1、1等比数列知识梳理：1、等比数列的定义： ， 称为公比*12,naqnN0且 q2、通项公式： ，首项： ；公比：11,0nnnaABaqq1aq推广：nmnmnnmn aaaqq3、等比中项：（1）如果 成等比数列，那么 叫做 与 的等差中项，即： 或,aAbAab2Aab注意：同号的两个数才有等比中项，并且它们的等比中项有两个（两个等比中项互为相反数）但是：例题：若实数数列 4,132a是等比数列，则 2a .名师点拨 本题容易错认为，由等比数列的等比中项公式 412，得 .2a解： 4,132a是等比数列， 412a，得 .2a又 21,是等比数列， R121,， 2.（2）数列 是等比
2、数列na1nna4、等比数列的前 项和 公式： nS2（1）当 时， （2）当 时， q1nSa1q11nnnaqaS（ 为常数）1 nnaABA,B5、等比数列的判定方法：（1）用定义：对任意的 ，都有 为n11(0)nn nnaqqa或 为 常 数 ，等比数列（2）等比中项： 为等比数列211(0)nnnnaaa（3）通项公式： 为等比数列n nAB6、等比数列的证明方法：依据定义：若 或 为等比数*12,naqnN0且 1nnaqa列7、等比数列的性质：（1）当 时 等比数列通项公式 是关q 1 0nnnaqAB于 的带有系数的类指数函数，底数为公比 ；n前 项和 ，111 nnnnnn
3、aqaSqABA系数和常数项是互为相反数的类指数函数，底数为公比 。（2）对任何 ，在等比数列 中，有 ，特别的，当*,mnNnanmaq3时，便得到等比数列的通项公式。因此，此公式比等比数列的通项公式更1m具有一般性。（3）若 ，则 。特别的，当 时，*(,)nstmtNnmsta 2mnk得 注：2nmka 12132n（4）数列 ， 为等比数列，则数列 ， ， ， ，nbnkankanb（ 为非零常数）均为等比数列。nabk（5）数列 为等比数列，每隔 项取出一项n *()kN仍为等比数列23(,)mkmkaa（6）如果 是各项均为正数的等比数列，则数列 是等差数列n logan（7）若
4、 为等比数列，则数列 ， ， ，成等比数列nanS2n32,nS（8）若 为等比数列，则数列 ， ，n 12na12nnaa成等比数列2123naa（9）当 时， 1q10naa， 则 为 递 增 数 列， 则 为 递 减 数 列当 时，0 ，且 ，则该数列的公比 等于 .na021nnaq11.等比数列 中，已知 ， ，则 =n123434656a12.数列 an中， a1， a2 a1， a3 a2， an an1 是首项为 1、公比为 的等3比数列，则 an 等于 。三、解答题： 1113.在等比数列 an中，(1) 已知 是递增的等比数列， 则na ,4,234a的公比 ，及通项公式
5、（2）已知naqn nan求,1,8,3674314已知数列满足 a1=1， an1 =2an1( nN*)(1) 求证数列 an1是等比数列； (2) 求 an的通项公式15.一个等比数列 中， ，求这个数列的通项公式。na70133241aa，12【例题】1.求等比数列的公比、 、求值、判定等比数列等通常运用等比数列的概念、公式及其性质.例 1.已知等比数列 的前 n项和 1npS( 是非零常数), 则数列 是( )a naA.等差数列 B.等比数列 C.等差数列或等比数列 D.非等差数列2.求实数等比数列的中项要注意符号，求和要注意分类讨论.例 2.若实数数列 4,132a是等比数列，则
6、 2a .题型 1：已知等比数列的某些项，求某项例 3.已知 为等比数列， 162,2a，则 10a na题型 2：已知前 项和 nS及其某项，求项数.例 4.已知 n为等比数列 前 项和， 93nS， 48na，公比 2q，则项na数 .已知四个数，前三个数成等比数列，和为 ，后三个数成等差数列，和为19，求此四个数.1213题型 3：求等比数列前 n项和例 5.等比数列 ,8421中从第 5 项到第 10 项的和.例 6.已知 nS为等比数列 前 n项和， 1321nna ，求 nS a例 7.已知 nS为等比数列 前 n项和， nna3)12(，求 nS. a14变式 1：已知 为等比数
7、列， 6,387621 aa，求na32a的值.例 8.已知数列 和 nb满足： 1a， 4321nan，a)213()1bnn，其中 为实数， N. 对任意实数 ，证明数列 不是等比数列；n 试判断数列 nb是否为等比数列，并证明你的结论.变式 2：已知数列 na的首项 123， 1nna， 1,23证明：数列1na是等比数列；15例 9.已知 nS为等比数列 前 n项和， 54nS， 602n，则 nS3 .a变式 3：已知等比数列 中， )(,04624an ，则 53a .n考点四 等比数列与其它知识的综合例 10.设 nS为数列 的前 n项和，已知 21nnbaSa证明：当 2b时，
8、 12n是等比数列； 求 a的通项公式。【基础巩固】1.设 是公比为正数的等比数列，若 16,51a，则数列 前 7 项的和为na na（ ） .A63.B64 .C27 .D282.设等比数列 na的公比 2q， 前 n 项和为 nS，则 42a（ ）16.A2 .B4 .C215 .D2173.已知等比数列 na满足 1236a， ，则 7a（ ）.64.8 .18 .434.已知等比数列 na的前三项依次为 a， ， a，则 n（ ）A 342 B 243nC1342D1n5.已知 na是等比数列， 4125a， ，则 1321naa =（ ）.A)41(6.B)(16n .C)4(n
9、.D)2(3n6.(广雅中学)在等比数列中，已知 910a， 1920ab，则910a. 7.已知数列 n的前 项和为 nS， ()3nN；求 1a， 2的值； 证明数列 na是等比数列，并求 nS17【练习题】一.选择题：1数列a n为等比数列，a 1=2,a5=8,则 a3=（ ）A、4 B、-4 C、4 D、 82.下列各组数能组成等比数列的是 （ ）A. B. C. D. 1,369lg3,9l276,8103,93.等比数列 中， ， ，那么它的公比 （ ）na384aqA. B. C. D. 4252124.已知 是等比数列， ，又知 a2 a4+2a3 a5+a4 a6=25，
10、那么 nana0 35a（ ）A. B. C. D. 511205.等比数列 中， ， ，若 am=a1a2a3a4a5，则 为 （ na1q公 比 为 且 m）A. B. C. D. 9101126. 某种细菌在培养过程中，每 20 分钟分裂一次（ 1 个分裂为 2 个） ，经过 3 小18时，这种细菌由一个可以分裂成（ ）A、511 个 B、 512 个 C、1023 个 D、1024 个7.若 是等差数列，公差 ， 成等比数列，则公比为 （ na0d236,a）A.1 B. 2 C. 3 D. 4 8设a n是由正数组成的等比数列，且 a5a6=81，log 3a1+ log3a2+ log3a10 的值是 （ ）A、5 B、 10 C、20 D、2 或 4二.填空题：9.等比数列中，首项为 ，末项为 ，公比为 ，则项数 等于 .98132n10.在等比数列中， ，且 ，则该数列的公比 等于 .na021nnaq11. 若公差不为零的等差数列的第二、三、六项成等比数列，则公比 q= 。12.若 是等比数列，下列数列中是等比数列的所有代号为 .na 2n2na1nalgna三.解答题13.等比数列 中，已知 ， ，求 .na1234a346a56a
