1、第 1 页（共 4 页）不等式(3)-含参不等式的解法当在一个不等式中含有了字母，则称这一不等式为含参数的不等式，那么此时的参数可以从以下两个方面来影响不等式的求解，首先是对不等式的类型（即是那一种不等式）的影响，其次是字母对这个不等式的解的大小的影响。我们必须通过分类讨论才可解决上述两个问题，同时还要注意是参数的选取确定了不等式的解，而不是不等式的解来区分参数的讨论。解参数不等式一直是高考所考查的重点内容。（一）几类常见的含参数不等式一、含参数的一元二次不等式的解法：例 1：解关于的 x 不等式 2(1)40()mxmR分析：当 m+1=0 时,它是一个关于 x 的一元一次不等式；当 m+1
2、 1 时，还需对 m+10 及 m+10，图象开口向下，与 x 轴有两个不同交点，不等式的解集取两边。当10, 图象开口向上，与 x 轴有两个不同交点，不等式的解集取中间。当 m=3 时，=4（3m ）=0，图象开口向上，与 x 轴只有一个公共点，不等式的解为方程 的根。当 m3 时，=4（3m ）3 时, 原不等式的解集为 。小结：解含参数的一元二次不等式可先分解因式再讨论求解，若不易分解，也可对判别式分类讨论。利用函数图象必须明确：图象开口方向，判别式确定解的存在范围，两根大小。二次项的取值（如取 0、取正值、取负值）对不等式实际解的影响。牛刀小试：解关于 x 的不等式 )0(,4)1(2
3、axax思路点拨：先将左边分解因式，找出两根，然后就两根的大小关系写出解集。具体解答请同学们自己完成。二、含参数的分式不等式的解法：例 2：解关于 x 的不等式 021xa分析：解此分式不等式先要等价转化为整式不等式，再对 ax1 中的 a 进行分类讨论求解，还需用到序轴标根法。解：原不等式等价于 )()1(a当 =0 时，原不等式等价于a02x解得 ，此时原不等式得解集为x| ；21x 2x第 2 页（共 4 页）当 0 时, 原不等式等价于 ,a 0)1(2)(xax则：当 原不等式的解集为 ；,21时|且当 01 和 1 分为两类，再在a1 的情况下，又要按两根 与 2 的大小关系分为
4、三种情况。有很多同学找不a1a 10,a和到分类的依据，缺乏分类讨论的意识，通过练习可能会有所启示。具体解答请同学们自己完成。三、含参数的绝对值不等式的解法：例 3：解关于 x 的不等式 )0,(,| bax分析：解绝对值不等式的思路是去掉绝对值符号，本题要用到同解变形，首先将原不等式化为不含绝对值符号的不等式，然后就 、)()()|(| gffgxf或 a两个参数间的大小关系分类讨论求解。b解： 2)(2)(22|2| xbaxbaxabxabxa 或或当 时，0)()(或 或此时原不等式的解集为 ；baxx|或当 时，由 ，0ba 无 解而得 2)(,2)( xba此时原不等式的解集为 ；
5、x|第 3 页（共 4 页）当 时，ba02)(2)(xbax或 baxxba2或此时此时原不等式的解集为 ；|综上所述，当 时，原不等式的解集为 ；当 时，原不等式的0ba baxx2|或 0解集为 。x2|小结：去掉绝对值符号的方法有定义法： 平方法：)0(|a |)(|xgf利用同解变形：)(22xgf ;0,|;,| axxax 或；);(| gf )()()(| ffgf 或（二）解含参数不等式的常用方法一、通过讨论解带参数不等式例 1： 2(1)0xa例 2:关于 x 的不等式 对于 恒成立，求 a 的取值范围。01)(2axRx二、已知解集的参数不等式例 3：已知集合 254Ax
6、|， 2| 0Ba，若 BA，求实数 a的取值范围三、使用变量分离方法解带参数不等式例 4：若不等式 对于一切 成立，则 的取值范围. 210a 1(0,)x例 5：设 ，其中 a 是实数，n 是任意给定的自然数且 n2，若nxfxlg当 时有意义, 求 a 的取值范围。f1例 6： 已知定义在 R 上函数 f(x)为奇函数，且在 上是增函数，对于任意 求实,0Rx数 m 范围，使 恒成立。cos2432cosmff思考：对于（0，3）上的一切实数 x,不等式 恒成立，求实数 m 的取值范12x围。如何求解？分离参数法适用题型：（1） 参数与变量能分离；（2） 函数的最值易求出。四、主参换位法
7、解带参数不等式某些含参不等式恒成立问题，在分离参数会遇到讨论的麻烦或者即使能容易分离出参数与变量，但函数的最值却难以求出时，可考虑变换思维角度。即把变元与参数换个位置，再结合其它知识，往往会取得出奇制胜的效果。一般情况下,如果给出参数的范围,则可以把参数看作主变量,进行研究。例 7：若对于任意 a ，函数 的值恒大于 0，求 x 的1,axaxf 242取值范围。分析：此题若把它看成 x 的二次函数，由于 a, x 都要变，则函数的最小值很难求出，思路受阻。若视 a 为主元，则给解题带来转机。例 8：已知 ,关于 的不等式: 恒成立，求 的范围。9052x第 4 页（共 4 页）例 9： 若对一切 ，不等式 恒成立，求实数 x 的取值范围。2ppxxpx222log1logl例 10： 对于（0，3）上的一切实数 x,不等式 恒成立，求实数 m 的取值范围。m分析： 一般的思路是求 x 的表达式，利用条件求 m 的取值范围。但求 x 的表达式时，两边必须除以有关 m 的式子，涉及对 m 讨论，显得麻烦。五、数形结合法例 11：若不等式 在 内恒成立，求实数 a 的取值范围。0log32xa31,六、构建函数、猜想、归纳、证明等其他方法
