1、复合函数的定义域和解析式1、复合函数的定义设 是 到 的函数， 是 到 上的函数，且，当 取遍 中的元素时， 取遍 ，那么 就是到 上的函数。此函数称为由外函数 和内函数 复合而成的复合函数。 说明：复合函数的定义域，就是复合函数 中 的取值范围。 称为直接变量， 称为中间变量， 的取值范围即为 的值域。 与 表示不同的复合函数。例 1设函数 ，求 若 的定义域为 ，则复合函数 中， 注意： 的值域 例 2（课时练 2 例 1）若函数 的定义域是0，1，求 的定义域；若 的定义域是-1，1，求函数 的定义域；已知 定义域是 ，求 定义域点评：解决复合函数问题，一般先将复合函数分解，即它是哪个内
2、函数和哪个外函数复合而成的 解答： 函数 是由 A 到 B 上的函数 与 B 到 C 上的函数 复合而成的函数函数 的定义域是0，1，B=0,1，即函数 的值域为0，1 ， ，即 ，函数 的定义域0， 函数 是由 A 到 B 上的函数 与 B 到 C 上的函数 复合而成的函数的定义域是-1，1，A=-1,1，即-1 ， ,即 的值域是-3，1， 的定义域是-3，1点评：若已知 的定义域为 ，则 的定义域就是不等式 的的集合；若已知 的定义域为 ，则 的定义域就是函数 的值域。 函数 是由 A 到 B 上的函数 与 B 到 C 上的函数 复合而成的函数的定义域是-4，5),A=-4,5)即 ，
3、即 的值域 B=-1，8）又 是由 到 上的函数 与 B 到 C 上的函数 复合而成的函数，而 ,从而 的值域 的定义域是1， ）例 3已知函数 定义域是（a,b），求 的定义域解：由题， ， ，当 ，即 时， 不表示函数；当 ，即 时， 表示函数，其定义域为 说明： 已知 的定义域为(a,b)，求 的定义域的方法：已知 的定义域为 ，求 的定义域。实际上是已知中间变量的的取值范围，即 ， 。通过解不等式 求得 的范围，即为 的定义域。 已知 的定义域为(a,b)，求 的定义域的方法：若已知 的定义域为 ，求 的定义域。实际上是已知直接变量的取值范围，即 。先利用 求得 的范围，则 的范围即是
4、 的定义域。2求有关复合函数的解析式例 4已知 求 ；已知 ，求 例 5已知 ，求 ；已知 ，求 点评：已知 求复合函数 的解析式，直接把 中的 换成 即可。已知 求 的常用方法有：配凑法和换元法。配凑法就是在 中把关于变量 的表达式先凑成 整体的表达式，再直接把 换成 而得 。换元法就是先设 ，从中解出 （即用 表示 ），再把 （关于 的式子）直接代入 中消去 得到 ，最后把 中的 直接换成 即得。例 6已知 是一次函数，满足 ，求 ；已知 ，求 点评： 当已知函数的类型求函数的解析式时，一般用待定系数法。 若已知抽象的函数表达式，则常用解方程组、消参的思想方法求函数的解析式。已知满足某个等
5、式，这个等式除 是未知量外，还出现其他未知量，如 、等，必须根据已知等式再构造出其他等式组成方程组，通过解方程组求出 。三、课堂练习：已知 ，求 和 解：令 ，设 ，令 ，设 ，已知 ，求 分析： 是用 替换 中的 而得到的，问题是用 中的替换呢，还是用 替换呢？所以要按 、 分类；注： 是用 替换 中的 而得到的，问题是用 替换中的 呢，还是替换 呢？所以要看 还是 ，故按 、 分类。Key: ；注： 。四、课堂小结：复合函数的定义；设函数 ， ，则我们称 是由外函数和内函数 复合而成的复合函数。其中 被称为直接变量， 被称为中间变量。复合函数中直接变量 的取值范围叫做复合函数的定义域，中间
6、变量 的取值范围，即是 的值域，是外函数 的定义域。有关复合函数的定义域求法及解析式求法：定义域求法：求复合函数的定义域只要解中间变量的不等式（由 解 ）；求外函数的定义域只要求中间变量的值域范围（由 求 的值域）。已知一个复合函数求另一个复合函数的定义域，必须先求出外函数的定义域。解析式求法：待定系数法、配凑法、换元法、解方程组消元法五、附录：求函数的定义域的主要依据有： 当 为整式或奇次根式时， R； 当 为偶次根式时，被开方数不小于 0（即0）； 当 为分式时，分母不为 0；当分母是偶次根式时，被开方数大于 0； 当 为指数式时，对零指数幂或负整数指数幂，底不为 0（如 ，中 ）。 当
7、是由一些基本函数通过四则运算结合而成的，它的定义域应是使各部分都有意义的自变量 的值组成的集合，即求各部分定义域集合的交集。 分段函数 的定义域是各段上自变量 的取值集合的并集。 由实际问题建立的函数，除了要考虑使解析式有意义外，还要考虑实际意义对自变量的要求 对于含参数字母的函数，求定义域时一般要对字母的取值情况进行分类讨论，并要注意函数的定义域为非空集合。 对数函数的真数必须大于零，底数大于零且不等于 1。例说函 数 值 域 求 法 在函数的三要素中，定义域和值域起决定作用，而值域是由定义域和对应法则共同确定。研究函数的值域，不但要重视对应法则的作用，而且还要特别重视定义域对值域的制约作用
8、。确定函数的值域是研究函数不可缺少的重要一环。对于如何求函数的值域，是学生感到头痛的问题，它所涉及到的知识面广，方法灵活多样，在高考中经常出现，占有一定的地位，若方法运用适当，就能起到简化运算过程，避繁就简，事半功倍的作用。本文就函数值域求法归纳如下，供参考。1、直接观察法对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察得到。例 1 求函数 y= 的值域解： x0， 0显然函数的值域是：（ -，0）（0，+）。例 2 求函数 y=3- 的值域。解： 0 - 0 3- 3故函数的值域是：-，3 2、配方法配方法是求二次函数值域最基本的方法之一。例 3、求函数 y= -2x+5，x -1，2的值域。解：将
9、函数配方得：y=（x-1） +4， x -1，2，由二次函数的性质可知：当 x=1 时，y =4当 x=-1，时 =8故函数的值域是：4，8 3、判别式法例 4 求函数 y= 的值域。解：原函数化为关 x 的一元二次方程（y-1) +（y-1）x=0（1）当 y1 时，x R,=(-1) -4(y-1)(y-1)0解得： y（2）当 y=1，时，x=0,而 1 , 故函数的值域为 ， 例 5 求函数 y=x+ 的值域。 解：两边平方整理得：2 -2（y+1）x+y =0（1）x R， =4（y+1） -8y0解得：1- y1+但此时的函数的定义域由 x（2-x）0，得：0x2。由0，仅保证关于
10、 x 的方程：2 -2（y+1）x+y =0 在实数集 R 有实根，而不能确保其实根在区间0，2上，即不能确保方程（1）有实根，由0 求出的范围可能比 y 的实际范围大，故不能确定此函数的值域为 ， 。可以采取如下方法进一步确定原函数的值域。0x2， y=x+ 0，=0，y=1+ 代入方程（1），解得： = 0，2，即当 =时，原函数的值域为：0，1+ 。注：由判别式法来判断函数的值域时，若原函数的定义域不是实数集时，应综合函数的定义域，将扩大的部分剔除。4、反函数法直接求函数的值域困难时，可以通过求其原函数的定义域来确定原函数的值域。例 6 求函数 y= 值域。解：由原函数式可得：x=则其反
11、函数为：y=其定义域为：x故所求函数的值域为：（-， ）5、函数有界性法直接求函数的值域困难时，可以利用已学过函数的有界性，反客为主来确定函数的值域。例 7 求函数 y= 的值域。解：由原函数式可得： =0， 0 解得：-1y1。故所求函数的值域为(-1,1).例 8 求函数 y= 的值域。解：由原函数式可得：ysinx-cosx=3y 可化为： sinx（x+）=3y即 sinx（x+）=xR，sinx（x+）-1，1。即-1 1解得：- y 故函数的值域为- ， 。6、函数单调性法例 9 求函数 y= （2x10）的值域解：令 y = ， = ，则 y ， 在2，10上都是增函数。所以 y
12、= y + 在2，10上是增函数。当 x=2时，y = + = ，当 x=10时， = + =33。故所求函数的值域为： ，33。例 10 求函数 y= - 的值域。解：原函数可化为： y=令 y = ， = ，显然 y ， 在1，+）上为无上界的增函数，所以 y= y + 在1 ，+）上也为无上界的增函数。 所以当 x=1 时，y=y + 有最小值 ，原函数有最大值 = 。显然 y0，故原函数的值域为(0, 。7、换元法通过简单的换元把一个函数变为简单函数，其题型特征是函数解析式含有根式或三角函数公式模型。换元法是数学方法中几种最主要方法之一，在求函数的值域中同样发挥作用。例 11 求函数
13、y=x+ 的值域。解：令 x-1=t，（t0）则 x= +1y= +t+1= + ，又 t0，由二次函数的性质可知当 t=0 时，y =1，当 t0 时，y+。故函数的值域为1，+）。例 12 求函数 y=x+2+ 的值域解：因 1- 0，即 1故可令 x+1=cos，0，。y=cos+1+ =sin+cos+1 = sin（+/4）+10，0+/45/4 - sin（+/4）1 0 sin（+/4）+11+ 。 故所求函数的值域为0，1+ 。例 13 求函数 y= 的值域解：原函数可变形为：y=- 可令 x=tg，则有 =sin2， =cos2y=- sin2 cos2=- sin4 当 =
14、k/2-/8 时， = 。当 =k/2+/8 时，y =-而此时 tg 有意义。故所求函数的值域为- ， 。例 14 求函数 y=（sinx+1）（cosx+1），x-/12/2的值域。解：y=（sinx+1）（cosx+1）=sinxcosx+sinx+cosx+1令 sinx+cosx=t，则 sinxcosx= （ -1）y= （ -1）+t+1=由 t=sinx+cosx= sin（x+/4）且 x-/12，/2可得： t 当 t= 时， = + ，当 t= 时，y= + 故所求函数的值域为 + ， + 。例 15 求函数 y=x+4+ 的值域解：由 5-x0，可得x故可令 x= co
15、s，0，y= cos+4+ sin= sin（+/4）+40， /4+/45/4当 =/4 时， =4+ ，当 =时，y =4- 。故所求函数的值域为：4- ，4+ 。8 数形结合法其题型是函数解析式具有明显的某种几何意义，如两点的距离公式直线斜率等等，这类题目若运用数形结合法，往往会更加简单，一目了然，赏心悦目。例 16 求函数 y= + 的值域。解：原函数可化简得：y=x-2+x+8 上式可以看成数轴上点 P（x）到定点 A（2），B（-8）间的距离之和。由上图可知：当点 P 在线段 AB 上时，y=x-2+x+8=AB=10当点 P 在线段 AB 的延长线或反向延长线上时，y=x-2+x
16、+8AB=10故所求函数的值域为：10，+）例 17 求函数 y= + 的值域解：原函数可变形为：y= +上式可看成 x 轴上的点 P（x，0）到两定点 A（3，2），B（-2，-1）的距离之和，由图可知当点 P 为线段与 x 轴的交点时， y =AB= ，故所求函数的值域为 ，+）。例 18 求函数 y= - 的值域解：将函数变形为：y= -上式可看成定点 A（3，2）到点 P（x，0）的距离与定点 B（-2，1）到点 P（x，0）的距离之差。即：y=AP-BP由图可知：（1）当点 P 在 x 轴上且不是直线 AB 与 x 轴的交点时，如点 P，则构成ABP，根据三角形两边之差小于第三边，有
17、 AP-BPAB= = 即：- y （2）当点 P 恰好为直线 AB 与 x 轴的交点时， 有 AP-BP=AB= 。综上所述，可知函数的值域为：（- ，- 。 注：由例17，18 可知，求两距离之和时，要将函数式变形，使 A，B 两点在 x轴的两侧，而求两距离之差时，则要使两点 A，B 在 x 轴的同侧。如：例 17 的 A，B 两点坐标分别为：（3，2），（-2，-1），在 x 轴的同侧；例 18 的 A，B 两点坐标分别为：（3，2），（2，-1），在 x 轴的同侧。9 、不等式法利用基本不等式 a+b2 ，a+b+c3 （a，b，c ），求函数的最值，其题型特征解析式是和式时要求积为定
18、值，解析式是积时要求和为定值，不过有时须要用到拆项、添项和两边平方等技巧。10、多种方法综合运用例 21 求函数 y= 的值域解：令 t= （t0），则 x+3= +1（1） 当 t0 时，y= = ， 当且仅当 t=1，即 x=-1 时取等号所以 0y 。（2） 当 t=0 时，y=0。综上所述，函数的值域为：0， 。注：先换元，后用不等式法。例 22 求函数 y= 的值域。解：y= + = +令 x=tg ，则 = ， = sin ，y= + sin =- + sin +1=- +当 sin = 时， = 。当 sin =-1 时，y =-2。此时 tg 都存在，故函数的值域为：， 。注：
19、此题先用换元法。后用配方法，然后再运用 sin 的有界性。例 23（ 用 导 数 求 函 数 的 极 值 及 最 值 ） 、求 函 数 在 区 间 上 的 最 大 值 与 最 小 值 。解 ： 先 求 导 数 ， 得令 0 即 解 得导 数 的 正 负 以 及 ， 如 下 表X 2（ 2， 1） 1 （ 1， 0） 0（ 0， 1）1（ 1， 2）2y/ 0 0 0 y 13 4 5 4 13从 上 表 知 ， 当 时 ， 函 数 有 最 大 值 13， 当 时 ， 函 数 有 最 小 值 4总之，在具体求某个函数的值域时，首先要仔细、认真观察其题型特征，然后再选择恰当的方法，一般优先考虑直接法，函数单调性法和基本不等式法，然后才考虑用其他各种特殊方法。
