1、12017 届高考数学二轮复习 第一部分 专题篇 专题五 解析几何 第四讲 圆锥曲线的综合应用(二)课时作业 文1(2016西安模拟)如图所示，已知椭圆 C 的中心在原点，焦点在 x 轴上，离心率等于 ，32它的一个顶点恰好在抛物线 x28 y 的准线上(1)求椭圆 C 的标准方程；(2)点 P(2， )， Q(2， )在椭圆上， A， B 是椭圆上位于直线 PQ 两侧的动点，当 A， B3 3运动时，满足 APQ BPQ，试问直线 AB 的斜率是否为定值？请说明理由解析：(1)设椭圆 C 的标准方程为 1( ab0)x2a2 y2b2椭圆的一个顶点恰好在抛物线 x28 y 的准线 y2 上，
2、 b2，解得 b2.又 ， a2 b2 c2，ca 32 a4， c2 .3可得椭圆 C 的标准方程为 1.x216 y24(2)设 A(x1， y1)， B(x2， y2)， APQ BPQ，则 PA， PB 的斜率互为相反数，可设直线 PA 的斜率为 k，则 PB 的斜率为 k，直线 PA 的方程为： y k(x2)，3联立Error! ，化为(14 k2)x28 k( 2 k)x4( 2 k)2160，3 3 x12 .8k 2k 31 4k2同理可得： x22 ， 8k 2k 31 4k2 8k 2k 31 4k2 x1 x2 ， x1 x2 ，16k2 41 4k2 163k1 4k
3、2kAB .y1 y2x1 x2 k x1 x2 4kx1 x2 362直线 AB 的斜率为定值 .362(2016广州五校联考)已知椭圆 E： 1 的右焦点为 F(c,0)且 abc0，设短轴x2a2 y2b2的一个端点为 D，原点 O 到直线 DF 的距离为 ，过原点和 x 轴不重合的直线与椭圆 E 相交32于 C， G 两点，且| | |4.GF CF (1)求椭圆 E 的方程；(2)是否存在过点 P(2,1)的直线 l 与椭圆 E 相交于不同的两点 A， B 且使得 24 成OP PA PB 立？若存在，试求出直线 l 的方程；若不存在，请说明理由解析：(1)由椭圆的对称性知| | |
4、2 a4， a2.又原点 O 到直线 DF 的距离为 ，GF CF 32 ， bc ，又 a2 b2 c24， abc0， b ， c1.bca 32 3 3故椭圆 E 的方程为 1.x24 y23(2)当直线 l 与 x 轴垂直时不满足条件故可设 A(x1， y1)， B(x2， y2)，直线 l 的方程为 y k(x2)1，代入椭圆方程得(34 k2)x28 k(2k1) x16 k216 k80， x1 x2 ， x1x2 ，8k 2k 13 4k2 16k2 16k 83 4k232(6 k3)0， k .12 24 ，即 4(x12)( x22)( y11)( y21)5，OP PA
5、 PB 4( x12)( x22)(1 k2)5，即 4x1x22( x1 x2)4(1 k2)5，4 (1 k2)4 5，16k2 16k 83 4k2 28k 2k 13 4k2 4 4 4k23 4k2解得 k ，12k 不符合题意，舍去12存在满足条件的直线 l，其方程为 y x.123.如图，过顶点在原点、对称轴为 y 轴的抛物线 E 上的定点 A(2,1)作斜率分别为 k1、 k2的直线，分别交抛物线 E 于 B、 C 两点3(1)求抛物线 E 的标准方程和准线方程；(2)若 k1 k2 k1k2，证明：直线 BC 恒过定点解析：(1)设抛物线 E 的标准方程为 x2 ay， a0
6、，将 A(2,1)代入得， a4.所以抛物线 E 的标准方程为 x24 y，准线方程为 y1.(2)证明：由题意得，直线 AB 的方程为 y k1x12 k1，直线 AC 的方程为y k2x12 k2，联立Error! ，消去 y 得 x24 k1x4(12 k1)0，解得 x2 或 x4 k12，因此点 B(4k12，(2 k11) 2)，同理可得 C(4k22，(2 k21) 2)于是直线 BC 的斜率k k1 k21， 2k1 1 2 2k2 1 2 4k1 2 4k2 2 4 k1 k2 k1 k2 14 k1 k2又 k1 k2 k1k2，所以直线 BC 的方程为 y(2 k21)
7、2( k1k21) x(4 k22)，即 y( k1k21) x2 k1k21( k1k21)( x2)3.故直线 BC 恒过定点(2，3)4.(2016金华模拟)已知抛物线 y22 px(p0)上点 T(3， t)到焦点 F 的距离为 4.(1)求 t， p 的值；(2)设 A， B 是抛物线上分别位于 x 轴两侧的两个动点，且 5(其中 O 为坐标原点)OA OB 求证：直线 AB 必过定点，并求出该定点 P 的坐标；过点 P 作 AB 的垂线与抛物线交于 C， D 两点，求四边形 ACBD 面积的最小值解析：(1)由已知得 3 4 p2，p2所以抛物线方程为 y24 x，代入可解得 t2
8、 .34(2)证明：设直线 AB 的方程为 x my t，A ， B ，(y214， y1) (y24， y2)联立Error! 得 y24 my4 t0，则 y1 y24 m， y1y24 t.由 5 得OA OB y1y25 y1y220 或 y1y24(舍去)， y1y2 216即4 t20 t5，所以直线 AB 过定点 P(5,0)；由得| AB| |y2 y1|1 m2 ，1 m2 16m2 80同理得| CD| |y2 y1|1 ( 1m)2 ，1 1m2 16m2 80则四边形 ACBD 面积S |AB|CD|12 12 1 m2 16m2 80 1 1m2 16m2 808 .2 (m2 1m2)26 5(m2 1m2)令 m2 ( 2)，则 S8 是关于 的增函数，故 Smin96，当且1m2 5 2 36 52仅当 m1 时取到最小值 96.
