1、1分层限时跟踪练(三十五)(限时 40 分钟)基 础 练 扣 教 材 练 双 基一、选择题1下列命题中正确的是( )A y x 的最小值是 21xB y23 x (x0)的最大值是 244x 3C ysin 2x 的最小值是 44sin2xD y23 x (x0)的最小值是 244x 3【解析】 A 不正确，如取 x1，则 y2.B 正确，因为 y23 x 2 22 24 .4x (3x 4x) 3x4x 3当且仅当 3x ，即 x 时等号成立4x 233C 不正确，令 sin2x t，则 0 t1，所以 g(t) t ，显然 g(t)在(0,1上单调递4t减，故 g(t)min g(1)14
2、5.D 不正确， x0， x0 y23 x 2 24 .4x 3x ( 4x) 3当且仅当3 x ，即 x 时等号成立4x 233【答案】 B2(2015宁德模拟)关于 x 的不等式 x24 ax3 a20( a0)的解集为( x1， x2)，则x1 x2 的最小值是( )ax1x2A. B.63 233C. D.433 236【解析】 依题意可得x1 x24 a， x1x23 a2， x1 x2 4 a 4 a 2 ，故ax1x2 a3a2 13a 4a13a 4332x1 x2 的最小值为 .故选 C.ax1x2 433【答案】 C3已知 a0， b0，若不等式 0 恒成立，则 m 的最大
3、值为( )m3a b 3a 1bA4 B16 C9 D3【解析】 因为 a0， b0，所以由 0 恒成立得 m (3a b)m3a b 3a 1b (3a 1b)10 恒成立因为 2 6，当且仅当 a b 时等号成立，所以 103ba 3ab 3ba 3ab 3ba3ab 16，所以 m16，即 m 的最大值为 16，故选 B.3ba 3ab【答案】 B4(2014福建高考)要制作一个容积为 4 m3，高为 1 m 的无盖长方体容器已知该容器的底面造价是每平方米 20 元，侧面造价是每平方米 10 元，则该容器的最低总造价是( )A80 元 B120 元C160 元 D240 元【解析】 由题
4、意知，体积 V4 m3，高 h1 m，所以底面积 S4 m2，设底面矩形的一条边长是 x m，则另一条边长是 m，又设总造价是 y 元，则4xy20410 8020 160，当且仅当 2x ，即 x2 时取得等号(2x8x) 2x8x 8x【答案】 C5设正实数 x， y， z 满足 x23 xy4 y2 z0，则当 取得最大值时， 的最xyz 2x 1y 2z大值为( )A0 B1 C. D394【解析】 1，当且仅当 x2 y 时成立，xyz xyx2 3xy 4y2 1xy 4yx 3 12xy4yx 3因此 z4 y26 y24 y22 y2，所以 211.2x 1y 2z 2y 1y
5、2 (1y 1)【答案】 B二、填空题6(2015商丘模拟)已知 x， y(0，)，2 x3 y，若 (m0)的最小值为(12) 1x my3，则 m 的值为 3【解析】 由 2x3 y得 x y3，则(12) (x y)1x my 13 (1x my) (1 m2 )，13(1 m yx mxy) 13 m (1 m2 )3，即( 1) 29，解得 m4.13 m m【答案】 47(2015衡水模拟)当 a0 且 a1 时，函数 f(x)log a(x1)1 的图象恒过点A，若点 A 在直线 mx y n0 上，则 4m2 n的最小值为 【解析】 由题意可得：点 A 的坐标为(2,1)，所以
6、 2m n1，所以4m2 n2 2m2 n2 2 2 .22m2n 22m n 2【答案】 2 28(2015山东高考)定义运算“”： xy (x， yR， xy0)当x2 y2xyx0， y0 时， xy(2 y)x 的最小值为 【解析】 因为 x y ，所以(2 y) x .又 x0， y0，故 x y(2 y)x2 y2xy 4y2 x22xy x ，当且仅当 x y 时，等号成立x2 y2xy 4y2 x22xy x2 2y22xy 22xy2xy 2 2【答案】 2三、解答题9设 f(x) (x0)16xx2 8(1)求 f(x)的最大值；(2)证明：对任意实数 a， b，恒有 f(
7、a) b23 b .214【解】 (1) f(x) 2 ，16xx2 8 16x 8x 162x8x 2当且仅当 x ，即 x2 时，等号成立，8x 2所以 f(x)的最大值为 2 .2(2)证明： b23 b 23，当 b 时， b23 b 有最小值 3.214 (b 32) 32 214由(1)知， f(a)有最大值 2 ，对任意实数 a， b，恒有 f(a) b23 b .2214410某造纸厂拟建一座底面图形为矩形且面积为 162 平方米的三级污水处理池，池的深度一定(平面图如图 641 所示)，如果池四周围墙建造单价为 400 元/米，中间两道隔墙建造单价为 248 元/米，池底建造
8、单价为 80 元/平方米，水池所有墙的厚度忽略不计图 641(1)试设计污水处理池的长和宽，使总造价最低，并求出最低总造价；(2)若由于地形限制，该池的长和宽都不能超过 16 米，试设计污水处理池的长和宽，使总造价最低，并求出最低总造价【解】 (1)设污水处理池的宽为 x 米，则长为 米162x总造价 f(x)400 2482 x80162(2x2162x )1 296x 12 9601 296 12 9601 2962 12 1 296100x (x 100x) x100x96038 880(元)，当且仅当 x (x0)，即 x10 时取等号100x当污水处理池的长为 16.2 米，宽为 1
9、0 米时总造价最低，总造价最低为 38 880 元(2)由限制条件知Error! x16.818设 g(x) x ，100x(818 x 16)g(x)在 上是增函数，818， 16当 x 时 ，818 (此 时 162x 16)g(x)有最小值，即 f(x)有最小值，即为 1 296 12 96038 882(元)(818 80081)当污水处理池的长为 16 米，宽为 米时总造价最低，总造价最低为 38 882 元818能 力 练 扫 盲 区 提 素 能1设 x， yR， a1， b1，若 ax by3， a b2 ，则 的最大值为( )31x 1yA2 B. C1 D.32 12【解析】
10、 由 ax by3，得 xlog a3， ylog b3，由 a1， b1 知5x0， y0， log 3alog 3blog 3ablog 3 21，1x 1y (a b2 )当且仅当 a b 时“”成立，则 的最大值为 1.故选 C.31x 1y【答案】 C2(2014山东高考)已知 x， y 满足约束条件Error!当目标函数 z ax by(a0， b0)在该约束条件下取到最小值 2 时， a2 b2的最小值为( )5A5 B4 C. D25【解析】 法一：线性约束条件所表示的可行域如图所示由Error!解得Error!所以 z ax by在 A(2,1)处取得最小值，故 2a b2
11、，5a2 b2 a2(2 2 a)2( a4) 244.5 5法二：画出满足约束条件的可行域知，当目标函数过直线 x y10 与 2x y30的交点(2,1)时取得最小值，所以有 2a b2 .又因为 a2 b2是原点(0,0)到点( a， b)的5距离的平方，故当 为原点到直线 2a b2 0 的距离时最小，所以 的最a2 b2 5 a2 b2小值是 2，所以 a2 b2的最小值是 4.故选 B.| 25|22 12【答案】 B3(2015青岛二模)设 (1，2)， ( a，1)， ( b,0)，OA OB OC a0， b0， O 为坐标原点，若 A， B， C 三点共线，则 的最小值是
12、1a 2b【解析】 ( a1,1)， ( b1,2)，AB OB OA AC OC OA A， B， C 三点共线， 与 共线，AB AC 2( a1) b10，即 2a b1. a0， b0， (2a b)4 448，1a 2b (1a 2b) ba 4ab当且仅当 ，即 b2 a 时等号成立ba 4ab【答案】 864设 a b2， b0，则 的最小值为 12|a| |a|b【解析】 当 a0 时， ；12|a| |a|b 12a ab a b4a ab 14 (b4a ab) 54当 a0 时， 1 .12|a| |a|b 1 2a ab a b 4a ab 14 ( b 4a ab)
13、14 34综上所述， 的最小值是 .12|a| |a|b 34【答案】 345已知 x0， y0，且 2x5 y20.(1)求 ulg xlg y 的最大值；(2)求 的最小值1x 1y【解】 (1) x0， y0，由基本不等式，得 2x5 y2 .10xy2 x5 y20，2 20， xy10，当且仅当 2x5 y 时，等号成立10xy因此有Error! 解得Error!此时 xy 有最大值 10. ulg xlg ylg ( xy)lg 101.当 x5， y2 时， ulg xlg y 有最大值 1.(2) x0， y0， ，1x 1y (1x 1y) 2x 5y20 120(7 5yx
14、 2xy) 120(7 25yx2xy) 7 21020当且仅当 时，等号成立5yx 2xy由Error!解得Error! 的最小值为 .1x 1y 7 210206(2015石家庄模拟)如图 642，有一块边长为 1(单位：百米) 的正方形区域ABCD，在点 A 处有一个可转动的探照灯，其照射角 PAQ 始终为 45(其中点 P， Q 分别在边 BC， CD 上)，设 PAB ，tan t. 7图 642(1)用 t 表示出 PQ 的长度，并探求 CPQ 的周长 l 是否为定值；(2)问探照灯照射在正方形 ABCD 内部区域的面积 S 最大为多少？【解】 (1)由 tan t，得 BP t(0 t1)，可得 CP1 t.BPAB DAQ45 ， DQtan(45 ) ， CQ1 ，1 t1 t 1 t1 t 2t1 t PQ ，CP2 CQ2 1 t 2 (2t1 t)2 1 t21 t CPQ 的周长 l CP PQ CQ1 t 2 为定值2t1 t 1 t21 t(2) S S 正方形 ABCD S ABP S ADQ1 t2 12 1 t1 t2 2 ，12(t 1 2t 1) 2当且仅当 t1 ，即 t 1 时等号成立2t 1 2探照灯照射在正方形 ABCD 内部区域的面积 S 最大为(2 )平方百米2
