P B 于 B，2l交 于 A2l点到直线，垂线段最短PA+AB 的最小值为线段P B的长【问题 8】 作法 图形 原理A 为 上一定点， B 为1l上一定点，在 上求点22lM，在 上求点 N，使1lAM+MN+NB 的值最小作点 A 关于 的对称点2lA，作点 B 关于 的1l对称点 B，连 A B 交于 M，交 于 N2l1l两点之间线段最短AM+MN+NB 的最小值为线段 A B 的长【问题 9】 作法 图形 原理连 AB，作 AB 的中垂线 垂直平分上的点到线段两mnMNA BlaABMNmnABMNlAABAMNl1l2ABP Pl1l2Pl2l1ABNM l2
6、l1MNABABlBA lPBA- 3 -在直线 l 上求一点 P，使的值最小 BPA与直线 l 的交点即为 P 端点的距离相等0PBA【问题 10】 作法 图形 原理在直线 l 上求一点 P，使的值最大 BPA作直线 AB，与直线 l 的交点即为 P三角形任意两边之差小于第三边 ABPBA的最大值AB【问题 11】 作法 图形 原理在直线 l 上求一点 P，使的值最大 BPA作 B 关于 l 的对称点 B作直线 A B，与 l 交点即为 P三角形任意两边之差小于第三边 ABPBA最大值AB【 问题 12】 “费马点” 作法 图形 原理ABC 中每一内角都小于120，在ABC 内求一点 P，使
7、 PA+PB+PC 值最小所求点为“费马点” ，即满足APBBPCAPC120 以 AB、AC 为边向外作等边ABD、ACE，连 CD、BE 相交于P，点 P 即为所求两点之间线段最短PA+PB+PC 最小值CD 一、基础过关1.如图所示，是一个圆柱体，底面周长为 ,高为 ,一只蚂蚁要从外壁的 A 处到内壁的 B 处吃一食物,求106蚂蚁所走的最短程 .2.如右图是一个长方体木块，已知 ，假设一只蚂蚁在点 A 处，它要沿着木块侧342ABCD面爬到点 D 处，则蚂蚁爬行的最短路径是 。3.正方形 的边长为 ， 在 上，且 ， 是 上的一动点， 的最小值ABC8MNCDNM为 。4.在菱形 中，
8、 ， ，点 是 的中点， 是对角线 上的一个动点，则206EABP的最小值为 PE5.如图，在 中， ， ， 是 边的中点， 是 边上一动点，则BC09DEAB的最小值为 CDlBA lPABlAB lBPABABC PEDCBA- 4 -A BCD图 (2)E BDA CP图 (3)DBAO CP6. 是O 的直径，2AB是O 的半径， ，点 在 上， 为OCA 的三等分点，点 是半径 上的一个动点，则 的最小值为 PP7.如图，点 P 关于 OA、OB 的对称点分别为 C、D，连接 CD，交 OA 于 M，交 OB 于 N，若 CD18cm，则PMN 的周长为 8.如图， AOB30，点
9、M、 N 分别在边 OA、 OB 上，且 OM1， ON3，点 P、 Q 分别在边 OB、 OA 上，则MP PQ QN 的最小值是 9.如图，在锐角 ABC 中， AB4 ， BAC45， BAC 的平分线交 BC 于点 D， M、 N 分别是 AD 和 AB2上的动点，则 BM+MN 的最小值是 二、例题讲解例 1：已知：直线 12yx与 y轴交于 A，与 x轴交于 D，抛物线 21yxbc与直线交于 A、 E 两点，与 x轴交于 B、 C 两点，且 B 点坐标为 （1，0） （1）求抛物线的解析式；（2）动点 P 在 轴上移动，当 PAE 是直角三角形且以 P 为直角顶点时，求点 P 的
10、坐标（3）在抛物线的对称轴上找一点 M，使 |C的值最大，求出点 M 的坐标DA BCMNBA 第 1 题 第 2 题 第 3 题 第 4 题 第 5 题第 6 题 第 7 题 第 9 题第 8 题yxODEAB C- 5 -例 2：如图，抛物线 的顶点 P 的坐标为 ，交 x 轴于 A、 B 两点，交 y 轴于点2yaxbc431，(03)C，（1）求抛物线的表达式（2）把 ABC 绕 AB 的中点 E 旋转 180，得到四边形 ADBC判断四边形 ADBC 的形状，并说明理由（3）试问在线段 AC 上是否存在一点 F，使得 FBD 的周长最小，若存在，请写出点 F 的坐标；若不存在，请说明
11、理由例 3：如图，在平面直角坐标系中，矩形 OACB 的顶点 O 在坐标原点，顶点 A、B 分别在 x 轴、y 轴的正半轴上，OA=3，OB=4，D 为边 OB 的中点（1）点 D 的坐标为 ；（2）若 E 为边 OA 上的一个动点，当CDE 的周长最小时，求点 E 的坐标DO xyBEPAC- 6 -例 4：如图，在直角坐标系中有四个点, A(-8,3),B(-4,5)C(0，n),D(m,0),当四边形 ABCD 周长最短时,求 。mn例 5：有一圆形油罐底面圆的周长为 24m，高为 6m，一只老鼠从距底面 1m 的 A 处爬行到对角 B 处吃食物，它爬行的最短路线长为多少？ABABC练习
12、 1：桌上有一个圆柱形玻璃杯（无盖） ，高为 12 厘米，底面周长 18 厘米，在杯口内壁离杯口 3 厘米的 A 处有一滴蜜糖，一只小虫从桌上爬至杯子外壁，当它正好爬至蜜糖相对方向离桌面 3 厘米的 B 处时，突然发现了蜜糖。问小虫至少爬多少厘米才能到达蜜糖所在的位置。BABAA- 7 -练习 2：如图，在一个长为 2 米，宽为 1 米的矩形草地上，如图堆放着一根长方体的木块，它的棱长和场地宽 AD 平行且AD，木块的正视图是边长为 0.2 米的正方形，一只蚂蚁从点 A 处，到达 C 处需要走的最短路程是 米 （精确到 0.01 米）练习 3：如图，一只蚂蚁从实心长方体的顶点 A 出发，沿长方
13、体的表面爬到对角顶点 C1处（三条棱长如图所示） ，问怎样走路线最短？最短路线长为多少？A BA1 B1D CD1 C1214三、课后提升1如图所示，正方形 ABCD 的面积为 12， ABE 是等边三角形，点 E 在正方形 ABCD 内，在对角线 AC 上有一点 P，使 PD+PE 的和最小，则这个最小值为（ ） A B C3 D23662如图，在边长为 2 的菱形 ABCD 中， ABC60，若将 ACD 绕点 A 旋转，当 AC、 AD分别与BC、 CD 交于点 E、 F，则 CEF 的周长的最小值为（ ）A2 B 3C D433四边形 ABCD 中， B D90， C70，在 BC、
14、CD 上分别找一点 M、 N，使 AMN 的周长最小时， AMN+ ANM 的度数为（ ）A120 B130 C110 D140A DEPB CCA DBMN- 8 -4如图，三角形 ABC 中， OAB AOB15，点 B 在 x 轴的正半轴，坐标为 B( ，0)36OC 平分 AOB，点 M 在 OC 的延长线上，点 N 为边 OA 上的点，则 MA MN 的最小值是_5已知 A（2，4） 、 B（4，2） C 在 轴上， D 在 轴上，则四边形 ABCD 的周长最小值为 yx，此时 C、 D 两点的坐标分别为 6已知 A（1，1） 、 B（4，2） （1） P 为 轴上一动点，求 PA+
15、PB 的最小值和此时 P 点的坐标；x（2） P 为 轴上一动点，求 的值最大时 P 点的坐标；xPBA（3） CD 为 轴上一条动线段， D 在 C 点右边且 CD1，求当 AC+CD+DB 的最小值和此时 C 点的坐标；x y xBOACDy xBOAyxBOAy xBAO- 9 -7点 C 为 AOB 内一点（1）在 OA 求作点 D， OB 上求作点 E，使 CDE 的周长最小，请画出图形；（2）在（1）的条件下，若 AOB30， OC10，求 CDE 周长的最小值和此时 DCE 的度数8 （1）如图， ABD 和 ACE 均为等边三角形， BE、 CE 交于 F，连 AF，求证： AF+BF+CF CD；（2）在 ABC 中， ABC30， AB6， BC8，A，C 均小于 120，求作一点 P，使 PA+PB+PC的值最小，试求出最小值并说明理由 9荆州护城河在 CC处直角转弯，河宽相等，从 A 处到达 B 处，需经过两座桥 DD、 EE，护城河及两桥都是东西、南北方向，桥与河岸垂直如何确定两座桥的位置，可使 A 到 B 点路径最短？ACBFEDBACCO BA- 10 -
