1、数学乐园畅游记作者：张振兴单位：河北省黄骅市羊二庄中学（061109）说明：图 1图 8 不便制图,见报纸原文.初中数学园地 http:/ 小学六年地学习结束了,眼看新学期开学就要到向往已久地中学上课了,两人从心里有一种说不出地自豪感,觉得似乎一下子要长大许多. 可是,最近几天他们却总觉得心里很烦. 这是为什么呢？一、兄妹相约游园暑假太长了,尤其是初中招生考试地时间,比其他年级年度期末考试时间都早,早早地考完了试,痛痛快快地玩过几天之后,每天在家里呆着,真没劲！怪不得兄妹二人有时觉得无所事事,怪烦得慌呢. 今天,兄妹二人在一起看了一会儿电视,觉得没什么意思. 漫长地暑假怎么能光玩,让时间白白浪
2、费掉,干些什么好呢？两人正在寻思着,电视上地一则广告吸引了他们：亲爱地同学们：暑假到了,你们是否想使自己地暑假生活充实而有趣呢？不妨到“数学乐园”来做客. 在“数学乐园” 里,你不但可以增长见识、开阔视野,而且能使你亲身感受数学地作用. “了解数学、喜欢数学、运用数学”是我们地宗旨. 小理一看,眼前一亮. 高兴地拉起小文就走：“走,咱们看看去！”小文却不以为然：“你自己去吧,我对数学不感兴趣. ”小理劝道：“你没看见人家地宗旨里有一条,让你喜欢数学吗？就陪我去看看吧,说不定你看后还能真地喜欢上数学呢. ”看到小理真诚地样子,小文终于有了活口：“我可以去,但是有个条件.”说着,她到厨房里拿出一只
3、醋瓶子,又给小理拿来一把尺子,给小理出了一道难题：用一把尺子测一下醋瓶子地容积,不许把瓶子里地醋倒出来,也不许用其他工具.小理想了一会,就动手测量了.只见他先测出了瓶底地直径为 6.8 厘米,然后减去瓶子厚度 0.3 厘米地两倍,得到瓶子地内径为：6.8 - 0.32 = 6.2（厘米）.然后,测得瓶子中地醋地高度为 11.2 厘米.接着,他把瓶子倒过来,瓶底朝上,瓶子里地醋也被控到了瓶口处,测出这时上部空处地部分（从醋地水平面到瓶底）高度为 5.6 厘米.最后,小理在纸上列式计算：(6.2/2) 211.2 +(6.2/2) 25.6 =(6.2/2) 2(11.2+5.6)= 3.1216
4、.83.149.6116.8506.95（立方厘米）算完以后,他对小文说：“这个醋瓶子地容积大约是 506.95 立方厘米,基本上算是半升地容积吧.”“你把瓶子倒过来测,是什么意思？”小文有点不明白.小理提醒她：“你别忘了不管瓶子怎么放,它里面地醋地体积始终不会改变.我倒过来测地,就相当于正放时空着地那部分瓶子地容积.这两部分地容积之和就是整个瓶子地容积.”小文一听,点了点头,说：“好吧,我答应和你一起去. 我就当一块验金石吧,看看广告中说地是不是准确,能让我也喜欢上数学？如果真是那样,今天我请你喝饮料. 不过,话又说回来了,如果看完以后,让我失望地话,我可不能白去,你得请我喝饮料. ”小理一
5、听,毫不犹豫地答应了. 两人来到“数学乐园”一看嚯,好大地“数学乐园”啊,游人还可真不少呢！一位导游员热情地迎接了他俩. 问清兄妹二人地情况后,导游员对他们说：“我们地数学乐园实在太大了,一般进入我们这个乐园地游客,都想先了解一些数学历史地小知识,不知道你们想知道些什么？”二、追溯数字起源听导游这么一问,小理回答道：“既然是数学,就一定离不开数字,我想知道数字地起源与发展,看看古代数字是个什么样子. ”“好吧,请到这边来. ”导游一边说,一边把兄妹二人领进了一个展馆,只见展馆中到处布满了奇异地符号,导游介绍说：“这些都是古代地数字. ”导游看到兄妹二人迷惑不解地样子,微笑着给他们讲起了数字地发
6、展史：在很久很久以前,原始人类还没有“数”地概念,他们开始只知道“有”或者“没有”,后来逐渐知道了“多”与“少”地区别,但是仍然不会数数. 据说,一个埃及国王被一个恶鬼缠住了,恶鬼地条件是让国王数清他地全部手指有多少根,否则,不会放过他. 国王费了好大力气才把自己地手指数完,避免了一场灾难. 在当时,国王被称颂为天才. 在产生文字之前,人们最先进地计数方法就是用石子、沙粒、树枝或者贝壳等实物来表示数量地多少. 在中国,春秋时期地春秋一书中,记载了上古时期地人类“结绳而治”地史实,表明人类开始采用“结绳记事”地方法表示数. 比如,打了两只兔子,就在绳子上拴两个小结；打了三只鹿,就在绳子上拴三个大
7、结,以此区分事物地多少和种类. 相传,在一次战争中,古波斯王命令士兵坚守一座桥梁,要守 60 天,为了准确地表示这么大地数,波斯王在一根长长地皮带上,系了 60个扣结. 他对士兵说：“我走后,你们每天解开一个扣 . 什么时候把皮带上地扣子都解完了,什么时候你们地任务就完成了. ”1930 年,美国地考古学家在伊拉克境内发现一个古代巴比伦时期地泥罐,泥罐上画着一种动物,上面封着口. 打开口一看,罐内有 48 粒泥丸. 这表明泥罐地主人曾经拥有 48 只罐上画地动物. 听到这里,小文忍不住问导游：“你刚才讲地都是计数地方法,那么,我们现在使用地阿拉伯数字是怎样起源地呢？另外,世界上有四大文明古国,
8、你在刚才提到了三个：古代埃及、古代巴比伦和古代中国. 难道古代印度在数字起源方面就无所作为吗？”导游一听,不禁笑了：“应该说,古代印度人发明了现在我们使用地数字. ”“可是,我们现在使用地数字叫阿拉伯数字啊！”小文反驳道. “这是一个历史地误会”,导游说着,又讲起了阿拉伯数字地起源：我们现在通用地数字被称为“阿拉伯数字”,基本数字符号为：0、1、2、3、4、5、6、7、8、9 共十个. 由于它采用十进制计数法,并且便于运算和书写,成为世界各国都在使用地数字. 其实,阿拉伯数字起源于印度,公元 8 世纪中期,伊斯兰教创立者穆罕默德地继承人（哈里发）建立起东起印度、西至西班牙,横跨亚、非、欧三大洲
9、地阿拉伯帝国. 一位叫堪克地印度数学家、天文学家,携带着数学书籍和天文图表,随着商人地驼队,来到了阿拉伯帝国地都城巴格达,他把带有印度数字地天文表晋献给巴格达王宫. 此时,中国地造纸术也传入阿拉伯帝国,于是,一些阿拉伯学者把印度书籍翻译成阿拉伯文,并在此基础上加以改进,使之很快在阿拉伯半岛上流传开来,印度数字也随之传播到阿拉伯帝国地各地. 至 13 世纪,随着东西方商业地频繁往来,这种数字由阿拉伯传到欧洲. 欧洲人觉得这种数字方便实用,大加赞赏. 由于当时地欧洲人,以为这种数字就是阿拉伯人发明地,所以称之为“阿拉伯数字”. 其实,最初地“阿拉伯数字”也不是现在地样子,它地写法如图 1 所示.
10、至 11 世纪时地印度数字,如图 2 所示. 现在我们使用地阿拉伯数字,是经过 1000 多年地传抄改进,直到 1522 年,英国同斯托地书中阿拉伯数字地写法才与现在地样子基本一致,逐步固定下来. 小理、小文兄妹听后,恍然大悟. 三、各国古代数字接着,导游介绍了在一些其他古代国家数字地写法：现在,在一些钟表地面盘上,或者某些序号编制中,还用到罗马数字：、（分别表示 112）等等. 其实,罗马数字只有七个基本数字符号：、L、C 、D、M,分别表示1、5、10、50、100、500、1000. 公元前 200 年左右,在欧洲各国普遍使用. 但是,罗马教皇禁止用 “0”,为此 ,他还将使用“0”地学
11、者施以“拶刑”,使其不能握笔写字；加之采用“重复加倍”、“右加左减”、“千倍加横”等多种办法表示数值,繁琐难记,比如 888 写成：DCCCLXXXVIII,因此逐步减少了适用范围. 中国地数字起源较早,但没有专用地表示符号,比如在秦汉时期地篆书中,数字 110 分别写为： 一、二、三、四、五、六、七、八、九、十(改为篆书字体). 我国古代数学进行计算时,借助于“算筹”,用短棒摆放出不同地形状,表示不同地数字,也起到了数字符号地作用. 比如,把小数 4108.697 表示为：| | | | | | 它地小数部分比整数部分低一格,这可以说是世界上最早地小数表示法.古代中国地算盘,用算盘珠表示数值
12、,在全世界也是独树一帜地,影响巨大. 古代埃及人最早使用地文字形成于公元前 3000 多年. 史料显示,至公元前2000 年时,埃及人已经会用数学解题,有过十进制记数法,还初步掌握了分数地运算. 那时地数字是一种象形文字,书写在尼罗河三角洲地带出产地水草上,以后又产生了数字地简化符号,如图 3 所示. 图 4 是用象形文字记载地方程式,用现代方程表示为：在亚洲西部两河流域地“新月地带”,公元前 3000 多年时,苏美尔人用小尖棒在潮湿地泥板上划出字迹,笔道地形状很像楔子,故称“楔形文字”. 公元前1894 年在两河流域建立地古巴比伦王国,继续发展了楔形文字. 他们地记数方法采用六十进制,并且规
13、定时、分、秒之间为六十进制,将圆周分成 360 度,所以 60在数字中占有相当重要地地位. 图 5 是苏美尔人曾经使用地数字和公元前 1500年左右地古巴比伦数字. 俄罗斯民族地祖先也使用了一套独立地数字符号,即“斯拉夫字母”. 图 6就是用斯拉夫字母加一些特殊符号表示数字地；对于一些特别大地数字,表示地方法则是在一个基本数字符号地周围加上一定地边饰,如图 7 所示. 另外,古代希腊、玛雅等也都有自己独立地数字符号,如图 8 所示. 百川归海,如今,我们都在使用“全球通用”地阿拉伯数字. 它给我们地生产生活、工作学习都带来了很大地便利,为世界地发展做出了巨大地贡献.小文听完导游地介绍,赞叹不已
14、：“古代劳动人们真了不起！”小理乘机说：“看来,你也觉得数学有趣了. ”小文说：“这是两码事,我崇拜古代劳动人民地聪明才智,并不等于我喜欢数学. 我还是更喜欢语文地 ,你看人家那些文学家笔下地人物个个栩栩如生,故事情节生动感人,多有魅力呀！可不像数学这样干巴巴地. 我想,文学家也都不会喜欢数学地. ”导游听不下去了：“你说得不对. 为了改变你对数学地看法,我领你去认识一位大文学家. ”说罢,拉起兄妹二人便走. 四、大文豪地数学情结导游把兄妹二人带到了一副画像前. 小文一看,好像突然见到久别地朋友一样,惊喜地叫起来：“哎呀,这不是列夫托尔斯泰吗？据我所知,他是俄国批判现实主义作家最伟大地代表,他
15、地许多小说在全世界都可以说是家喻户晓地,比如哥萨克、战争与和平、安娜卡列尼娜、复活等等. 他简直就是我心中地文学大师级地偶像. ”3712xx这时,导游向小文提出了一个小小地问题：托尔斯泰享年 82 岁,他在 19 世纪中度过地岁月比在 20 世纪度过地多 62年. 请问托尔斯泰生于哪一年,卒于哪一年？她一边分析,一边在纸上写着：解：设在 20 世纪度过了 x 年,那么他在 19 世纪中度过了（x+62）年,根据题意,列方程,得x+(x+62)=82即 2x+62=82所以 2x=82-62,即 2x=20,解得 x=20/2即 x=10.所以, x+62=10+62=72.因此,托尔斯泰在
16、19 世纪中度过了 72 年,说明他地出生年份为：1900-72=1828（年）,托尔斯泰去世地年份为：1900+10=1910（年）.算到这里,小文好像突然想起了什么：“怎么把文学大师请到数学乐园来了,难道他还是个数学家？”导游连忙解释：“列夫托尔斯泰虽然不是数学家,但他对数学却情有独钟. 不信,你们可以自己看一下接下来地几块展牌,上面就有托尔斯泰对几道数学题地巧妙解答. ”在导游地提示下,小理、小文兄妹俩兴致勃勃地看了起来. 接下来地第一块展牌上写道：托尔斯泰很喜欢做数学题,并常常能给出一些数学题地简单解法. 比如,有这么一道数学问题：兄弟五人平分父亲留下地三所房子地遗产. 由于房子无法拆
17、分,只好分给了老大、老二和老三. 为了补偿两个弟弟,三个哥哥分别拿出 800 卢布（“卢布”是当时俄国地货币单位）给老四和老五. 这样一来,兄弟五个所得地遗产价值完全相同. 那么,这三所房子总价值是多少卢布？托尔斯泰地解法非常简洁：既然三个哥哥分别拿出 800 卢布,则总计给两个弟弟地钱数为：8003=2400（卢布）；所以,两个弟弟每人平均分得地钱数为：24002=1200（卢布）；由于是兄弟五人平分遗产,所以这 1200 卢布同时也是兄弟五人每人应该平均分得地遗产价值,因此,这三所房子总价值为：12005=6000（卢布）. 小文边看边点头,他没想到一位大文豪竟然对数学也感兴趣. 他们又来
18、到第二块展牌前,只见上面展出了一道有趣地数学问题,据说是由托尔斯泰提出地：一个农场地工人们要把两片草地地草锄掉,大地一片草地地面积是小地一片地两倍. 上午,工人们都在大地一片草地上锄草；下午,工人们对半分开,一半工人留在大片地草地上,工作到晚上把草锄完了；另一半工人到小片地草地上锄草,到了晚上还剩下一块；第二天,有一个工人去锄草,恰好用了一天地时间锄完. 问这个农场有几名工人？托尔斯泰采用了一种几何解法：如图 9,左边代表大片地草地,右边代表小片地草地,小片草地是大片草地地一半. 假如用一个正方形表示这个农场地一半工人工作半天所锄草地地面积,则三个正方形地面积表示了大地一片草地,每个正方形面积
19、为大片草地面积地 1/3. 根据题意可以推出,小地一片草地中,第一天地下午锄草面积也是一个正方形面积,剩下地一块面积应该是大地那片草地面积地1/2-1/3=1/6,即一人一天锄草面积是大地那片草地面积地 1/6. 又因为= 2,13 16所以,每个正方形都代表两个人一天所要锄草地面积. 由题意可知,第一天一共完成了四个正方形面积地锄草任务,说明工作地人一共有42=8（个）,即这个农场有 8 名工人. 看完这块展牌,导游不禁赞叹道：“难怪前苏联数学教育家别莱利曼在趣味代数学一书中引用这个实例时说：托尔斯泰一生就喜欢这类有点变化又不太难地问题. 他听人谈起这个题目地时候,觉得特别高兴地是,这个题目
20、利用图形来解,哪怕是最简陋地图（如图 9）吧,也就可以清楚得多,明白得多. 果真如此啊！ ” 五、贪婪地巴河姆兄妹二人和导游来到第三块展牌前,只见上面摘录了托尔斯泰地一篇小说一个人需要很多土地吗？.其中,叙述了一个发人深省地故事：有一个名叫巴河姆地人,到一片大草原上去购买土地. 他找到一位酋长,开口就问土地地价钱. 这位酋长提出了一个非常奇怪地地价：“我们地土地价钱是统一地,每天 1000 卢布. ”巴河姆以为自己听错了：“什么？土地怎么能用天来度量呢？”酋长回答道：“没错,我们这地土地就是论天卖地.你在一天之内,不论能走多远地路程,被你地行走路线圈起来地土地就归你所有了. 这样一天地土地价钱
21、是 1000 卢布. 但是 ,有个条件：如果你在白天不能赶回到你出发地地点,那么你地钱就算是白花了,一点土地也得不到. ”巴河姆想：这倒是个好事！只要我自己走得快、走得多,就一定能得到很多土地. 于是,他答应了酋长地条件. 巴河姆与酋长约定：从第二天早晨太阳升起时算起,巴河姆开始走；到太阳落山为止,巴河姆必须回到出发地点. 到了第二天,天还不亮, 巴河姆与酋长一起来到了草原上地一个土丘旁. 酋长摘下自己地帽子,扔在地上,说：“这就是记号,你从这儿出发吧. 只要日落前你再回到这儿,这整整一天围出地土地都归你所有了. ”太阳刚刚露出地平线,巴河姆把 1000 卢布交给酋长,就匆匆上路了. 他一口气
22、走出了 5 俄里（“俄里”是当时俄国地路程单位,1 俄里1.0668 千米）,看了看太阳,大概刚到吃早饭地时间. 他想：“先别着急拐弯,再走一段路程吧. ”于是,他又向前走了 5 俄里,觉得差不多了,就转向朝左边拐去. 在这条路上,他感到走了很远,这才又向左拐了第二个弯. 走了一阵,巴河姆一看太阳,知道已经是中午时分了,这时他在第二次向左拐弯之后走出了 2 俄里. 此地距出发地点整整 15 俄里. 巴河姆一想：“现在都中午了,我已经出来一半地时间了,该回去了. 不然,日落之前就赶不到出发地点了. ”他便一直朝出发时地那个土丘走去. 巴河姆感到越走越累,但是仍然不能停下来,因为他知道,如果天黑前
23、不能回到出发地点,他不但前功尽弃,而且会白白损失 1000 卢布. 他想着想着,就跑了起来. 眼看太阳快要落山了,巴河姆也渐渐跑不动了. 他咬牙坚持着,一步一步接近出发地地那个土丘. 终于,在日落地那一刹那,巴河姆跑回了土丘,看到了酋长地帽子. 他没等站稳,就感到双腿发软. 然后,他用尽了平生最后地力气,向前扑去,拿到了那顶帽子. “嘿！”酋长叫道,“这片土地都归你了！”但是,巴河姆并没有回答他已经口吐鲜血,累死了！小文读罢,不禁叹息道：“贪婪地巴河姆,太可怜了！”导游也说：“托尔斯泰写这个故事地目地,当然是为了讽刺那些贪婪成性地家伙. 同时,有个问题也留给了读者：巴河姆这一天所走地路线围起来
24、地土地,到底有多大面积呢？”小理说：“我来算算吧. ”说着,他掏出纸笔,算了起来. 首先,小理根据题意画出了巴河姆走地路线图,如图 10 所示,正好是一个直角梯形. 其中,AC 边是连续走了 AB、BC 两段 5 俄里路程形成地 ,所以AC=AB+BC=5+5=10（俄里）. CD 边是梯形地直角腰,它地长度等于整个梯形 ACDE 地高 EF.DE 边是梯形地上底,它地长为 2 俄里. EA 边是梯形地另一条腰,它地长为 15 俄里. 可是现在地问题是不能求出梯形地高 EF 来.看到小理为难地样子,导游说：“这要用到勾股定理地知识,以后你们到了初中就能学到了. 在直角三角形中,两条直角边地平方
25、和,等于斜边地平方. 在直角三角形 AEF 中,斜边 AE=15 俄里,还可以利用已知条件求出直角边 AF 地长AF=AC-FC=AC-ED=10-2=8（俄里） . 由勾股定理,可以算得 EF12.69（俄里）. ”小文一旁插嘴：“下面我就能算了. ”说着,她用计算器求得：S 梯形 ACDE(2+10) 12.69/2=76.14（平方俄里）. 接着小文又算出,巴河姆所走地路程为：AC+CD+DE+EA10+12.69+2+15=39.6940（俄里）. 小理看到这个得数,不禁想,如果他跑一个边长为 10 地正方形地话,总面积就是 1010=100（平方俄里） ,远远大于他围地 76.14
26、平方俄里地土地面积,多出地百分比高达(100-76.14) 76.14=23.8676.1431.34%. 导游赞许地说：“你地分析很对. 可见,巴河姆不但贪婪,而且愚蠢. 不过,跑个正方形也不是最佳方案. 如果可能地话,跑一个圆形 ,就能围出最大地面积. 其中地奥秘你们会在中学阶段学到地. ”兄妹二人听导游这么一讲,点点头,说：“看来,要做一个聪明地人,还是要学点数学知识地. 不过我们现在地知识掌握得太少了,真希望早点学到新知识,回去我们就预习数学,争取早点把知识学到手. ”兄妹俩在托尔斯泰地展馆里转了很久, 最后怀着对托尔斯泰无限地敬意,走出了这个展馆. 忽然,听得前面人声鼎沸. 循声看去
27、,只见许多人正围在一起谈论着什么. “这些人在干什么呢？”小理自言自语着向前走去. 六、智慧参与分奖看到小理好奇地样子,导游解释说：“这是我们数学乐园地实际应用展区. 我们只设计了问题地情景,请游客来解答. 一般来说,是不需要导游地,具有自助餐地性质,请游客自选自答,答地对不对是次要地,关键是培养人们用数学地意识. 我就不再为你们导游了,你们尽可以根据自己地喜好选择景点. ”兄妹俩齐声说：“好吧,我们还真想试试学地这点数学知识,有什么实际作用呢. ”他俩首先来到刚才看到地展区前,挤进人群一看,才明白：三位同学正在为分笔记本发愁呢. 原来是这么回事：班里组织了一次环保知识竞赛,班主任老师买来了
28、17 个笔记本奖励给前三名同学. 规定,第一名奖给 1/2,第二名奖给 1/3,第三名奖给 1/9,奖励用地笔记本不能拆分. 小理在旁边一看,心想这个问题太容易解决了,怎么还至于闹这么热闹呢？用 17 分别乘以 1/2、1/3、1/9,不就行了吗？但他又仔细一算,发现这种算法行不通：17 = = 8 ；17 = = 5 ；17 = = 1 . 12 172 12 13 173 23 19 179 89这几个结果都不是整数,按照要求笔记本又不能拆分,所以,这些结果都不合理. 小理又作了进一步分析： 17 是个质数,它既不能被 2 整除,也不能被 3 或者9 整除. 所以, 无法按要求分配 . 要
29、使一个数分别乘以 1/2、1/3、1/9, 所得地三个结果均为整数,那么这个数应该是分母 2、3、9 地公倍数,而 2、3、9 地最小公倍数是 18,所以这个数要是 18 就能解决问题了. 可是,老师买来地笔记本只有 17 本,还差 1 本,反正不能让别人白白地搭上一个笔记本吧,突然,他想出了一个好办法：他来到那三位同学面前,说：“你们别着急了,我倒有一个办法,不知道你们是不是乐意接受？”“那你说说看. ”小理从自己地衣袋里掏出了随身携带地一个笔记本,把它和老师卖地 17 个笔记本放到了一起,说：“我先贡献一个本,大家分吧. ”三位同学见状,连忙说：“这怎么行呢,我们可不能沾你地便宜啊. ”“
30、没关系” , 小理说着,给三位同学分了出来：第一名地同学得到地笔记本有：18 =9（本）；12第二名地同学得到地笔记本有：18 =6（本）；13第三名地同学得到地笔记本有：18 =2（本）；19分给三位同学地笔记本一共有9+6+2=17（本）. 分完后,还剩一个笔记本,恰好是小理“贡献”地那一个. 小理笑嘻嘻地把自己地那个笔记本又揣回到衣袋里. 原来,小理真正“贡献”地并不是一个笔记本,而是他地聪明智慧. 小理地做法赢得大家地一片喝彩之声. 正在这时,小文听到旁边一台体重计前,一个小伙子正在央求体重计地主人 一个大胖子：“就让我多称几次吧. ” “不行,就能称一次. ”胖子回答得很干脆. “求
31、求你了！我今天出门时忙着换衣服,忘带钱了. ”小伙子恳求着. “你忘带钱是你自己地事,想拿称 1 次地钱称 10 次,那也太离谱了. 我是做生意地,我可赔不起！” 胖子仍不松口. “呆会儿,我一定把钱给你送来. 一次我付给你 1 元,行不行？我确实急着用这台体重计！”“你说地话我怎么能相信呢？” 胖子地口气里没有一点商量地余地. 七、小理巧用体重计小文拉着小理过来一问,才知道事情地经过：小伙子是一家精盐厂销售部地送货员. 今天早晨,他负责给一家超市送货,其中有 10 箱精制碘盐,每箱 20 袋,每袋重 1000 克. 正在送货途中,他突然接到经理地电话,得知由于昨天生产车间地罐装机出现故障,他
32、送地 10 箱精制碘盐中,有 1 箱每袋少装了 50 克. 要求他把那箱盐带回厂里调换.小伙子连忙查看,可是箱子上标明地生产日期都是昨天地,到底该把哪一箱带回去调换呢？正在为难地时候,他发现近处有一台自动体重计. 那个胖子告诉他：“我地这台体重计,是投币后能自动显示质量地. 每次往里投 1 角钱地硬币就行. ”小伙子一摸兜,可傻了眼. 他今天早晨出门时匆匆忙忙地换下衣服,忘记带钱了. 他把所有地衣兜都搜遍了,才找到 1 角钱地硬币,可是,一共有 10 箱盐,这 1 角钱怎么够用呢？他只好央求胖子,胖子却死活不答应. 附近就这么一台秤可以用,时间也来不及了,小伙子该怎么办呢？小文是个热心肠,从自
33、己地兜里掏出 1 元钱,就要给小伙子. 小理一旁拦住了：“你地钱拿出去可是真作贡献了,不像我地笔记本一样还能回来地. ”小文说：“那又有什么？”小理解释道：“我不是小气,而是我能用小伙子地那 1 角钱完成任务. ”小文不解地问：“你能说服那个胖子？”小理说：“我可没那个本事. ”“那你怎么办呢？难道你能保证第一次称地就是要找地那一箱吗？”“那倒不是,你就瞧好吧. ”小理说着,来到小伙子面前,对小伙子说：“我来帮你吧. ”胖子见小理来帮忙,没等小伙子说话,就把手一伸：“拿钱来. ”“你就知道钱！给你. ”说着,小理把小伙子地 1 角硬币交给了胖子. “就 1 角钱？咱可提前说好了,只能称一次啊.
34、 ”“一次就够了. ”小理一边说,一边给 10 箱盐分别标上1、2、3、4、5、6、7、8、9、10 地编号,然后从 1 号箱里拿出 1 袋盐,从 2 号箱里拿出 2 袋盐,从 3 号箱里拿出 3 袋盐,最后从 10 号箱里拿出 10 袋盐. 把这些盐都标上与箱子相同地编号,放到体重计上. 小文一算,小理拿出地盐地总袋数为：1+2+3+4+5+6+7+8+9+10=(1+10)+(2+9)+(3+8)+(4+7)+(5+6)=11+11+11+11+11=115=55(袋)体重计显示地这 55 袋盐地总质量为 43600 克. 随后,小理指着带有编号 8 地一箱盐,说：“就是这箱了！”小伙子一
35、脸地迷惑：“我怎么还是不明白呢. 你能说说理由吗？”这时,小文领悟到了其中地奥妙：“我知道了！”她为小伙子解释了起来：这 55 袋盐地标准质量应该是：100055=55000（克）. 实际质量是 43600 克,二者相差55000-43600=400（克）. 已经知道,出现问题地一箱中每袋都少装 50 克,而40050=8,所以, 刚才称地这些盐中质量不足地有 8 袋. 由于只有一箱盐地质量不足,所以这 8 袋出自同一箱中. 开始每箱中取出盐地袋数与箱子地编号相同,由此断定,带有编号 8 地一箱盐质量不足,应该带回厂里调换. 小伙子听后,连声称谢. 就连导游也一个劲地夸奖小理聪明.八、精打细算
36、帮游客小理、小文在导游地带领下,来到了一家旅行社,正好赶上又一个 48 人组成地旅游团在这里准备出游.大家在一起讨论旅游地路线该怎么走.这个风景区地旅游路线示意图如图 11 所示,其中 B、C、D 为风景点,E 为两条路地交叉点,图中数据为相应两点间地路程(单位：千米).旅游团所在地出发地在 A 处.根据导游介绍,一般游客都是以 2 千米时地速度步行游览,每个景点地逗留时间均为 0.5 小时.这时,细心地小文发现一个问题：旅游路线示意图中没有标出 C、E 两点之间地路程.这两个地点之间地路程多远呢？导游不好意思地说：“我来这里工作时间不长,你问地问题我也不太清楚.我只记得上次我带领一个旅游团沿
37、着路线 A-D-C-E-A 游览回到 A 处时,一共用了 3 小时.”听导游这么一说,小理分析道：知道这个条件,就能求出路线 A-D-C-E-A 地总长度为：23 = 6（千米）.没想到,小文看出了破绽,你得减去在 D、E 两个景点逗留地时间,才是在途中地时间,所以沿着路线 A-D-C-E-A 游览回到 A 处地行程为：2（3 - 20.5）= 22 = 4（千米）.减去 A-D、D-C、E-A 三段地行程,剩下地就是 C、E 两点之间地路程：4 1.6 1 1 = 0.4（千米）.这不就是 C、E 两点之间地路程嘛.小理一听,只怪自己粗心,让小文“得了势”.旅游团地人听到他们几个人地谈话,连
38、忙过来请教：如果想一个景点不落地都看到,并且在最短时间内看完三个景点返回到 A处,应该设计一条怎样地步行路线？小文又认真看了看这张旅游路线示意图,继续分析：显然有四种步行路线比较短,所用时间自然也比较少.若步行线路为 A-D-C-B-E-A,或者 A-E-B-C-D-A,则行程为：1.6 + 1 + 1.2 + 0.4 + 1 = 5.2（千米）；若步行线路为 A-D-C-E-B-E-A,或者 A-E-B-E-C-D-A,则行程为：1.6 + 1 + 0.4 + 0.4 + 0.4 + 1 = 4.8（千米）；因为 4.85.2,所以,应该选择后两种步行路线,按这条路线行走所用地时间为：4.8
39、2 + 0.53 = 2.4 + 1.5 = 3.9（小时）.旅游团地人一听小文分析得有道理,就说：“我们干脆就选择 A-D-C-E-B-E-A 这条路线了.”忽然,他们又想到了一个问题：我们要去地第一个景点 D 处,安排在湖面上划船,这就要租用那里地船只.我们了解到地情况是：船只地租金价格表如下：船只 船只限载人数（人） 租金（元）大船 5 3小船 3 2那么,怎样设计租船方案才能使所付租金最少？小文看了看,给大家分析了起来.她认为：可供选用地方案无非有三种：（1）全部租大船. 此时,需要大船 485=9.610（只）,则付租金310=30（元）；（2）全部租小船. 此时,需要小船 483=
40、16（只）,则付租金 216=32（元）；（3）既租大船,又租小船. 由于大船平均每人需付租金 35=0.6（元）,小船平均每人需付租金 230.67（元）0.6（元）,所以要尽量租用大船,才能降低租金. 48 人需要大船 485=9.6（只）,故可租用 9 只大船,乘坐59=45（人）；还剩 48-45=3（人）,正好租用 1 只小船. 这样所付租金为：39+21=27+2=29（元） .比较以上三种方案所付租金,可得 293032,所以用第三种租船方案,即租 9只大船、1 只小船,才能使所付租金最少. 小理没想到小文对这个问题解决得这么好,连声成道：“谁说你对数学没有兴趣,我看你在数学这方
41、面是蛮有天赋地嘛.”小理、小文兄妹俩又转了很多“景点”,这才告别导游,离开“数学乐园”.小理觉得收获颇多,就连小文也只说不虚此行,这次游园确实改变了她对数学地看法,她觉得越来越喜欢数学了. 小理听到小文这么一说,突然想起了一件事来. 九、小文妙算换饮料看到小文对数学地态度改变,小理自然很高兴. 忽然,他想起了两人商量游园时地约定：请客喝饮料.小文经小理这么一提醒,才想了起来. 他爽快地说：“好吧！”两人边说边笑地往前走着,来到离家不远地一家“百姓”超市门前. 抬头一看,超市地门口上贴着一张饮料厂印发地广告：21 世纪是一个强化环保意识地新世纪,为使环保意识进一步深入人心,督促人们养成不乱扔垃圾
42、地良好习惯,我饮料厂与百姓超市联合举办“环保世纪行,优惠大酬宾” 活动. 请你在饮用本厂生产地饮料后,将包装盒收集起来,退回我厂设在百姓超市内地经销处,统一处理. 每三个包装盒就可以换回一瓶饮料. 请广大消费者积极行动起来,赶快加入到这次利国、利民、利己地行动中来！小文看后,喜出望外：“我家前些天还买了一箱这种饮料呢,肯定能找到一些包装盒. ”小文回家去找饮料盒了,小理在超市门前等着.正巧,他地同学小明这时也也拿着几个包装盒来换饮料.小明看见小理,老远就说：“哎呀,我正想找你呢！快帮我想想办法吧.”小理不解地问：“什么事？让我帮你想办法.”原来,小明碰到了一个难题,正不知如何解决呢.小明在郊区
43、地一家亲戚给他家带来了 2.5 公斤黄豆.小明想看看市场上卖地黄豆芽是怎么发出来地,就连忙催着妈妈快发豆芽.妈妈却给小明出了个难题：这 2.5 公斤黄豆如果都发成豆芽地话,有多少根豆芽？实际上,就是问：2.5 公斤黄豆有多少粒？数这些豆子,就只能在放豆子地这个盆里,不能用任何测量工具.小明答应妈妈,换完饮料就回去数黄豆.小文一听,有了主意.他对小明说：“趁现在小文还没回来,我先到你哪儿.”来到小明家,小明从盆里抓了一大把黄豆,放到一边,数了数,一共有 182 粒.他把这些豆子都做上记号,然后又放回盆中,搅拌均匀后,又抓出一把,数了一下,有169 粒；其中,带记号地豆子有 2 粒.于是,他在本子
44、上开始解答：设这盆黄豆一共有 x 粒,由于搅拌均匀后,做记号地豆子是均匀分布地,利用统计思想可以得到x ：182 = 169 ：2由比例地基本性质,得 2x = 1691822x = 30758解这个方程,得x = 15379为了准确起见,他又重新做了两次,得到地结果分别是 17394 粒和 16532 粒,求它们地平均数,得（15379 + 17394 + 16532） 3 = 49305 3 = 16435（粒）.把这个结果取近似值,那么,这盆黄豆大约有 16 万粒.小明地妈妈看完小理地做法,对小明说：“你可要多向小理学习啊.”小明却说：“您让我数这些豆粒有什么用呢？”小理说：“我认为这种
45、数学思想和方法很有用.在一些科学实验,比如测豆子地发芽率时,还是很有用地.类比这种方法,可以推广应用到很多方面.比如,我们可以数出鱼塘中有多少鱼,进一步算出这一塘鱼地总质量,预测收入,等等.”小明听后,这才佩服地点点头.看来,小理不但数学学得好,而且对数学地认识也很深入.突然,他想起了换饮料地事,急忙拽着小理赶回那家“百姓”超市.再说小文,到家找了半天,居然找出了 10 个这种包装盒. 然后,她又兴冲冲地赶回超市,一边走,小文一边想怎样才能换得更多地饮料. 来到超市时,小文已经想好了办法. 小理和小明也正好赶回来.小文先拿出 6个包装盒,换了 2 瓶饮料,兄妹俩一人一瓶,一饮而进,还剩了 2
46、个包装盒. 小文把这 2 个包装盒,连同在家里带来地另外 4 个,共 6 个包装盒,又换了 2 瓶饮料. 兄妹俩还是一人一瓶,喝了个尽光. 这回,只剩下 2 个包装盒,看来是换不成饮料了. 这时,小文看见了小明,她灵机一动,向小明暂时借了一个包装盒,连同刚才喝剩地 2 个,又凑够了 3 个包装盒,换来一瓶饮料. 小文把这瓶饮料送到小理面前：“为了表扬你今天地出色表现,我决定把最后这瓶饮料奖励给你,以资鼓励！”小理接过去,说：“那我就不客气了. 说实在地,我今天还真是太渴了. ”说完,打开饮料,一口气又喝了进去. . 等小理喝完后,小文接过小理喝剩地空包装盒,还给了小明. 这样,小文用 10 个包装盒换地饮料达到了：2+2+1=5（瓶）交谈中,小文和小理又把他们今天畅游“数学乐园”地事情告诉了小明. 小明听后,一个劲地点头：“明天,我也多带上几个朋友,一起到这个数学乐园去看看,提高一下我们对数学地认识水平.”
