1、1正态分布3.1 正态分布对于连续型随机变量而言，正态分布(normal distribution)是最重要的一种概率分布。经验表明：对于依赖于众多微小因素；且每一因素均产生微小的或正或负影响的连续型随机变量来说，正态分布是一个相当好的描述模型。如人的体重，因为遗传、骨骼结构、饮食、锻炼、等都对人的体重有影响，但又没有一种因素起到压到一切的主导作用。与此相类似，人的身高、考试分数等都近似地服从正态分布。通常用：XN(u, ) (3 - 1)2表示随机变量X服从正态分布。 N表示正态分布，括号内的参数 u, 称为正态分布的2总体均值( 或期望)和方差。3.1.1 正态分布的性质(1) 正态分布曲
2、线以均值u为中心，对称分布。(2) 正态分布的概率密度函数呈中间高、两边低，在均值 u处达到最高，向两边逐渐降2低，即随机变量在远离均值处取值的概率逐渐变小。(3) 正态曲线下的面积约有68% 位于u 两值之间；约有95%的面积位于u2 之间；2而约有99.7%的面积位于u3 之间。 (4) 两个(或多个 )正态分布随机变量的线性组合仍服从正态分布。令X和Y相互独立：XN(u X， )2xYN(u Y， )y现在考虑两个变量的线性组合：Wa X+b Y则 WN(u W， ) ( 3 - 2 )2w其中，uW =(auXbu Y) ( 3 - 3 )= ( + ) (3 - 4)xyb例3.1令
3、X表示在下沙高教区一花店每日出售玫瑰花数量， Y表示在下沙镇一花店每日出售玫瑰花的数量，假定X和Y服从正态分布，且相互独立，并有： XN( 100 ，64 ) ，YN( 150，81 )求两天内两花商出售玫瑰花数量的期望及方差？W2X2Y根据式( 3 - 3 )E(w)E( 2X+ 2Y) = 5 0 0，Var (w) = 4var(X) + 4var(Y) = 5 8 0因此，W服从均值为5 0 0，方差为5 8 0的正态分布，即WN( 5 0 0，5 8 0 )。3.1.2 标准正态分布两个正态分布可能因为期望或方差的不同，或是期望和方差均不同而相区别。如何比较各种不同的正态分布呢？3定
4、义一个新的变量Z： Xu如果变量X的均值为u，方差为 ，则根据式(3 - 4)，变量Z的均值为0，方差为1。称2之为标准正态变量(standard normal variable) 。即若XN(u ， )，那么变量Z就是标准正态变量，用符号表示为：2ZN(0，1) (3 - 5)证明：（1） 均值为0因为有E (aX+b) = a E(X) + b，所以u（ ） （ ）（2）方差为1因为有var ( aX +b ) = a2var ( X ) ，所以 vrr（ ） （ ）图3 - 3a 和3 - 3b分别给出标准正态分布的概率密度函数和累积分布函数。4例3.2变量x表示花房每日出售的玫瑰花量，
5、假定它服从均值为70、方差为9的正态分布，即XN( 70 ，9 ) ，求任给一天，出售玫瑰花数量大于75支的概率。7501.63Z服从标准正态分布，求P(Z 1 . 6 7 ) 。从附录表可知， Z位于区间( 0 , 1.3 ) 的概率为0.4032，位于 ( 0，2.5 )的概率为0.4938。由正态分布的对称性可知，Z位于区间(-1.3 , 0 ) 的概率也为 0.4032，位于(-2.5 , 0 )的概率为0.4938。由于这种对称性，在标准正态分布表中一般仅给出Z取正值的情形。也就是说，标准正态密度函数，在Z=0的左右面积均为 0.5，整个面积(或概率)为1。根据正态分布表得：P( 0
6、Z1.67)=0.4525因此，P(Z1.67)=0.50000.4257=0.0475即每天出售玫瑰花的数量超过75支的概率为0.0475。(参见图3-3a )5例3.3继续例3. 2 ,现假定要求每天出售玫瑰花数量小于或等于7 5支的概率。概率为： 0.500 0+0.452 5=0.952 5 (见图3-3b ) 。例3.4求每天出售玫瑰花数量在在65与75支之间的概率。 601.3Z查表得，P(1.67Z0)=0.4525P(0Z1.67)=0.4525由正态分布的对称性得到，P(1.67Z1.67)=0.9050即每天出售面包的数量介于65条与75条之间的概率约为90.5% ( 见图
7、3-3a )。上面的例子表明：一旦知道某一正态变量的期望与方差，先将其转化为标准正态变量，然后根据正态分布表求得相应的概率。3.2样本均值 的抽样分布或概率分布X样本均值是总体均值的估计量，但由于样本均值是依据某一给定样本而定，因此其值也会因随机样本的不同而变化。也就是说，样本均值也是随机变量，并且有其自己的概率分布函数。称X1，X2，Xn构成一个容量为 n的独立同分布随机变量(independently and identically distributed random variables,i.i.d.random variables)，即所有的X是从同一概率密度(即每个 Xi有相同的概率
8、密度函数 )中独立抽取得到的。如果XiN(u， )且每个Xi独立抽取得到，则称X1，X2， ，Xn是 i.i.d.随机变量，2正态概率密度函数是其共同的概率密度。估计量(比如样本均值)的概率密度。例3.6正态分布的均值为10，方差为4，即N( 10，4 ) 。从这个正态总体中抽取20个随机样本，每个样本包括2 0个观察值。对抽取的每一个样本，得到其样本均值 ，因而共有20个样本均值，见表3-3。6图3- 的条线图描绘了样本均值的经验概率分布。7如果列出更多这样的样本，那么样本均值的概率分布服从正态分布。若X1,X2, ,Xn是来自于均值为u，方差为 的正态总体的一随机样本。则样本均值，2也服从
9、正态分布，其均值为u，方差为 ，即Xn(3 - 6)2(,)un样本均值 (u的估计量)的抽样(或概率) 分布，同样服从正态分布。其均值与每一个Xi的均值相同，但方差等于Xi的方差( )除以样本容量n。证明：因为 = (X1 + X2 + Xn )nE( ) = E(X1) + E(X2) + E(Xn )Xn= u + u + u n= uVar( ) = var（X1 + X2 + Xn ）/ n= var( X1 + X2 + Xn ) n2= var(X1 )+ var(X2) + var(Xn)n2(独立变量方差性质)= ( + + ) / n22= n / n2= / n N(u，
10、 ) 可以转化为标准正态分布X2uZn8中心极限定理从正态总体中抽样，其样本均值同样服从正态分布。但是如果从其他总体中抽样又如何呢？中心极限定理(central limit theorem,CLT)：如果X1，X2，Xn是来自( 均值为u方差为 的)任一总体 的随机样本，随着样本2容量无限增大，则其样本均值 趋于正态分布，其均值为u，方差为 /n。X2注意样本方差的公式，分母是n-1，因为要求估计量是无偏的。证明：（ 22222222()1 =()(),1()()1ESnXuXunEuEn因 为 所 以 （ ） ）2222 2()()()1 =()uXXn注：如果 为样本均值 ，则 为 ）X3
11、.3 分布9如果随机变量X服从均值为u ，方差为 的正态分布，即X N(u， )，则随机变量22Z= (X u) / 是标准正态变量，即ZN(0，1)。标准正态变量的平方服从自由度(degrees of freedom,d.f.)为 1的 分布，即是一种特殊的 分布，用符号表示为，2Z2= (3 - 7)(1)其中 的下标(1)表示自由度(d.f.)为1，这里定义自由度是平方和中独立观察值的个数。令Z1，Z2 ，Z K为K个独立的标准正态变量 (即每一个变量均是均值为0，方差为1的正态变量)，对所有的变量 Z平方，它们的平方和服从自由度为K 的 分布，即2( 3 - 8 )2221)i k:这
12、里的自由度为k，因为在式(3 - 8)的平方和中，有K个独立的观察值。分布的性质210(1) 如图3 - 8示 , 与正态分布不同 , 分布只取正值(它是平方和的分布)且取值范围2从0到无限大。(2)与正态分布不同， 分布是斜分布，其偏度取决于自由度的大小，自由度越小，越向右偏，但随着自由度的增大，逐渐呈对称，接近正态分布。( 3 ) 分布的期望为k，方差为2k。2( 4 ) 若E1 、E2分别为自由度为 k1,k2的两个相互独立的 变量，则其和(Z1+Z2)也是2一个 变量，其自由度为(k1+k2)。2 3.4 t分布运用最广泛的另一个概率分布是t分布，t 分布又称为学生 t分布(Stude
13、nts t distribution)，与正态分布也密切相关。（注：学生是统计学家W.S.Gosset 的笔名，他于1908年发现了这一概率分布。 ）若 N(u， )X2n则变量Z服从标准正态分布：(3 - 9)u假定仅知道u及 的估计量的值 ，用样本标准差S代替总体标准差 ，得到22s一个新的变量(3 -10)/Xtsn变量t服从自由度为(n-1)的学生t分布。与 分布类似，t分布也与参数自由度有关，2自由度为n-1。t分布的性质(1) t分布与正态分布类似，具有对称性。11(2) t分布均值，与标准正态分布均值相同为0，但方差为k / (k2)。（注：在求t分布的方差时定义自由度必须大于
14、2。 ）标准正态分布方差总为1，表明t分布方差总比标准正态分布方差大t 分布比正态分布略“胖”一些。但是当k增大时， t分布的方差接近于标准正态分布方差值1。如果自由度k=10，则t分布方差为 10/8 = 1.25；如果自由度k30，则其方差为30 / 28 = 1.0；如果自由度k=100，则其方差为100 / 98 = 1.02因此与 分布类似，随着自由度的逐渐增大时， t分布近似正态分布。2（注：当k为30，t分布的方差已与标准正态分布方差相差不大。 ）例3.7假定真实的出售平均数量为70支，那么15天内出售玫瑰花平均数量为74支的概率是多少？( 样本方差为4)如果知道真实的标准差 ，
15、则可通过标准正态分布变量Z来解答。但是，现在仅知道真实标准差的估计量S，则可以利用式(3 - 10)来计算t值。740/15Xutsn3.8自由度为14时，查表得，t值大于等于 2.145的概率为0.025 (2.5%) ，t值大于等于2.624的概率为0.01 (1%)，t值大于等于3.787的概率为0.001 (0.1%)。 3.5 F分布12如果随机样本X1，X2，Xm来自均值为u X，方差为 的正态总体，其样本容量2为m；随机样本Y1，Y2， ，Yn为来自均值为u Y，方差为 的正态总体，其样本容量为n，且这两个样本相互独立。如何知道这两个正态总体是否同方差？即= 2XY由于不能直接观
16、察两个总体的方差，但假定可以知道它们的估计量：2()1iXS2()1iYSN现考虑比值：2XYF()/imn如果两总体方差真实值确相等，则F值将接近于1，但如果两总体方差真实值不相等，则F值不等于1；两总体方差相差越大，F值就越大。如果 = (即两总体同方差)，则比值F值服从分子自由度为(m1) ，分母自由2XY度为(n 1)的F分布。 1,2k双下标表明了分子与分母自由度。 （在此例中， k1= (m1)，k2= (n1) 。F分布的性质( 1 ) 与 分布类似，F分布也是斜分布，向右偏，其取值范围也为 0到无限大。2(2) 与 分布类似，当自由度k1, k2逐渐增大时，F分布近似正态分布。( 3 ) t分布变量的平方服从分子自由度为1，分母自由度为k的F分布，即1321,kktF例3.8两班做同样的经济计量学测试。其中，一个班级共有100名学生，另一班级共有150名学生，该老师从第一个班级随机抽取25个学生，从第二个班级随机抽取31个学生，观察得到两个班级学生考试平均分数的样本方差分别为100和132。假设学生考试平均分数这一随机变量服从正态分布，那么是否能够认为两班级分数平均值同方差。因为这两个随机样本来自两个正态总体，并且相互独立，则 1320F.服从自由度为30、24的F分布。查F分布表得当分子自由度为30、分母自由度为24时，F值大于等于1.31 的概率为25% 。
