1、齐鲁名校教科研协作体山 东、湖北部分重点中学 2018 年高二（高三新起点）联考数学（理科）试题命题：湖北郧阳中学（吴顺华、邹本俭、杨涛、卫学菊） 审题：山东临沂一中（滕华强） 山东聊城一中（王静） 湖北随州一中（吴晓旭）祝考试顺利本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分，全卷满分 150 分,考试时间120 分钟.注意事项：1答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号准确地写在答题卡上。2所有试题的答案均写在答题卡上。对于选择题，每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案。3答第卷时，必须用 0.5 毫米墨水签字笔在答题卡上书
2、写。在试题卷上作答无效。4考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。第卷（选择题 共 60 分）一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.（原创，容易）集合 ，则22A,40,yxRBxxR（ ）ABA.2 B.-2,2 C.2,+ ) D.(,2,)【答案】C【解析】 ， ,则 .,)A(,2)B,)AB【考点】集合的含义及运算.2.（原创，容易）设 是纯虚数,其中 是虚数单位,则imRm2213,i（ ）m第 5 题图A.3 或-1 B.3 C.-1 D.1【答案】B【解析】由已知 ，得 =301322mm且【考点】
3、纯虚数概念3. （原创，容易）已知命题 ： ，命题 ，则命题p2,10xRx:4qm是 的（ ）pqA.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】由命题 恒成立可得： ，则命题 是 的必要不充分条件p40mpq【考点】对充要条件的判断4. （原创，容易）在区间 上随机地取一个数 ,则事件“ ”发生的概率1, x31log2x为 （ ） A. B. C. D.18387858【答案】A【解析】由 ，则 1,8731log2x8P【考点】几何概型和对数运算5（改编，容易）宋元时期数学名著算学启蒙中有关于“松竹并生”的问题：松长五尺，竹长两尺，松日自
4、半，竹日自倍，松竹何日而长等，如图是源于其思想的一个程序框图，若输入的 分别为 12，4，则输出的 等于（ ）,abnA4 B5 C 6 D7 【答案】A 【解析】当 =1, =18 =8；当 =2, =27 =16；nabnab当 =3, =40.5 =32； =4, =60.75 =64； =5,所以 =4.n【考点】程序框图第 7 题图6（改编，容易）用数学归纳法证明“ ”*1253212 Nnnn 的过程中， ，左边增加的项为（ ）成 立 时到在 第 二 步 证 明 从 kA B 43223kk 14323kkC D 4【答案】B【解析】当 n=k 时,左边= 13221kkk当 n=
5、k+1 时,左边= 432 432k所以左边增加的项为 12kk【考点】数学归纳法7. （改编，容易）已知 F 是双曲线 的右焦点，P 是 C 的左支上一点,A(0,3).124Cyx：则 周长最小值为（ ）APFA12 B16 C14 D10【答案】C【解析】设双曲线的左焦点为 ，由双曲线的定义知 的周长为1FAPF（当11APFAPA三点共线时取等号）1、 、【考点】双曲线的定义8（改编，中等）如图,三棱锥 的底面 是等腰直角三角形,VABC,侧面 与底面垂直，已知其正视图的面积为 3,则其侧视图的面积为ABCA（ ）A B C D232343243【答案】B 【解析】设 的长为 ,侧面
6、的边 上的高为 ,则 = ,其侧视图是由底面三aVAha23角形 的边 上的高与侧面三角形 的边 上的高组成的直角三角形,其面积为ABCA23【考点】三视图、空间几何体特点9.（改编，中等）我国南北朝数学家何承天发明的“调日法”是程序化寻求精确分数来表示数值的算法,其理论依据是:设实数 的不足近似值和过剩近似值分别为 和 (xabcd),则 是 的更为精确的不足近似值或过剩近似值.我们知道*,abcdNcadb=3.14159,若令 ,则第一次用“调日法”后得 是 的更为精确的过剩近似103549516值,即 ,设第三次用“调日法”后所得 的近似分数为 ，第四次用“调日法”56 m后所得 的近
7、似分数为 ，则 和 的乘积为( )nmA. 9.6 B. 9.7 C. 9.8 D.9.9【答案】D 【解析】由题意:第一次用“调日法”后得 是 的更为精确的过剩近似值,即 516103第二次用“调日法”后得 是 的更为精确的不足近似值,即 ,第三次用516475476“调日法”后得 是 的更为精确的过剩近似值,即 ,第四次用“调日法”后20631203得 是 的更为精确的过剩近似值，则 = , = ,所以 =9.9.7m2063n7mn【考点】类比推理10（改编，中等）已知圆 ，,1a-xC22by： 604xy平 面 区 域 ：8若 圆 心 ， 且 圆 与 轴 相 切 ， 则 的 取 值
8、范 围 （ ）A B7-35， ， 7-35（ ， ） （ ， ）C D -， -,，【答案】A 【解析】画出平面 的区域，圆心 C 在直线 y=1 上，而 表示点（a,b）与点（2,8）连28ab线的斜率，结合倾斜角和斜率的关系，得到答案【考点】线性规划及直线与圆的位置关系11（原创，中等）抛物线 的焦点为 ,过点 的直线交抛物线于 、 两点，yx62FMN点 为 轴正半轴上任意一点，则 （ ）Px )()PNOMP（A. B. C. D. 42749-427-49【答案】A 【解析】设点 、 的坐标分别为 ，联立直线和抛物线方程可得：MN21,yx，49,2121yx 127)() 4OP
9、PNOMxy（【考点】抛物线的几何性质、向量12（改编，较难） 设曲线 (e 为自然对数的底数)上任意一点处的切线为 ，xef2 1l曲线 上任意一点处的切线为 ，若对任意位置的 总存在 ，使得xbxgcos2l1l2l ，则实数 的取值范围为（ ）1l2A. B. C. D. 0,-0,1-0,-0,-【答案】 A【解析】设 上的切点为 ， 上的切点为 ，()yfx1(,)xy()gx2(,)xy，根据已知，对任意 存在 ，使得2()1,sinfxegb1，即 对任意 均有解 ，故12sin)bx12xe1xR2x对任意 恒成立，则 恒成立，又12xe1R12bb，所以 ，解得 12(,0)
10、x0b0【考点】导数的综合应用第卷（非选择题 共 90 分）二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分，请将正确答案填写在答题卡上）13.（原创，容易）在正方体 中，点 是 的中点，已知 ，1ABCDM1AABa， ，用 表示 ,则 = .ADb1c,ab【答案】 2CM【解析】由向量加法法则可得12Cabc【考点】空间向量的概念及运算14.（改编，容易）物体 以 的速度在一直线 上运动，物体 在直线 上，A43(/)vtmslBl且在物体 的正前方 8 处，以 的速度与 同向运动， 与 同时出发后，21A物体 追上物体 所用的时间 为 .AB()ts【答案】2【解析】因为物
11、体 在 秒内行驶的路程为 ，物体 在 秒内行驶的路程为t0(43)tdtBt，0(21)tdt由题意知 8，即 8，解得 2043)tt0(21)tdt20(3)|tt20()|tt【考点】定积分的应用15.（改编，中等）焦点在 x 轴上的椭圆方程 ，短轴的一个顶点和长12bayx轴的两个顶点构成的三角形的内切圆的半径为 ，则椭圆的离心率为 .3a【答案】 47【解析】由椭圆的几何，内切圆的圆心为（0， ），半径为 ，3a3a，化简的 212S2baab 474eb【考点】椭圆的几何性质16.（改编，较难）以下数表的构造思路源于我国南宋数学家杨辉所著的详解九章算术一书中的“杨辉三角形”1 2
12、3 4 52013 2014 2015 2016 2017 20183 5 7 9 4027 4029 4031 4033 40358 12 16 8056 8060 8064 806820 28 16116 16124 16132该表由若干行数字组成，从第二行起，每一行中的数字均等于其“肩上”两数之和。（）表中第 6 行的第 2 个数为 .（）表中最后一行仅有一个数，则这个数为 .【答案】(1)144 (2) 20169【解析】共 2018 行，第 n 行的第一个数为 ,分别代入 n=6 和 2018 即得21n表中第 6 行的第 1 个数为 112，第二个数为 112+32=144，最后一
13、行的数为 20169【考点】归纳推理三、解答题（本大题共 6 小题，共 70 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17. (改编，容易) （本题满分 10 分）已知递增的等比数列 满足：na32,421a（）求数列 的通项公式；第 18 题图（）数列 满足： ，数列 前 项和为 ，求证： .nbnna21lognb1nS2n【答案】（） （）a【解析】：（） 又 是方程,34132 ,641 ,3421a41a 的两根，又等比数列 递增，故 ， 06432xna2.6,qn5 分（） 21loglog2121 abnnn ,11nnb7 分1121 22341nS nn 10 分【考点
14、】：等比数列的性质，数列求和的方法，不等式恒成立18.（原创、容易）（本题满分 12 分）中， 分别是角 的对边，已知 ， 是边 的ABCabc、ABC、 =60,27BbcDBC中点且 13D（）求 的值；sin（）求 的面积ABC【答案】（） ，（）321463【解析】（）因为 ，由正弦定理得 ,所以7bc2sin7siBC，2sini021i7BC3 分因为 所以角 C 为锐角，所以 ，所以,cb27cosCFNMPD CBA第 19 题图321sini(120)sin120cos120in4AcC6 分注：未讨论角 为锐角扣 1 分C（）因为 ,即 ，设 ，由 ,得27bc27,2bk
15、csiniabAB，所以 ， 31sin4i60kAaB 32BD9 分在 中由余弦定理得 ，所以AD2 2293134cos604kkk，2k所以 的面积 BC113sin60262SBACk12 分【考点】正、余弦定理应用、解三角形19.(原创,中等) (本题满分 12 分)如图,在四棱锥 中,底面 是边长为 2 的正方形,侧面PABCD是等腰直角三角形,且 ,侧面 底面 .AD09PADBC()若 分别为棱 的中点,求证: 平面 ；MN、 、 MN()棱 上是否存在一点 ,使二面角 成 角，若存在,求出 的长；若PCFABC03PF不存在,请说明理由.【答案】()略;( ) 236P【解
16、析】()取 中点 ,连结 , 分别为 、 中点，AQBN、 Q、 PDA , , QND122 分又点 为 中点, 且 ,四边形 为平行四边形, MBCQNBMBMNQMN, Q3 分又 平面 , 平面 , 平面 . BPANPABNPAB5 分()取 中点 ,连结 、 , 是以 为直角的等腰直角三角形,又DOMD为 的中点, ,又平面 平面 ,由面面垂直的性质定理得APAPABC平面 ,又 平面 , ,由已知易得: 、 、 两PBCBOOPAM两垂直. 6 分以 为原点,分别以 、 、 正方向为 轴、 轴、 轴正方向建立空间直角坐标OAMPXYZ系如图示,则 ,设(1,0)(,2)(0,1)
17、(20)BC、 、 、,PCF则: , . )02(AB1,2PFA8 分设平面 ABF 的法向量为 ,则 ,zyxn0AnB ,令 ,则0121xy1, . ,0zy,n10 分又平面 的法向量为 ,由二面角 成 角得:ABCD10OPFABC03OFQNMZPYD CBAX, ,解得: ,或03cosOPn2311032不合题意,舍去. ,26PCF当棱 上的点 满足 时, 二面角 成 角. CF236PFABC0312 分【考点】平行直线,直线与平面平行的判定,两个平面垂直的性质,平面的法向量,二面角,空间向量的坐标运算20. (原创,中等) (本题满分 12 分)今年 4 月,美国全面
18、封杀中兴通讯公司(以下简称中兴),致使中兴面临困境.中兴为了早日开发出我国的 5G 通讯设备,决定将 5G 通讯所涉及的 100 项技术按其产生的预期收入分为五类，每项技术的研发成本为 ( 的单位为亿元, 为这项技术是第 类技术,nz21.0znn1,2,3,4,5).经过测算,将这 100 项技术的分类情况以及研发成功后产生的预期收入(单位:亿n元),绘制出如下的柱形图:()求这 100 项技术全部研发成功后,每项技术所获利润的平均数;()研发三个月后,中兴为了激励科研人员,决定表彰一部分先进研发小组,分给技术部两个表彰名额.已知该部研发成功六项技术:其中有四个小组研发完成第一类技术各一项,
19、有两个小组研发完成第三类技术各一项.该部决定从这六个小组中随机抽取 2 个小组上报公司进行表彰,求被表彰的两个小组利润之和大于 5 亿元的概率.【答案】()7.276 亿元;()3【解析】()由题意得这 100 项技术中,第 1 类技术有 22 项,每项技术的利润为第 21 题图亿元; 第 2 类技术有 20 项,每项技术的利润为 亿元; 第 38.12.0 6.21.03类技术有 22 项,每项技术的利润为 亿元; 第 4 类技术有 18 项,每项技术的2.41.053利润为 亿元; 第 5 类技术有 18 项,每项技术的利润为4亿元. 48210255分这 100 项技术研发成功后所获利润
20、的平均数:(亿元) 12.802.64.18.21.87606 分()将技术部研发成功第 1 类项目的 4 个小组记为 1,2,3,4,研发成功第 3 类项目的 2 个小组记为 .ba,从这六个小组中随机抽取两个小组的所有抽法为:1,2,1,3,1,4,1, ,1, ,ab2,3,2,4,2, ,2, ,3,4,3, ,3, ,4, ,4, , , ,babab共 15 种. 8 分记“被表彰的两个小组利润之和大于 5 亿元”为事件 ,由(1)知:完成第 1 类技术每个项目A的利润为 1.8 亿元,完成第 3 类技术每个项目的利润为 4.2 亿元.事件 包含1, ,1, ,2, ,2, ,3,
21、 ,3, ,4, ,4, , , ,Aabababab共 9 种. 10 分 ,表彰的两个小组利润之和大于 5 亿元的概率 . 531)(P 312 分【考点】样本平均数和方差,等可能事件的概率21. （原创、中等） (本题满分 12 分)已知椭圆 ： 的离心率 ，直线 被椭圆截得的弦长为C21(0xyab2e1xy34（）求椭圆 的方程 ；（）在圆 : 上任取一点 ，向椭圆 作两条切线与圆O32yxPC交于另两点 ，求证：线段 是圆 的直径ONM,NO【答案】() () 略12yx【解析】（）由 得 ，椭圆方程化为： ，设e2ba 22byx，联立 得 其中21,yxBA221yx ,0-4
22、322x 2 分 3,412bx344322121 bxxAB解得 ，椭圆的方程为 b2y5 分（） 设 则有 即 ,0yxP320yx2020x6 分先考虑一般情况，当斜率存在时，不妨设过点 的切线方程为 ，代入00k,整理得：12yx,224200xykxyxk整理得：160 kx，2020 y8 分依题： ， , 是圆 的直径。 12310021 xxyk PNMO10 分当两直线一个斜率不存在，此时 的坐标为 ,依P12,12, 431 P然满足 PNM综上所述： 是圆 的直径 O12 分【考点】直线与椭圆的位置关系,解析几何基本思想方法22. （原创、难）(本题满分 12 分)已知函
23、数 与函数 的图像有两个交点 .)ln1fx(,gxaR12(,)(,)AxyB()求实数 的取值范围；a（）设 ， ，试探讨 的符号，并证明 ()fhxg120x0()hx【答案】() ；（） 为负a0()h【解析】()由题设方程 在 上有两个实根 ，方程 化为ln1xa,)12,xln1xaln1x设 ，则 ， l()2l()x2 分当 时 ，当 时 ，所以 在 上递增，在 上递01x()01x()0()x0,1(1,)减，3 分所以 ，且有 时 ， 时 ，又当 时，max()(1)10xe()01xe()0x，所以当 时 图像与直线 有两个交点，故 的范围是 0()yaa(,1)5 分（
24、） 为负，证明如下：0()hx因为 ， ，所以 ，有()知 ，所以只需证ln1a2ln()xha002ln()xha0a0lnx00l1x2x设 ，由()知， ， ， 1212e1122ln,lnaxax7 分所以 ，即 ，1212ln()xax1212l()()又 ，即 ，2121l()21nx所以 ，设 ，则211212 21lnln()()lnxxx 21xt所以 12l)ln(tx9 分先证 ，因为 ，ln21t12(1)lnl0tt设 （ ），则 ，所以 在()()ltpt1t 224()()tptt()pt上递增，1,所以 ，所以 成立， 所以 ，可得 ， ()0ptln21t12()lnx12x11 分因为 ，所以 成立，故 为负 1212xx12x0()hx12 分【考点】函数极值、导数应用、数形结合、等价转化、构造函数解决问题等
