1、1分层限时跟踪练(五十五)(限时 40分钟)基 础 练 扣 教 材 练 双 基一、选择题1(2015韶关模拟)在区间0,2之间随机抽取一个数 x，则 x满足 2x10 的概率为( )A. B. C. D.34 12 14 13【解析】 由 2x10 得 x ，故所求概率 P .12 2 122 0 34【答案】 A2如图 1032， M是半径为 R的圆周上一个定点，在圆周上等可能的任取一点 N，连接 MN，则弦 MN的长度超过 R的概率是( )2图 1032A.15B.14C.13D.12【解析】 由题意知，当 MN R时， MON ，所以所求概率为 1 .22 222 12【答案】 D3在棱
2、长为 3的正方体 ABCDA1B1C1D1内任取一点 P，则点 P到正方体各面的距离都不小于 1的概率为( )A. B. C. D.127 2627 827 18【解析】 正方体中到各面的距离不小于 1的点的集合是一个中心与原正方体中心重2合，且棱长为 1的正方体，该正方体的体积是 V11 31，而原正方体的体积为V3 327，故所求的概率为 P .V1V 127【答案】 A4.(2015河南三市联考)在区间，内随机取两个数分别为 a， b，则使得函数f(x) x22 ax b2 2有零点的概率为( )A1 B18 4C1 D12 34【解析】 函数 f(x) x22 ax b2 2有零点，需
3、 4 a24( b2 2)0，即a2 b2 2成立而 a， b，建立平面直角坐标系，满足 a2 b2，点(a， b)如图阴影部分所示，所求事件的概率为 P 1 .2 2 32 2 4 2 34 2 4【答案】 B5(2015昌平模拟)设不等式组Error!表示的平面区域为 D.在区域 D内随机取一个点，则此点到直线 y20 的距离大于 2的概率是( )A. B.413 513C. D.825 925【解析】 作出平面区域 D，可知平面区域 D是以 A(4,3)， B(4，2)， C(6，2)为顶点的三角形区域，当点在 AED区域内时，点到直线 y20 的距离大于 2. P .S AEDS AB
4、C126312105 925【答案】 D3二、填空题6(2015烟台模拟)在区间 上随机取一个数 x，则 cos x的值介于 0到 之2， 2 12间的概率为_【解析】 当 x 时，由 0cos x ，得 x 或 x ，由几2 2 12 2 3 3 2何概型概率公式得 P .13【答案】 137(2015武汉调研)在区间(0,1)内随机地取出两数，则这两数之和小于 的概率是65_【解析】 设随机取出的两个数分别为 x， y，则 0 x1,0 y1，依题意有 x y ，由几何概型知，65所求概率为P .12 12(1 15)(1 15)12 1725【答案】 17258如图 1033所示，在 A
5、BC中， B60， C45，高 AD ，在 BAC内3作射线 AM交 BC于点 M，则 BM1 的概率为_图 1033【解析】 因为 B60， C45，所以 BAC75，在 Rt ABD中， AD ， B60，3所以 BD 1， BAD30.ADtan 60记事件 N为“在 BAC内作射线 AM交 BC于点 M，使 BM1” ，则可得 BAM BAD时事件 N发生由几何概型的概率公式，得 P(N) .3075254【答案】 25三、解答题9已知正方体 ABCDA1B1C1D1的棱长为 1，在正方体内随机取点 M，求使四棱锥 MABCD的体积小于 的概率16【解】 如图，正方体 ABCDA1B1
6、C1D1.设 MABCD的高为 h，则 SABCDh ，13 16又 SABCD1， h ，12即点 M在正方体的下半部分，所求概率 P .12V正 方 体V正 方 体 1210身处广州的姐姐和身处沈阳的弟弟在春节前约定分别乘 A， B两列火车在郑州火车站会面，并约定先到者等待时间不超过 10分钟当天 A， B两列火车正点到站的时间是上午 9点，每列火车到站的时间误差为15 分钟，不考虑其他因素，求姐弟俩在郑州火车站会面的概率【解】 设姐姐到的时间为 x，弟弟到的时间为 y，建立坐标系如图，由题意可知，当|y x| 时，姐弟俩会面，又正方形的面积为 ，阴影部分的面积为 ，所求概率16 14 5
7、36P .53614 595能 力 练 扫 盲 区 提 素 能1在 ABC中， ABC60， AB2， BC6，在 BC上任取一点 D，则使 ABD为钝角三角形的概率为( )A. B. C. D.16 13 12 23【解析】 如图，当 BE1 时， AEB为直角，则点 D在线段 BE(不包含 B， E点)上时， ABD为钝角三角形；当 BF4 时， BAF为直角，则点 D在线段 CF(不包含 C、 F点)上时， ABD为钝角三角形，所以 ABD为钝角三角形的概率为 .1 26 12【答案】 C2(2015佛山二模)已知函数 f(x) x2 bx c，其中 0 b4,0 c4.记函数 f(x)
8、满足条件Error! 为事件 A，则事件 A发生的概率为( )A. B.14 58C. D.12 38【解析】 由题意，得Error!即Error! 表示的区域如图阴影部分所示，可知阴影部分的面积为 8，所以所求概率为 ，12故选 C.【答案】 C3如图 1034所示，图中实线围成的部分是长方体(图)的平面展开图，其中四边形 ABCD是边长为 1的正方形若向虚线围成的矩形内任意抛掷一质点，它落在长方体的平面展开图内的概率是 ，则此长方体的体积是_146图 1034【解析】 设长方体的高为 h，由几何概型的概率计算公式可知，质点落在长方体的平面展开图内的概率 P ，解得 h3 或 h (舍去)，
9、2 4h 2h 2 2h 1 14 12故长方体的体积为 1133.【答案】 34.如图 1035，在圆心角为直角的扇形 OAB中，分别以 OA， OB为直径作两个半圆在扇形 OAB内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是_图 1035【解析】 如图，设 OA2， S 扇形 AOB， S OCD 1112 ， S 扇形 OCD ，在以 OA为直径的半圆中，空白部分面积 S1 2 1，12 4 2 (4 12)所有阴影面积为 2.故所求概率 P 1 . 12 2【答案】 125将一个质点随机投放在关于 x， y的不等式组Error!所构成的三角形区域内，求该质点到此三角形的三个顶点的距离均不小于
10、 1的概率【解】 画出关于 x， y的不等式组Error!所构成的三角形区域，如图，三角形 ABC的7面积为 S1 346，离三个顶点距离都不大于 1的地方的面积为 S2 ，所以其恰12 12在离三个顶点距离都不小于 1的地方的概率为 P1 1 .26 126已知关于 x的一元二次方程 x22( a2) x b2160.(1)若 a， b是一枚骰子先后投掷两次所得到的点数，求方程有两个正实数根的概率；(2)若 a2,6， b0,4，求一元二次方程没有实数根的概率【解】 (1)基本事件( a， b)共有 36个，且 a， b1,2,3,4,5,6，方程有两个正实数根等价于 a20,16 b20，
11、 0，即 a2，4 b4，( a2) 2 b216.设“一元二次方程有两个正实数根”为事件 A，则事件 A所包含的基本事件数为(6,1)，(6,2)，(6,3)，(5,3)共 4个，故所求的概率为 P(A) .436 19(2)试验的全部结果构的区域 ( a， b)|2 a6,0 b4，其面积为 S( )16.设“一元二次方程没有实数根”为事件 B，则构成事件 B的区域为 B( a， b)|2 a6,0 b4，( a2) 2 b216，其面积为 S(B) 4 24.14故所求的概率为 P(B) .416 47(2015山西质量检测)如图 1036，一个靶子由四个同心圆组成，且半径分别为1,3,
12、5,7.图 1036规定：击中 A， B， C， D区域分别可获得 5分，3 分，2 分，1 分，脱靶(即击中最大圆之外的某点)得 0分(1)甲射击时脱靶的概率为 0.02，若未脱靶则等可能地击中靶子上的任意一点，求甲射击一次得分的数学期望；8(2)已知乙每次射击击中的位置与圆心的距离不超过 4，丙每次射击击中的位置与圆心的距离不超过 5.乙、丙二人各射击一次，且二人击中各自范围内每一点的可能性相等，求乙得分比丙高的概率；乙、丙二人各射击一次，记 U， V分别为乙、丙二人击中的位置到圆心的距离，且U， V取各自范围内的每个值的可能性相等，求乙获取(即 U V)的概率【解】 (1)设甲射击一次得
13、分为 X，则 X的所有可能取值为 5,3,2,1,0，P(X5) (10.02)0.02，72P(X3) (10.02)0.16，32 72P(X2) (10.02)0.32，52 3272P(X1) (10.02)0.48，72 5272P(X0)0.02，故 X的数学期望 E(X)50.0230.1620.3210.4800.021.7.(2)设乙、丙射击一次的得分分别为 Y， Z，则 Y的所有可能取值为 5,3,2， Z的所有可能取值为 5,3,2，P(Y5) ， P(Y3) ，42 116 32 42 816P(Y2) ，42 3242 716P(Z5) ， P(Z3) ，52 125 32 52 825P(Z2) .52 3252 1625故所求概率 P1 .116 825 116 1625 816 1625 1950由题意得Error!不等式组Error!所表示的可行域如图中阴影部分所示，9根据几何概型的概率计算公式可知乙获胜的概率 P2 .12 1 5 445 35
