1、高等数学(下)试卷 (A) 第 1 页 共 6 页20112012 学年第二学期期末考试高等数学（下） 试卷(A)答卷说明：1、本试卷共 6 页，四个大题，满分 100 分，120 分钟完卷。2、闭卷考试。 3、适用班级：11 级通信系、电子系本科各班.题号 一 二 三 四 总分分数评阅人:_ 总分人：_一、单项选择题（共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分） 。【A】设有直线 : 及平面 : ,则直线L12xyz1xyL(A)平行于 (B)在 内 (C)垂直于 (D)与 斜交【D】2.锥面 与柱面 所围立体在 面的投影为2z2zo(A) (B) 2(1)xy2(1)xy(C) (D)2
2、0,1z 20,1z【C】3.设函数 由方程 确定,则 的值为),(yxzzexy)1,0(yz(A) (B) (C) (D)1e 1【A】4.函数 在点 处可微分,则函数在该点),(yxfz()0(A)必连续 （B)偏导数必存在且连续(C)必有极值 (D)偏导数不一定存在【C】5.将二次积分 转化成先对 ,后对 的二次积分为10(,)xdfyxy(A) (B)10),(yfd df01)(C) (D) ,xy得分_系_专业_班级 姓名_学号_（密）（封）（线）密 封 线 内 答 题 无 效高等数学(下)试卷 (A) 第 2 页 共 6 页【D】6.设 为圆周 (逆时针方向),则L21xy()
3、(32)LxydxdyA(A) (B) (C) (D)34【D】7.下列级数中,收敛的级数是(A) (B) (C) (D)12n1(3)2n21n1()n【B】8.幂级数 的收敛域为1()nnx(A) (B) (C) (D)(2,4)2,4)2,4(2,4【C】9.微分方程 满足初始条件 的特解为0y 0|xy(A) (B) (C) (D)1xyexexexye【B】10.具有特解 的二阶常系数齐次线性微分方程是y2,(A) (B)02y 02y(C) (D) 二、填空题(共 5 小题,每小题 3 分,共 15 分）1.设两点 及 ,则 _;向量 与 轴的夹角为 ,1,2)A)1(B|A|6B
4、ABz则方向余弦 _.coscos32.设 ,则 _ .xzydz1lnxxydy3.函数 在点 处方向导数的最大值为_ _.2()f(,)P54.设 是连接 及 两点的直线段,则 _ _.L1,0()()Lxyds25.函数 展开成 的幂级数为_3x10,3n得分高等数学(下)试卷 (A) 第 3 页 共 6 页三、计算题(共 7 小题,每小题 6 分,共 42 分)1.已知曲面 上一点 ,(1)求曲面在 点处的一个法向量;(2)2zxy(2,13MM求曲面在 点处的切平面及法线方程.M2.求函数 的极值.2(,)()fxyxy3.平面薄片的面密度为 ,所占的闭区域 为圆周 及坐2(,)1D
5、21xy标轴所围成的第一象限部分,求该平面薄片的质量.4.利用高斯公式计算曲面积分 ,其中232(3)(2)(3)zxdyxzdxzdyA为上半球面 及平面 所围立体的整个边界曲面的外侧.2zax05.设曲线通过原点,且曲线上任一点 处的切线斜率等于 ,求该曲线的方),(yxMxy程.6.求微分方程 的通解.xey237.判断级数 是否收敛？如果收敛,是绝对收敛还是条件收敛？1()4n四、综合应用题(共 2 小题,共 13 分,其中第 1 题 6 分,第 2 题 7 分).1.(6 分)要用钢板造一个体积为 ( ) 长方体无盖容器,应如何选择容器的尺寸,使43m得用料最省?2.(7 分)设在
6、平面有一变力 构成力场,(1)证明xoy jxyixyF)82()(),质点在此力场中移动时,场力所作的功与路径无关;(2)计算质点从点 移动到点)0,1(A得分得分高等数学(下)试卷 (A) 第 4 页 共 6 页时场力所作的功.)1,2(B一. 选择题(每小题 3 分,共 30 分).题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10答案 A D C A C D D B C B二.填空题(每小题 3 分,共 15 分).(1) ; (2) (3) |6Bcos 1lnxxdzyyd5(4) 2(5) 10(),3nx三.计算题(每小题 6 分,共 42 分).1.(6 分)(1)由 得, ,
7、曲面在点 处的一个法2zy2,xyz(2,13)M向量为 (或 ) 4,1)n4,1n（2 分）(2)在点 的切平面方程为 (2,3)M(2)(1)30xyz即 4270xyz（2 分）法线方程为 2134xyz（2 分）2.(6 分) ,令 ,得驻点 ,2xyff0xyf(1,)（2 分）高等数学(下)试卷 (A) 第 5 页 共 6 页,有2,0,2xxyyfff(1)(1)0,(1,)2,xyABCf则 , 24,CA（2 分）所以 为极大值点,极大值为 (1)(1,)2f（2 分）3.(6 分)平面薄片的质量 2(,)(1)DDMxydxydx（2 分）1220()d（2 分）4210
8、38（2 分）4.(6 分)所围空间区域 22(,)|0xyzaxy由高斯公式,有原式 dvzRyQxP)(223z（2 分）2200sinadrd（2 分）55200163cosar（2 分）5.(6 分)设所求曲线为 ,由题意得, , , )(xyyx)(该方程为一阶线性微分方程 ,其中 ()1PQx高等数学(下)试卷 (A) 第 6 页 共 6 页（2 分）故通解为 ()()PxdxddxxyeQCeC )1xe（2 分）由 ,得 ,从而所求曲线为 0)(y1Cxy（2 分）6.(6 分)对应的齐次方程 的特征方程为 , 得特征根03y 0232r,1r2则对应的齐次方程的通解为 xxe
9、Cy21（2 分）对于非齐次方程 , 为 的单根, ,设其x2303r1)(xP特解为 ,其中 , 为待定系数， 满足xeQy)(*a)( )(xQ,即 ,所以 , 2)(Ppx1)(0a（2 分）从而 ,特解 ,)(xey*故原方程的通解为 . xC21（2 分）7.(6 分) 由于 ，113()4nn而 ，则 收敛，1limlinu 13()4nn（3 分）从而 也收敛，且为绝对收敛. 13()4n（3 分）四、综合应用题(共 2 小题,共 13 分,其中第 1 题 6 分,第 2 题 7 分).高等数学(下)试卷 (A) 第 7 页 共 6 页1.(6 分)设该容器的长,宽,高为 ,由题
10、意知 ,则 ,容器的表面积zyx4xyzxy, 822()A0（3 分）令 , 解得驻点 280xyA 2xy（2 分）因实际问题存在最小值,且驻点唯一,所以当 , 时,容器的表面积()xym1()z最小,从而用料最省. （1分）2.(7 分)证明: (1) , ,2),(yxP8)(xyQ由于在 面内, 恒成立,且 连续,xoyP故质点在该力场中移动时场力所作的功与路径无关. （4 分）(2)质点从点 移动到点 时场力所作的功(与路径无关) ,路径 可取折线)0,1(A1,2BL段 ,其中点 ,从而C0(2,1)(2,1)00WFdrPxQdy+),(1 )8yx)1,2(028(xydx29)4(1021dydx（3 分）
