1、 第二章 函数与导数第 1 课时 函数及其表示 (对应学生用书(文)、(理)9 11 页) 本节是函数部分的起始部分，以考查函数概念、三要素及表示法为主，同时考查学生在实际问题中的建模能力. 本节内容曾以多种题型出现在高考试题中，要求相对较低，但很重要，特别是函数的解析式仍会是 2019 年高考的重要题型 理解函数的概念，了解构成函数的要素. 在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法( 如图象法、列表法、解析法)表示函数. 了解简单的分段函数，并能简单应用1. (必修 1P26 练习 3 改编)下列对应关系中_是函数 (填序号) AR ，BR，对于任意的 xA ，xx 的算术平方根； A1
2、，2，3，4，5，B0，2，4，6，8 ，对于任意的 xA，x2x； x x，xR；12 xy，其中 y|x|，xR，yR； xy，其中 y 为不大于 x 的最大整数，xR ，yZ.答案：解析：均符合函数的定义，对于集合 A 中的元素 5，在集合 B 中找不到元素与之对应2. (必修 1P26 练习 4 改编)下列各组函数中，表示同一函数的是 _( 填序号) yx1 和 y ； yx 0 和 y1； f(x)x 2 和 g(x)(x1) 2； f(x)x2 1x 1和 g(x) .（x）2x x（x）2答案： 解析：只有表示同一函数，与中定义域不同，是对应法则不同3. (必修 1P31 习题
3、1 改编)设函数 f(x) .若 f(a)2，则实数 a_41 x答案：1解析：由题意可知，f(a) 2，解得 a1.41 a4. (必修 1P31 习题 8 改编)已知函数 f(x)由下表给出，则 f(3)_x 1 2 3 4f(x) 3 2 4 1答案：4解析：由表中函数值得 f(3) 4.5. (必修 1P36 习题 3 改编) 已知函数 f(x)在 1，2上的图象如图所示，则 f(x)的解析式为_答案：f(x) x 1， 1 x 0， 12x，00，f ：xy|x| ； Ax|x2，xN *，By|y0，yN ，f ：xyx 22x2； Ax|x0 ，B y|yR，f ：xy ；x A
4、| 是三角形的内角 ，By|yR ，对应法则：ytan ； Am|mZ，B y|y 0 或 y1 ，对应法则：y 0， m 2n， n Z，1， m 2n 1， n Z；)答案：解析： 集合 A 中的零元素，在集合 B 中没有相应的对应元素 按照对应法则，满足题设条件 一对多，不满足映射的概念 A，但 的正切值不存在， 此对应不是从集合 A 到集合 B 的映射2 2 集合 A 中的每一个元素在集合 B 中都有唯一的元素与之对应， 此对应是从集合 A 到集合 B 的映射点评：判断对应是否为映射，即看 A 中元素是否满足“每元有象”和“且象唯一” ；但要注意： A 中不同元素可有相同的象，即允许多
5、对一，但不允许一对多； B 中元素可无原象，即 B 中元素可以有剩余备 选 变 式 （教 师 专 享 ）已知映射 f：AB，其中 ABR ，对应法则 f：xyx 22x，对于实数 kB ，在集合 A 中不存在元素与之对应，则 k 的取值范围是_答案：(1，)解析：由题意知，方程x 22xk 无实数根，即 x22xk0 无实数根 4(1k)1 时满足题意, 2 函数的解析式), 2) 求下列各题中的函数 f(x)的解析式(1) 已知 f( 2)x4 ，求 f(x)；x x(2) 已知 f lg x，求 f(x)；(2x 1)(3) 已知 f(x)是二次函数，且满足 f(0)1，f(x1)f(x)
6、2x，求 f(x)解：(1) (解法 1)设 t 2(t2) ，则 t2，即 x(t2) 2， f(t)(t2)x x24(t 2)t 2 4， f(x)x 24(x2)(解法 2) f( 2)( 2) 24，x x f(x)x 24(x2)(2) 设 t 1，则 x ， f(t)lg ，2x 2t 1 2t 1即 f(x) lg (x1)2x 1(3) f(x)是二次函数， 设 f(x)ax 2bxc(a0)由 f(0) 1，得 c1.由 f(x1) f(x)2x，得a(x1) 2b(x1)1ax 2bx12x，整理，得(2a 2)xa b0，由恒等式原理，知 2a 2 0，a b 0) a
7、 1，b 1，) f(x)x 2x1.变式训练根据下列条件分别求出 f(x)的解析式(1) f( 1)x2 ；x x(2) 二次函数 f(x)满足 f(0)3 ，f(x2)f(x)4x2.解：(1) 令 t 1， t1，x(t1) 2.x则 f(t) (t1) 22(t1) t 21，即 f(x) x21， x1，)(2) 设 f(x)ax 2bxc(a0)， f(x2)a(x 2)2b(x 2) c ，则 f(x2) f(x)4ax4a2b4x2. 4a 4，4a 2b 2.) a 1，b 1.)又 f(0) 3， c3， f(x)x 2x3., 3 分段函数), 3) 如图所示，在边长为
8、4 的正方形 ABCD 上有一点 P，沿着折线BCDA 由 B 点 (起点)向 A 点( 终点) 移动设 P 点移动的路程为 x，ABP 的面积为yf(x)(1) 求ABP 的面积与 P 移动的路程间的函数解析式；(2) 作出函数的图象，并根据图象求 y 的最大值解：(1) 这个函数的定义域为(0 ，12)，当 0x4 时，Sf(x) 4x2x；12当 4x8 时，Sf(x) 8；当 8x12 时，Sf(x) 4(12x) 242x.12 函数解析式为 f(x) 2x，x（0，4，8，x（4，8，24 2x，x（8，12）.)(2) 其图象如图所示，由图知 fmax(x)8.变式训练已知函数
9、f(x) 则满足不等式 f(1x 2)f(2x)的 x 的取值范围是x2 1， x 0，1， xf(2x) 解得12x，1 x20，) 2备 选 变 式 （教 师 专 享 ）对于实数 a 和 b，定义运算“*”：a*b 设函数 f(x)(x2)*(3x) ，a， a b 1，b， a b1， )xR.若方程 f(x)c 恰有两个不同的解，则实数 c 的取值范围是_答案：(，2)解析：令 x2(3x)1，求得 x1，则 f(x)(x 2)*(3x) 画出x 2，x 1，3 x，x1，)函数 f(x)的图象，如图，方程 f(x)c 恰有两个不同的解，即是函数 f(x)的图象与直线 yc有 2 个交
10、点，数形结合可得 c0)，g(x)1(x0)；（x）2x中，f(x) x3(x3)x2 9x 3因此填.2. 二次函数 yf(x)ax 2bxc(x R )的部分对应值如下表：x 4 3 2 1 0 1 2 3y 6 0 4 6 6 4 0 6则关于 x 的不等式 f(x)0 的解集为 _答案：3，2解析：由表格数据作出二次函数的草图，结合数据与图象即可发现不等式 f(x)0 的解集为 3，2 3. 为了保证信息安全传输必须使用加密方式，有一种方式其加密、解密原理如下：明文 密文 密文 明文 加 密 发 送 解 密 已知加密为 ya x2(x 为明文、y 为密文) ，如果明文“3”通过加密后得
11、到密文为“6” ，再发送，接受方通过解密得到明文“3”，若接受方接到密文为 “14”，则原发的明文是_答案：44. 有一个有进水管和出水管的容器，每单位时间进水量是一定的，设从某时刻开始，5 分钟内只进水，不出水，在随后的 15 分钟内既进水，又出水，得到时间 x 与容器中的水量 y 之间的关系如图所示再随后，只放水不进水，水放完为止，则这段时间内(即 x20) ，y 与 x 之间的函数关系是_答案：y3x95 (20 x 953)解析：设进水速度为 a1 L/min，出水速度为 a2 L/min，则由题意得解得 则 y353(x20)，得 y3x95.当水放完，时5a1 20，5a1 15（
12、a1 a2） 35，) a1 4，a2 3，)间为 x min，又知 x20，故解析式为 y3x95 .953 (20 x 953)5. 设函数 f(x) 若 f(a)f(1) ，则实数 a 的取值范围是_2x 4， x 0， x 3， x 0.)答案：(，1)(1 ，)解析：由 f(1) 2，则 f(a)2.当 a0 时，有 2a4 2，则 a1；当 a0 时，a32，则 a1.所以实数 a 的取值范围是( ， 1)(1，) 6. 函数 f(x) 若关于 x 的方程 f(x)kxk 至少有两个不相等的x2 x， x 0，12 |12 x|， x 0.)实数根，则实数 k 的取值范围是_答案：
13、 (1，) 13，1)解析：如图，作出函数图象，y 2kxk 过定点(1，0) ，临界点 和(1 ，0)连线的( 12，12)斜率为 ，又 f(1)1，由图象知实数 k 的取值范围是 (1，) 13 13，1), 3. 分段函数意义理解不清致误)典例 已知实数 a0，函数 f(x) 若 f(1a) f(1a) ，则 a 的值2x a， x1，没有对 a 进行讨论直接代入求解；(2) 求解过程中忘记检验所求结果是否符合要求致误解析：当 a0 时，1a1，由 f(1a)f(1 a) 可得 22aa 1a2a，解得 a ，不合题意；32当 a1，1a1 且 x1，故函数的定义域为(1，1)x2 1
14、0，x 1 0，)(1， ) 3. 函数 y 的值域为_1x2 2答案： (0，12解析： x 222， 00 时，值域为 ，) ；当 a0 且 a1)的值域是(0 ，) ylog ax(a0 且 a1)的值域是 R ysin x，ycos x 的值域是1，1 ytan x 的值域是 R3. 函数的最值一般地，设 yf(x)的定义域为 A.(1) 如果存在 x0A，使得对于任意的 xA，都有 f(x)f(x 0)，那么称 f(x0)为 yf(x)的最大值，记为 ymaxf(x 0)(2) 如果存在 x0A，使得对于任意的 xA，都有 f(x)f(x 0)，那么称 f(x0)为 yf(x)的最小
15、值，记为 yminf(x 0)4. 值域与最值的关系若函数 yf(x)的最大值为 b，最小值为 a，那么 yf(x)的值域必定是数集a ，b的子集，若 f(x)可以取到a ，b 中的一切值，那么其值域就是a，b 5. 复合函数如果函数 yf(u)(uA)，ug(x)(x B，uA)，则 yf(g(x)叫做由函数 yf(u)(uA)，ug(x)(xB，uA) 合成的复合函数，u 叫做中间变量yf(u)(uA)，叫做该复合函数的外层函数，而 ug(x)(xB)叫做该复合函数的内层函数注意：由 ug(x)(xB)求出的值域一定是 A.即内层函数的值域是外层函数的定义域6. 函数解析式的表示离不开函数
16、的定义域备课札记, 1 求函数的定义域), 1) (1) 已知函数 f(x)的定义域是0 ，2，则函数 g(x)f f(x 12)的定义域是 _(x 12)(2) 函数 y 的定义域为_ln（x 1） x2 3x 4答案：(1) (2) ( 1，1)12，32解析：(1) 因为函数 f(x)的定义域是0 ，2，所以函数 g(x)f f 中的自变(x 12) (x 12)量 x 需要满足：解得0 x 12 2，0 x 12 2，) 12 x 32，12 x 52. )所以 x ，12 32所以函数 g(x)的定义域是 .12，32(2) 由 得10， x2 3x 40，)变式训练(1) 求函数
17、y 的定义域；（x 1）0|x| x(2) 函数 f(x)的定义域是1 ，1 ，求 f(log2x)的定义域解：(1) 由 得x 1 0，|x| x0，) x 1，x0，12 x x20x 1 0，) x0，64 x2 0，) 2k1)x2 4x 5x 1解：(1) (解法 1：换元法) 令 t，则 t0 且 x ，于是 f(t)1 2x1 t22 t (t1) 21.由于 t0，所以 f(t) ，故函数的值域是 .1 t22 12 12 ( ，12(解法 2：单调性法)容易判断 f(x)为增函数，而其定义域应满足 12x0，即 x ，12所以 f(x)f ，即函数的值域是 .(12) 12
18、( ，12(2) y 1.1 x21 x2 21 x2因为 1x 21，所以 00)，所以 y t 2(t0)（t 1）2 4（t 1） 5t t2 2t 2t 2t因为 t 2 2 ，当且仅当 t ，即 x 1 时，等号成立，2t t2t 2 2 2故所求函数的值域为2 2，)2备 选 变 式 （教 师 专 享 ）求下列函数的值域：(1) f(x) ；1 x x 3(2) g(x) ；x2 9x2 7x 12(3) ylog 3xlog x31.解：(1) 由 解得 3x1.1 x 0，x 3 0，) f(x) 的定义域是 3，11 x x 3令 yf(x) ，则 y0， y 242 ，（1
19、 x）（x 3）即 y242 (3x1) （x 1）2 4令 t(x)(x 1) 24(3x1) x3，1 ，由 t(3)0， t(1)4，t(1)0，知 0t(x)4，从而 y24，8 ，即 y2，2 ，2 函数 f(x)的值域是2，2 2(2) g(x) 1 (x3 且 x4)x2 9x2 7x 12 （x 3）（x 3）（x 3）（x 4） x 3x 4 7x 4 x3 且 x4， g(x)1 且 g(x)6. 函数 g(x)的值域是( ，6) (6，1)(1 ，)(3) 函数的定义域为x|x0 且 x1当 x1 时，log 3x0，log x30，ylog 3xlog x312 11；
20、log3xlogx3当 00 恒成立，试求实数 a 的取值范围【思维导图】 函数恒成立不等式恒成立分类讨论新函数的最值a 的取值范围【规范解答】 解：(1) 当 a 时，f(x)x 2.12 12x f(x)在区间 1，)上为增函数， f(x)在区间1，) 上的最小值为 f(1) .72(2) (解法 1)在区间1，)上，f(x) 0 恒成立， x 22xa0 恒成立x2 2x ax设 yx 22xa，x1 ，) yx 22xa(x 1) 2a1 在1 ，)上单调递增， 当 x1 时，y min3a，当且仅当 ymin3a0 时，函数 f(x)0 恒成立，故 a3.(解法 2)f(x)x 2，
21、x1，) ax当 a0 时，函数 f(x)的值恒为正；当 a0 时，函数 f(x)0 恒成立，故 a 3.【精要点评】 解法 1 运用转化思想把 f(x)0 转化为关于 x 的二次不等式；解法 2 运用了分类讨论思想总结归纳(1) 求函数的值域此类问题主要利用求函数值域的常用方法：配方法、分离变量法、单调性法、图象法、换元法、不等式法等无论用什么方法求函数的值域，都必须考虑函数的定义域(2) 函数的综合性题目此类问题主要考查函数值域、单调性、奇偶性等一些基本知识相结合的题目此类问题要求具备较高的数学思维能力、综合分析能力以及较强的运算能力(3) 运用函数的值域解决实际问题此类问题的关键是把实际
22、问题转化为函数问题，从而利用所学知识去解决此类题目要求具有较强的分析能力和数学建模能力题组练透1. 函数 y 的值域是_x2 x 1答案： 32， )解析： x 2x1 2 ， y ， 值域为 .(x 12) 34 34 32 32， )2. 函数 yx 的值域是_1 2x答案：(，1解析：令 t(t0)，则 x . y t (t1) 211， 值域为1 2x1 t22 1 t22 12(， 13. 已知函数 f(x)x 24ax 2a6.(1) 若 f(x)的值域是0， )，求 a 的值；(2) 若函数 f(x)0 恒成立，求 g(a)2a|a1|的值域解：(1) f(x)的值域是0，)，即
23、 f(x)min0， 0， a14（2a 6） （4a）24或 .32(2) 若函数 f(x)0 恒成立，则 (4a) 24(2a6)0，即 2a2a30， 1a ，32 g(a)2a|a1| a2 a 2， 1 a 1， a2 a 2，10 且 a1)的值域是4，)，则实数 a 的取值 x 6， x 2，3 logax， x2)范围是_答案：(1，2解析：当 x2 时，x64，要使得函数 f(x)的值域为4，)，只需当 x2 时，f(x)3 logax 的值域在区间 4，)内即可，故 a1，所以 3log a24，解得1a2，所以实数 a 的取值范围是(1，25. 已知函数 f(x)a xb
24、(a0 且 a1)的定义域和值域都是1，0 ，则ab_ 答案：32解析：当 a1 时， 该方程组无解；当 00， 1 4m 0， ) 14综上所述，m 的取值范围是 .14， )(2) 由题意知，f(x) mx 2x1 能取到一切大于或等于 0 的实数 当 m0 时，f(x)x1 可以取到一切大于或等于 0 的实数； 当 m0 时，要满足题意必有 m0， 1 4m 0， ) 00，|x 2| 1 0，)2. (2018溧阳中学周练) 函数 f(x) ln( )的定义域为1x x2 3x 2 x2 3x 4_答案：4，0)(0 ，1)解析：函数的定义域必须满足条件：x 0，x2 3x 2 0，
25、x2 3x 4 0，x2 3x 2 x2 3x 40，)解得 x4，0)(0 ，1)3. 当 x_ 时，函数 f(x)(x a 1)2(xa 2)2(xa n)2 取得最小值答案：a1 a2 ann解析：f(x) nx 22(a 1a 2a n)x(a a a )，21 2 2n当 x 时，f(x) 取得最小值a1 a2 ann4. 设函数 f(x) 若 f(x)的值域为 R，则实数 a 的取值范围是2x a， x2，x a2， x 2.)_答案：(，12 ，)解析：f(x) 的值域为 R，则 22a2a 2，实数 a 的取值范围是 (，12，). 5. 已知函数 f(x) 1 的定义域是a，
26、b(a，bZ)，值域是0，1 ，则满足条件4|x| 2的整数数对(a ， b)共有_ 个答案：5解析：由 0 11，即 1 2，解得 0|x|2，满足条件的整数数对有4|x| 2 4|x| 2(2，0)，( 2 ，1)，(2，2) ，(0 ，2)，( 1，2)共 5 个6. 求函数 y 的值域（x 3）2 16 （x 5）2 4解：函数 yf(x)的几何意义：平面内一点 P(x，0)到两点 A(3，4) 和 B(5，2)的距离之和就是 y 的值由平面几何知识，找出点 B 关于 x 轴的对称点 B(5，2)连结 AB，交 x 轴于一点 P，点 P 即为所求的最小值点，y minAB 10.所以函
27、数的值域为82 6210， ) 1. 函数的定义域是函数的灵魂，它决定了函数的值域，并且它是研究函数性质的基础，因此，我们一定要树立函数定义域优先的意识2. 函数的值域常常化归为求函数的最值问题，要重视函数单调性在确定函数最值过程中的作用3. 求函数值域的常用方法：图象法、配方法、换元法、基本不等式法、单调性法、分离常数法、导数法等理论上一切函数求值域或最值均可考虑“导数法” ，但在具体的解题中要与初等方法密切配合 备课札记第 1 课时 函数的单调性(对应学生用书 (文)、( 理)1517 页) 函数单调性的概念是函数性质中最重要的概念，仍将会是 2019 年高考的重点，特别要注意函数单调性的
28、应用. 常见题型：a.求函数的单调区间；b.用定义判断函数在所给区间上的单调性；c.强化应用单调性解题的意识，如比较式子的大小，求函数最值，已知函数的单调性求参数的取值范围等 理解函数单调性的定义，并利用函数单调性的定义判断或证明函数在给定区间上的单调性. 理解函数的单调性、最大( 小)值的几何意义，会用单调性方法求函数的最大(小)值. 能利用函数的单调性解决其他一些综合性问题1. 下列函数中，在(，0)上为减函数的是_ (填序号) y ； yx 3； yx 0 ； yx 2.1x2答案：解析： 函数 yx 2 的图象是开口向上的抛物线，对称轴为 y 轴， 函数 yx 2 在(， 0)上为减函
29、数2. (必修 1P44 习题 2 改编)(1) 函数 f(x)2x1 的单调增区间是_；函数 g(x)3x2 在区间(， ) 上为 _函数(2) 函数 f(x)x 22x1 的单调增区间为_，单调减区间为_(3) 函数 f(x) 1 在区间(，0) 上是单调_函数1x(4) 函数 y 在区间1，3上是单调_函数1x答案：(1) ( ，) 单调减 (2) 1 ，) (，1(3) 增 (4) 减3. (必修 1P54 本章测试 6 改编) 若函数 y5x 2mx4 在区间(，1 上是减函数，在区间 1，)上是增函数，则 m_答案：10解析：函数 y5x 2mx4 的图象为开口向上，对称轴是 x
30、的抛物线，要使函m10数 y5x 2mx4 在区间(，1上是减函数，在区间 1，)上是增函数，则 1， m10.m104. 已知函数 f(x) 在区间( 2，)上为增函数，则实数 a 的取值范围是ax 1x 2_答案： (12， )解析：f(x) a ，由复合函数的增减性可知，g(x) 在(2，)ax 1x 2 1 2ax 2 1 2ax 2上为增函数， 12a .125. 设函数 f(x)满足：对任意的 x1，x 2R 都有(x 1x 2)f(x1)f(x 2)0，则 f(3) 与f()的大小关系是_ 答案：f(3)f()解析：由(x 1x 2)f(x1)f(x 2)0，可知函数 f(x)为
31、增函数，又3， f(3)f( )1. 增函数和减函数一般地，设函数 yf(x)的定义域为 I：如果对于定义域 I 内某个区间 D 上的任意两个值 x1，x 2，当 x1f(x2)，那么就说 yf(x)在区间 D 上是单调减函数( 如图所示) 2. 单调性与单调区间如果一个函数在某个区间 D 上是单调增函数或是单调减函数，那么就说这个函数在这个区间 D 上具有单调性(区间 D 称为单调区间) 3. 判断函数单调性的方法(1) 定义法利用定义严格判断(2) 利用函数的运算性质如果 f(x)，g(x)为增函数，则 f(x)g(x)为增函数； 为减函数(f(x)0)； 1f（x）为增函数(f(x)0)
32、； f(x)g(x)为增函数(f(x)0 ，g(x)0)； f(x) 为减函数f（x）(3) 利用复合函数关系判断单调性法则是“同增异减” ，即两个简单函数的单调性相同，则这两个函数的复合函数为增函数；若两个简单函数的单调性相反，则这两个函数的复合函数为减函数(4) 图象法奇函数在关于原点对称的两个区间上具有相同的单调性；偶函数在关于原点对称的两个区间上具有相反的单调性4. 函数的单调性的证明方法已知函数解析式，证明其在某区间上的单调性一般只能严格用定义(或导数) 来证明主要步骤：(1) 设元；(2) 作差(商) ；(3) 变形(变形要彻底，一般通过因式分解、配方等方法，直到符号的判定非常明显
33、)；(4) 判断符号；(5) 结论备课札记, 1 函数单调性的判断), 1) 判断函数 f(x) (a0) 在区间(1，1)上的单调性axx2 1分析：此函数既不是常见函数，也不是由常见函数经过简单的复合而成，因此要判断其在区间( 1，1)上的单调性，只能用函数单调性的定义解：任取 x1，x 2(1，1)，且 x10， 当 a0 时，f(x 1)f(x 2)0，f(x 1)f(x2)， f(x)在(1，1)上单调递减；同理，当 a0，21 2 f(x1)f(x 2)0，即 f(x1)f(x2) f(x) 在1，)上为减函数x1 x2点评：亦可证明函数 f(x) 在区间1，1上是增函数由于函数
34、f(x) 是x1 x2 x1 x2定义在 R 上的奇函数，故利用单调性与奇偶性可作出函数 f(x) 的图象同时也可得x1 x2到函数 f(x) 在1，1 上的值域为 .x1 x2 12，12, 2 求函数的单调区间), 2) 求下列函数的单调区间：(1) yx 23|x| ；14(2) y ；(13)x2 2x(3) ylog 2(6x2x 2)解：(1) yx 23|x| 14 (x 32)2 2（x 0），(x 32)2 2（x0，化简得 2x2x62 时，由图可知，f(x) minf(2)34a ，f(x) maxf(0)1.综上，当 a2 时，f(x) min34a ，f(x)max
35、1.【精要点评】 (1) 二次函数的单调区间是由图象的对称轴确定的故需要确定对称轴与区间的关系由于对称轴是 xa，而 a 的取值不定，从而导致了分类讨论(2) 不是应该分 a2 三种情况讨论吗？为什么成了四种情况？这是由于抛物线的对称轴在区间0， 2所对应的区域时，最小值是在顶点处取得，但最大值却有可能是 f(0)，也有可能是 f(2)总结归纳(1) 要注意函数思想在求函数值域中的运用，求函数最值常借助函数单调性含有参数的最值问题，需要分类讨论参数在不同范围内时函数单调性的变化，进而判断最值的位置(2) 不等式恒成立问题也可以转化为求函数的最值问题题组练透1. 函数 y2x 的值域是_x 1答
36、案：2，)解析：x1，y 是 x 的增函数，当 x1 时，y min2， 函数的值域为2， ) 2. 已知 x0，1，则函数 y 的值域是_x 2 1 x答案： 1， 2 3解析：该函数为增函数，自变量最小时，函数值最小；自变量最大时，函数值最大3. 函数 f(x) (x3，6)的值域为_4x 2答案：1，4解析：区间3，6是函数 f(x) 的单调减区间，把 x3，x6 分别代入 f(x)中可4x 2得最大值、最小值4. 已知 aR 且 a1，求函数 f(x) 在1 ，4上的最值ax 1x 1解：由 f(x) a .当 1a0，即 a1 时，f(x) 在1 ，4上为增函数，a 12 4a 15
37、 fmax(x)f(4) ，f min(x)f(1) .4a 15 a 125. 已知二次函数 f(x)ax 2bx1，若 f(1)0，且函数 f(x)的值域为0，) (1) 求 a，b 的值；(2) 若 h(x)2f(x 1)x|x m|2m，求 h(x)的最小值解：(1) 显然 a0， f(1)0， ab10.又 f(x)的值域为0，)， b 24a0.由 解得a b 1 0，b2 4a 0，) a 1，b 2.)(2) 由(1)知 f(x)x 22x1，h(x) 2x2x|xm|2m，即 h(x)3x2 mx 2m，x m，x2 mx 2m，x0 恒成立，所以 2x1x2a0，x 20，
38、x2 2xf(x2)以上也是脱去符号“f” 的重要方法1. 已知函数 f(x) (a1) 若 f(x)在区间(0 ，1上是减函数，则实数 a 的取值范3 axa 1围是_答案：(，0)(1 ，3解析：当 a10，即 a1 时，由题意知 10，此时 a0 时，它有两个减区间为(， 1)和 (1，)，故只需区间1，2是 f(x)和 g(x)的减区间的子集即可，则 a 的取值范围是 00 时，结合函数 f(x)|(ax1)x|ax 2x|的图象知函数在(0 ，)上先增后减再增，不符合条件，如图所示所以要使函数 f(x)|(ax1)x|在(0，)上单调递增，只需 a0.即“a 0”是“函数f(x)|(
39、ax1)x|在(0，)上单调递增 ”的充要条件4. 若函数 f(x)x 2|x a|b 在区间( ，0上为减函数，则实数 a 的取值范围是_答案：0，)解析：因为 f(x)x 2|x a| b x2 x a b（x a），x2 x a b（x a），)由图象知，若函数 f(x)x 2 |xa| b 在区间(，0 上为减函数，则应有 a0.5. (2018溧阳中学月考)已知函数 f(x)x 2 (x0，常数 aR)ax(1) 讨论函数 f(x)的奇偶性，并说明理由；(2) 若函数 f(x)在2，) 上为增函数，求实数 a 的取值范围解：(1) 当 a0 时，f(x)x 2，对任意 x(，0)(0
40、 ，) ，f(x)( x) 2x 2f(x)， f(x)为偶函数当 a0 时，f(x)x 2 (a0，x 0)，ax取 x1，得 f(1)f(1)20，f(1) f(1)2a 0， f( 1)f(1)，f(1)f(1)， 函数 f(x)既不是奇函数，也不是偶函数(2) (解法 1)设 2x 14， a4， x 1x2(x1x 2)16. 实数 a 的取值范围是 (，16(解法 2)当 a0 时，f(x)x 2，显然在2 ，)上为增函数当 a0 时，同解法 1.(解法 3)f(x)2x ，要使 f(x)在区间2，) 上为增函数，只需当 x2 时，f (x)ax20 恒成立，即 2x 0，a2x
41、316，) 恒成立，故当 a16 时，f(x)在2，)上ax2为增函数 实数 a 的取值范围是(，16 1. 若 f(x) 在区间(2，)上是增函数，则 a 的取值范围是 _ax 1x 2答案： (12， )解析：设 x1x22，则 f(x1)f(x2)f(x 1)f(x 2) ax1 1x1 2 ax2 1x2 2 0，则 2a10，故 a .2ax1 x2 2ax2 x1（x1 2）（x2 2） （x1 x2）（2a 1）（x1 2）（x2 2） 122. 设 00 时，00；(3) 求证：f(x)在 R 上是减函数；(4) 若 f(x)f(xx 2)1，求 x 的取值范围(1) 证明：取
42、 m0，n ，则 f f f(0)12 (12 0) (12)因为 f 0，所以 f(0)1.(12)(2) 证明：设 x0，由条件可知 f(x)0，又 1f(0)f(xx)f(x)f( x)0，所以 f(x)0，所以当 xR 时，恒有 f(x)0.(3) 证明：设 x10，所以 00.因为 f(x1)0，所以 f(x1)1f(x 2x 1)0.所以 f(x1)f(x 2)0，即该函数在 R 上是减函数(4) 解：因为 f(x)f(xx 2)1，所以 f(x)f(xx 2)f(2xx 2)f(0)，所以 2xx 22.1. 求函数的单调区间，首先应注意函数的定义域，函数的单调区间都是定义域的子集，常用方法：定义法、图象法、导数法、
