1、第四章 因式分解4.1 分解因式备课时间：2015 年 11 月 授课时间：2015 年 11 月教学目标:知识与技能：经历探索因式分解方法的过程，体会数学知识之间的整体联系（整式乘法与因式分解） 。过程与方法：了解因式分解的意义，以及它与整式乘法的关系。情感态度与价值观：感受整式乘法在解决问题中的作用。教学重难点：探索因式分解方法的过程，了解因式分解的意义。教学过程：创设情景，导出问题：首先教师进行章首导图教学，指出本章将要学习和探索的对象.教师进行情景的多媒体演示。章首图力图通过一幅形象的图画对开的两量列车和有对比性的两个式子，向大家展现了本章要学习的主要内容，并渗透本章的重要思想方法类比
2、思想，让学生体会因式分解与整式乘法之间的互逆关系。993-99 能被 100 整除吗？你能把 a3-a 化成几个整式的乘积的形式吗？探索交流，概括概念：想一想：99 3-99 能被 100 整除吗？你是怎样想的？与同伴交流。小明是这样做的：（1）小明在判断 993-99 能否被 100 整除时是怎么做的？（2）99 3-99 还能被哪些正整数整除。答案：（1）小明将 993-99 通过分解因数的方法，说明 993-99 是 100 的倍数，故 993-99 能被 100 整除。（2）还能被 98，99，49，11 等正整数整除。归纳：在这里，解决问题的关键是把一个数化成几个数积的乘积。议一议：
3、现在你能尝试把 a3-a 化成几个整式的乘积的形式吗？鼓励学生类比数的分解将 a3-a 分解。做一做：计算下列各式：（1） （ m+4） （ m-4）= ;（2） （ y-3） 2= ；（3）3 x（ x-1）= ；（4） m（ a+b+c） = .根据上面的算式填空：（1） 3x2-3x=（ ） （ ）（2）m 2-16=（ ） （ ）（3） ma+mb+mc=（ ） （ ）（4） y2-6y+9=（ ） （ ）通过以上两组练习的演练，你认为这两组练习之间有什么关系？第一组是把多项式乘以多项式展开整理之后的结果，第二组是把多项式写成了几个固式的积的形式，它们这间恰好是一个互逆的关系。议一议：
4、由 a(a+1)(a-1)得到 a3-a 的变形是什么运算？由 a3-a 得到 a(a+1)(a-1)的变形与这种运算有什么不同？你还能在举一些类似的例子加以说明吗？概 括：把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式分解因式。教师指出因式分解的要求：（1）分解的结果要以积的形式表示；（2）每个因式必须是整式，且每个因式的次数都必须低于原来多项式的次数；（3）必须分解到每个多项式因式不能再分解为止。课堂练习：（1）下列各式中由等号的左边到右边的变形，是因式分解的是（ ）A （ x+3） （ x-3）= x2-9 B x2+x-5=（ x-2） （ x+3）+1C a2b+ab2
5、=ab（ a+b） D （2）证明：一个三位数的百位数字与个位数字交换位置，则新数与原数之差能被 99 整除。（3）如图 3-1所示，在边长为 a 的正方形中挖掉一个边长了 b 的小正方形（ a b） ，把余下的部分剪拼成一个矩形（如图所示） ，通过教育处两个图形（阴影部分）的面积，验证了一个等式，则这个等式是（ ）A （ a+2b） （ a-b）= a2+ab-2b2 B （ a+b） 2=a2+2ab+b2C （ a-b） 2=a2-2ab+b2 D a2-b2=（ a+b） （ a-b）课堂小结：想一想：分解因式与整式乘法有什么关系？课外作业：资源与评价板书设计： 因式分解定义：因式分解
6、与整式乘法的关系：教学后记：学生接受很好，在做些变式练习。4.2 提公因式法备课时间：2015 年 11 月 授课时间：2015 年 11 月教学目标：知识与技能：经历探索多项式因式分解方法的过程，并在具体问题中，能确定多项式各项的公因式。过程与方法：会用提公因式法把多项式分解因式（多项式中的字母指数仅限于正整数的情况） 。情感态度与价值观：进一步了解分解因式的意义，加强学生的直觉思维并渗透化归的思想方法。教学重难点：教学重点用提公因式法把多项式分解因式教学难点探索多项式因式分解方法的过程教学过程：第一课时创设情景，导出问题：张老师准备给航天建模竞赛中获奖的同学颁发奖品。他来到文具商店，经过选
7、择决定买单价 16 元的钢笔 10 支，5 元一本的笔记本 10 本，4 元一瓶的墨水 10 瓶，由于购买物品较多，商品售货员决定以 9 折出售，问共需多少钱。关于这一问题给出了各自的做法。方法一：161090%+51090%+41090%=144+45+36=225（元）方法二：161090%+51090%+41090%=1090%（16+5+4）=225（元）请问：两种计算的方法哪一位更好？为什么？答案：第二位同学（第二种方法）更好，因为第二种方法将因数 1090%放在括号外，只进行过一次计算，很明显减小计算量。2、探索交流，概括概念（1）多项式 ab+bc 各项都含有相同的因式吗？多项式
8、 3x2+x 呢？多项式mb2+nb-b 呢？（2）将上面的多项式分别写成几个因式的乘积，说明你的理由，并与同位交流。讨论概括：（1）多项式 ab+bc 各项都含有相同的因式 b，我们把多项式各项都含有的相同因式，叫做这个多项式的公因式。如 b 就是多项式 ab+bc 的公因式。同样，多项式 3x2+x 各项都含有相同的公因式 x，多项 mb2+nb-b 各项都含有相同的公因式 b。（2）这里意在让学生根据因式分解的意义尝试进行分解。如果一个多项式的各项含有公因式，那么就可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式。这种分解因式的方法叫做提公因式法。巩固应用，拓展研究：例 1 将
9、下列各式分解因式：（1） 3 x+6；（2） 7 x2-21x；（3）8a 3b2-12ab3c+abc；（4） -24x 3-12x2+28x想一想：提公因式法分解因式与单项式乘多项式有什么关系？练习巩固，促进迁移：（1）写出下列多项式的公因式： ma+mb 4kx-8ky 5y3+20y2 a2b-2ab2+ab（2）把下列各式分解因式：3 x2-6xy+x -4m3+16m2-26m（3）利用分解因式计算： 330.48+850.48-180.48 7.182.25+28.50.225-2.032.25课堂小结：这节课我们学了写什么？课外作业：资源与评价板书设计： 提公因式定义：方法：
10、例题 教学后记：当第一项是负数时，注意改变符号。第二课时备课时间：2015 年 11 月 授课时间：2015 年 11 月一、课前热身，复习回顾：想一想：什么是公因式？怎样提取公因式？做一做：1、下列用提取公因式法分解因式正确的是（ ）A、a 3+2a2+a=a(a2+2a) B、-x 2y+4x2y2-7xy=-xy(x-4xy+7)C6(x-2)+x(2-x)=(x-2)(x+6) D、a(a-b) 2+ab(a-b)=(a+ab)(a-b)2、 （-3） 2005+（-3） 2004等于 3、把下列各式分解因式： a（ x-3）+2b（ x-3） ； 5（ x-y） 3+10（ y-x）
11、 2。 3 x2-6xy+x -4m3+16m2-26m 4q（1- p） 3+2（ p-1） 2 3 m（ x-y）- n（ y-x） m（5 ax+ay-1）- m（ 3ax-ay-1）4 计算： 已知 a+b=13,ab=40,求 a2b+ab2的值； 1998+19982-199925、比较 200220032003 与 200320022002 的大小。小结：想一想：这节课我们学了写什么？课外作业：资源与评价后记：理解因式分解的运用很广泛，会对具体问题具体分析。4.3 运用公式法（平方差公式）备课时间：2015 年 11 月 授课时间：2015 年 11 月教学目标：知识与技能：1、
12、理解平方差公式的本质：即结构的不变性，字母的可变性； 2、会用平方差公式进行因式分解；3、使学生了解提公因式法是分解因式首先考虑的方法，再考虑用平方差公式分解。过程与方法：经历探索利用平方差公式进行因式分解的过程，发展学生的逆向思维，渗透数学的“互逆” 、换元、整体的思想，感受数学知识的完整性情感态度与价值观：在探究的过程中培养学生独立思考的习惯，在交流的过程中学会向别人清晰地表达自己的思维和想法，在解决问题的过程中让学生深刻感受到“数学是有用的” 。教学重难点：用公式法（直接用公式不出两次）分解因式（指数是正整数）教学过程：复习回顾：填空：（1） （ x+5） （ x5） = ；（2） （3
13、 x+y） （3 xy） = ；（3） （3 m+2n） （3 m2n）= 它们的结果有什么共同特征？尝试将它们的结果分别写成两个因式的乘积：探究新知：将多项式 a2b2进行因式分解：（a+b）(a-b)= a 2b2整式乘法a 2b2=（a+b）(a-b)因式分解结论：整式乘法公式的逆向变形得到分解因式的方法。这种分解因式的方法称为运用公式法。说一说 ：找特征 )(2baba(1)公式左边：（是一个将要被分解因式的多项式）被分解的多项式含有两项，且这两项异号，并且能写成（ ） （ ） 的形式。(2)公式右边：（是分解因式的结果）分解的结果是两个底数的和乘以两个底数的差的形式。试一试 ，写一写
14、： 下列多项式能转化成（ ） （ ） 的形式吗？如果能，请将其转化成（ ） （ ） 的形式。（1）M 2-81 （2）1-16b 2 （3）4m 2+9 （4）a 2x2-25y2 （5） -x2-25y2例 1：把下列各式因式分解：（1）2516 x2 （2）9 a2 41b._49;_25nmyx练习：1、判断正误：（1） x2+y2=（ x+y）( xy) ( )（2） x2y2=（ x+y）( xy) ( )（3） x2+y2=（ x+y）( xy) ( )（4） x2y2=（ x+y）( xy) ( )2、把下列各式因式分解：例 2、把下列各式因式分解：注意事项：在讲解使用整体法进行
15、分解因式时，需注意强调括号前的系数变化和去括号后的符号变化，这往往是大多数学生容易出现的错误情况。巩固练习：例 3、如图，在一块边长为 a 的正方形纸片的四角，各剪去一个边长为 b 的正方形。用 a 与 b 表示剩余部分的面积，并求当 a=3.6， b=0.8 时的面积。如图，大小两圆的圆心相同，已知它们的半径分别是 R cm 和 r cm，求它们所围成的环形的面积。如果 R=8.45cm,r=3.45cm 呢？小结：29)1(4zyx225.0)3(pq12)(54)nm923)(xy（1）有公因式（包括负号）则先提取公因式；（2）整式乘法的平方差公式与因式分解的平方差公式是互逆关系；（3）
16、平方差公式中的 a 与 b 既可以是单项式，又可以是多项式；课后作业：资源与评价板书设计： 平方差公式公式 例题练习教学后记：探索分解因式的方法实际上是对整式乘法的再认识，而本节正是对平方差公式的再认识，多做练习。因式分解（完全平方公式）备课时间：2015 年 11 月 授课时间：2015 年 11 月教学目标：知识与技能：使学生了解运用公式法分解因式的意义；会用公式法（直接用公式不超过两次）分解因式（指数是正整数） ；使学生清楚地知道提公因式法是分解因式的首先考虑的方法，再考虑用平方差公式或完全平方公式进行分解因式。过程与方法：经历通过整式乘法的完全平方公式逆向得出运用公式法分解因式的方法的
17、过程，发展学生的逆向思维和推理能力。情感态度与价值观：培养学生灵活的运用知识的能力和积极思考的良好行为，体会因式分解在数学学科中的地位和价值。教学重难点：公式的理解和运用。教学过程：复习提问：回顾完全平方公式，直入主题将完全平方公式倒置得新的分解因式方法。（ab） 2= 2ba两个数和或差的平方等于这两个数的平方和加上或减去这两个数的积的 2倍。把这两个公式反过来就是因式分解的公式了。即：=（ab） 222ba两个数的平方和，加上或减去这两个数的积的两倍，等于这两个数和或者差的平方。落实基础：1、判别下列各式是不是完全平方式。2、请补上一项，使下列多项式成为完全平方式结论：找完全平方式可以紧扣
18、下列口诀：首平方、尾平方，首尾相乘两倍在中央；完全平方式可以进行因式分解， a22ab+b2=（ ab） 2 a2+2ab+b2=（ a+b） 2例 1、把下列各式因式分解：例 2把下列各式因式分解：注意事项：在综合应用提公因式法和公式法分解因式时,一般按以下两步完成：（1）有公因式，先提公因式；（2）再用公式法进行因式分解。随堂练习22222()3(4)5xyxy； ； 2222421_49_315_xyabxy； ； ； 22914)(49)(2x)(63nm2)()(nmnmxyx4)2(22363)(ayxa1、判别下列各式是不是完全平方式，若是说出相应的 a、b 各表示什么？2、把下
19、列各式因式分解：（1） m212mn+36n2 （2）16 a4+24a2b2+9b4(3） 2xyx2y2 （4）412（ xy）+9（ xy)23、用简便方法计算： 2030154、将 再加上一个整式，使它成为完全平方式，你有几种方法？12x5、一天,小明在纸上写了一个算式为 4x2 +8x+11,并对小刚说:“无论 x 取何值,这个代数式的值都是正值,你不信试一试?”自主小结：由分解因式与整式乘法的关系可以看出，如果把乘法公式反过来，那么就可以用来把某些多项式分解因式，这种分解因式的方法叫做运用公式法课后作业：完成课后习题板书设计：完全平方公式公式： 例题：练习教学后记：本节课学习了运用
20、公式法分解因式的第二种方法，具体应用时要特别关2222()69143()514(6)9xaxyx； ； ； 注第二项的符号。十字相乘法分解因式备课时间：2015 年 11 月 授课时间：2015 年 11 月教学目标：知识与技能：进一步理解因式分解的定义；过程与方法：会用十字相乘法进行二次三项式（ ）的因式分解；qpx2情感态度与价值观：通过学生的不断尝试，培养学生的耐心和信心，同时在尝试中提高学生的观察能力。教学的重点、难点重点：能熟练应用十字相乘法进行二次三项式（ ）的因式分解。qpx2难点：在 分解因式时，准确地找出 、 ，使 ， 。qpx2 abqba教学过程：创设情境，导入新课：1、
21、什么叫分解因式？分解因式的方法有那些？2、你知道 X2+5X+6 怎样分解因式吗？探究新课：我们知道 ，反过来，就得到二次三项式 的因2356xx 256x式分解形式，即 ，其中常数项 6 分解成 2,3 两个因数的积，23而且这两个因数的和等于一次项的系数 5，即 6=23，且 2+3=5。一般地，由多项式乘法， ，反过来，就得到2xabxab2xabxxab这就是说，对于二次三项式 ，如果能够把常数项 分解成两个因数2pqqa、b 的积，并且 a+b 等于一次项的系数 p，那么它就可以分解因式，即。可以用交叉线来表示：22xpqxabxab十字相乘法的定义：利用十字交叉来分解系数，把二次三
22、项式分解因式的方法叫做十字相乘法。例题讲解：例 1、把 分解因式。23x分析：这里，常数项 2 是正数，所以分解成的两个因数必是同号，而2=12=(-1)(-2)，要使它们的代数和等于 3，只需取 1,2 即可。例 2 、把 分解因式。276x例 3 、把 分解因式。41例 4 、把 分解因式。 （后三个例题鼓励学生独立完成。 ）25x总结升华：怎样对 分解因式？2pxq如果常数项 q 是正数，那么把它分解成两个同号因数，它们的符号与一次项系数 p 的符号相同。如果常数项 q 是负数，那么把它分解成两个异号因数，其中绝对值较大的因数与一次项系数 p 的符号相同。对于分解的两个因数，还要看它们的
23、和是不是等于一次项的系数 p。拓展练习：例 5 把下列各式分解因式：x+a+b(1) (2) （3）4268x24ab22xy当堂检测：1、因式分解：（1） （2） （3） （4） （5）62x652x62x432x432x2、 （1）若多项式 可分解为 ，则 的值为 。m8)(m（2）若多项式 可分解为 ，则 的值为 。122kx2xk选作：若多项式 可分解为 ，求 、 的值。)(3nn总结：掌握常数项在分解时，与一次项系数的关系。板书设计： 十字相乘分解因式例题： 练习后记：这部分虽然是后补的内容，但在二次函数是应用很广，好学生必须掌握。还需在多练习。十字相乘法分解因式（2）备课时间：20
24、15 年 11 月 授课时间：2015 年 11 月一、教学目标：知识与技能：进一步理解因式分解的定义；过程与方法：会用十字相乘法进行二次三项式， 的因式分解；2axbc情感态度与价值观：通过学生的不断尝试，培养学生的耐心和信心，同时在尝试中提高学生的观察能力。二、教学的重点、难点：教学重点、难点：能熟练应用十字相乘法进行二次三项式 的因式2axbc分解。三、导学过程：（一）创设情境，导入新课：1、分解因式（1） （2） （3） （4） （5）62x652x62x432x432x2、分解因式 310（二）自主学习：。25xx反过来就得到： 。310235x想一想 怎样因式分解的，有什么规律？2
25、x总结规律：二次项的系数 3 分解成 1,3 两个因数的积；常数项 10 分解成 2,5两个因数的积；当我们把 1,3，2,5 写成1 23 5后发现 15+23 正好等于一次项的系数 11。（三）合作探索：由上面例子启发我们，应该如何把二次三项式 进行因式分解？2axbc我们知道， 12211212 axcaxc反过来，就得到 211212 axcaxc（四）点拨升华：二次项的系数 分解成 ，常数项 分解成 ，并且把 ， ， ， 排列如a12c12c1a21c2下：11c2a2这里按斜线交叉相乘，再相加，就得到 + ，如果它们正好等于1a2c1的一次项系数 ，那么 就可以分解成 ，其中2ax
26、bcb2xb12axc， 位于上图的上一行， ， 位于下一行。1 2ac必须注意，分解因数及十字相乘都有多种可能情况，所以往往要经过多次尝试，才能确定一个二次三项式能否用十字相乘法分解。四、当堂检测：把下列各式分解因式：(1) (2) (3) (4) 2157x2384a2576x210y选做：(5) (6) (7) 25310ab223170abxy2271xy(8) (9) (10) 478x 248mn5310板书设计：十字相乘法分解因式例题： 练习后记：部分同学掌握很好。回顾与思考备课时间：2015 年 11 月 授课时间：2015 年 11 月教学目标（一）教学知识点：1.复习因式分
27、解的概念，以及提公因式法，运用公式法分解因式的方法，使学生进一步理解有关概念，能灵活运用上述方法分解因式。2.熟悉本章的知识结构图:。（二）能力训练要求通过知识结构图的教学,培养学生归纳总结能力,在例题的教学过程中培养学生分析问题和解决问题的能力.（三）情感与价值观要求通过因式分解综合练习,提高学生观察、分析能力；通过应用因式分解方法进行简便运算，培养学生运用数学知识解决实际问题的意识.教学重点复习综合应用提公因式法,运用公式法分解因式.教学难点利用分解因式进行计算及讨论.教学方法引导学生自觉进行归纳总结.教学过程创设问题情境,引入新课前面我们已学习了因式分解概念,提公因式法分解因式,运用公式
28、法分解因式的方法,并做了一些练习.今天,我们来综合总结一下.新课讲解（一）讨论推导本章知识结构图：请大家先回忆一下我们这一章所学的内容有哪些?（1）有因式分解的意义,提公因式法和运用公式法的概念.（2）分解因式与整式乘法的关系.（3）分解因式的方法.请大家互相讨论,能否把本章的知识结构图绘出来呢?（二）重点知识讲解下面请大家把重点知识回顾一下.1、举例说明什么是分解因式.如 15x3y2+5x2y20 x2y3=5x2y（3 xy+14 y2）把多项式 15x3y2+5x2y20 x2y3分解成为因式 5x2y 与 3xy+14 y2的乘积的形式,就是把多项式 15x3y2+5x2y20 x2
29、y3分解因式.学习因式分解的概念应注意以下几点:（1）因式分解是一种恒等变形,即变形前后的两式恒等.（2）把一个多项式分解因式应分解到每一个多项式都不能再分解为止.2、分解因式与整式乘法有什么关系?分解因式与整式乘法是两种方向相反的变形.如: ma+mb+mc=m（ a+b+c）从左到右是因式分解,从右到左是整式乘法.3、分解因式常用的方法有哪些?提公因式法和运用公式法.可以分别用式子表示为:ma+mb+mc=m（ a+b+c）a2 b2=（ a+b） （ a b）a22ab+b2=（ ab） 24、例题讲解：例 1下列各式的变形中,哪些是因式分解?哪些不是?说明理由。（1） x2+3x+4=
30、（ x+2） （ x+1）+2（2）6 x2y3=3xy2xy2（3） （3 x2） （2 x+1）=6 x2 x2（4）4 ab+2ac=2a（2 b+c）分析：解答本题的依据是因式分解的定义，即把一个多项式化成几个整式的积的形式是因式分解，否则不是.解:（1）不是因式分解,因为右边的运算中还有加法.（2）不是因式分解,因为 6x2y3不是多项式而是单项式,其本身就是积的形式,所以不需要再因式分解.（3）不是因式分解,而是整式乘法.（4）是因式分解.例 2将下列各式分解因式。（1）8 a4b34 a3b4+2a2b5;（2）9 ab+18a2b227 a3b3;（3） x2;41（4）9（
31、x+y） 24（ x y） 2;（5） x425 x2y2;（6）4 x220 xy+25y2;（7） （ a+b） 2+10c（ a+b）+25 c2。例 3把下列各式分解因式:（1） x7y3 x3y3;（2）16 x472 x2y2+81y4;从上面的例题中,大家能否总结一下分解因式的步骤呢?分解因式的一般步骤为:（1）若多项式各项有公因式,则先提取公因式.（2）若多项式各项没有公因式,则根据多项式特点,选用平方差公式或完全平方公式.（3）每一个多项式都要分解到不能再分解为止.课堂练习：1、把下列各式分解因式（1）16 a29 b2;（2） （ x2+4） 2（ x+3） 2;（3）4 a29 b2+12ab;（4） （ x+y） 2+2510（ x+y）2、利用因式分解进行计算（1）9 x2+12xy+4y2,其中 x= ,y= ;3421（2） （ ） 2（ ） 2,其中 a= ,b=2.baba81课时小结：1、师生共同回顾,总结因式分解的意义,因式分解的方法及一般步骤,其中要特别指出:必须使每一个因式都不能再进行因式分解。2、利用因式分解简化某些计算。课后作业：复习题 A 组求满足 4x29 y2=31 的正整数解。板书设计回顾与思考举例说明什么是因式分解.分解因式与整式乘法有什么关系?分解因式常用的方法有哪些?例题讲解例 1、例 2、例 3分解因式的一般步骤
