1、122.1.4 二次函数 yax bxc 的图象和性质2第二课时 一、教学目标（一）学习目标1.知道 a,b,c 对二次函数 yax 2bxc 的图象中所起的作用；2.能根据二次函数的图象确定 a,b,c, 及相关代数式的符号；3.会利用二次函数解析式中字母的符号以及相关代数式的符号判断图象位置.（二）学习重点 知道 a,b,c 对二次函数 yax 2bxc 的图象中所起的作用.（三）学习难点 能根据二次函数的图象确定 a,b,c, 及相关代数式的符号.二、教学设计（一）课前设计 1.预习任务（1）抛物线与 x 轴的交点个数由 的符号决定，当 0 时，抛acb42acb42物线与 x 轴有两个
2、交点；当 =0 时，抛物线与 x 轴只有一个交点；当0 与 y 轴的交点在 ；c0，c0，则二次函数 的图象大致是( )cbxay2【知识点】a,b,c 对二次函数 yax 2bxc 的图象中所起的作用【数学思想】数形结合【解题过程】解：a0，得对称轴0，图象对称轴在 y 轴右侧；c0，图象交 y 轴正半轴，故选abx2A.【思路点拨】记住 a,b,c 对二次函数 yax 2bxc 的图象中所起的作用是关键【答案】A练习：已知二次函数 yax 2bxc 的图象如图所示，则点（ ac，bc ）在（ ）A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限【答案】B例 2.已知抛物线 的图象如图所示，则下
3、列结论正确的是（ ）cbxay2A B0cba ab2C D06故选 C【答案】C练习：二次函数 y=ax +bx+c 的图象如图所示，则下列关于 a,b,c 间的关系判断2正确的个数是（ ）a0；b 0；c 0 ； b -4ac0；a+b+c0；a-2b+c0；2a+b0.A. 2 个 B. 4 个 C. 6 个 D. 7 个选 C活动 2 提升型例题例 3.已知二次函数 y=ax2+bx+c（a0）的图象如图，分析下列四个结论：abc0； b24ac0；3a+c 0；（a+c） 2b 2，其中正确的结论有（ ）A.3 个 B.2 个 C. 1 个 D.0 个【答案】B练习：如图是二次函数
4、y=ax2+bx+c 图象的一部分，图象过点 A（3，0），对称轴为直线 x=1，给出四个结论：c0；若点 B（ ，y 1）、C（ ，y 2）为25函数图象上的两点，则 y1y 2；2a b=0； 0，其中，正确结论的4acb个数是（ ）7A1 B2 C3 D4【答案】B例 4.已知二次函数 的图象如图所示对称轴为 下)0(2acbxy 21x列结论中，正确的是（ ）A.abc0 B.a+b=0 C.2b+c0 D.4a+c0；b0；2cm(am+b)(m1，为实数)其中正确的结论有（ ）A.2 个 B.3 个 C.4 个 D.5 个【知识点】二次函数图象与系数的关系，二次函数的性质【数学思想
5、】数形结合【解题过程】解：（1）观察图象知，a0，正确；（3）对称轴是 x=1， ，12ab ，将其代入 a-b+c0 开口向下 a0 与 y 轴交点在负半轴上 c0与 x 轴有 1 个交点 =0与 x 轴没有交点 故选 D【思路点拨】记住 a,b,c 对二次函数 yax 2bxc 的图象中所起的作用是关键【答案】D4.在同一坐标系中，一次函数 y=ax+b 与二次函数 y=ax2+b 的大致图象是（ ）【知识点】一次函数图象、二次函数图象与系数的关系【数学思想】数形结合【解题过程】解：A、由一次函数 y=ax+b 的图象可得： a0，此时二次函数y=ax2+b 的图象应该开口向上，故 A 错
6、误；B、由一次函数 y=ax+b 的图象可得： a0，b0，此时二次函数 y=ax2+b 的图14象应该开口向下，顶点的纵坐标大于零，故 B 错误；C、由一次函数 y=ax+b 的图象可得： a0，b0，此时二次函数 y=ax2+b 的图象应该开口向下，顶点的纵坐标大于零，故 C 正确；D、由一次函数 y=ax+b 的图象可得： a0，b0，此时抛物线 y=ax2+b 的顶点的纵坐标大于零，故 D 错误；故选：C 【解题过程】记住一次函数图象、二次函数图象与系数的关系是关键【答案】C5.如图是二次函数 的图象，下列结论：2yaxbc二次三项式 的最大值为 4；4a+2b+c0；一元二次方程2的
7、两根之和为-1；使 y3成立的 x 的取值范围是 x0其中正确21axbc的个数有（ ）A1 个 B2 个 C3 个 D4 个【知识点】二次函数图象与系数的关系，二次函数的性质【数学思想】数形结合【解题过程】解：抛物线的顶点坐标为（-1，4），二次三项式的最大值为 4，故正确；2axbcx=2 时，y 0，4a+2b+ c0，故正确；根据抛物线的对称性可知，一元二次方程 的两根之和为-2，故21axbc错误；使 y3成立的 x 的取值范围是 x0或 x-2，故错误，故选：B 【思路点拨】掌握二次函数的性质、正确获取图象信息是解题的关键根据15112Oxy抛物线的顶点坐标确定二次三项式 的最大值
8、；根据 x=2 时，y 02axbc确定 4a+2b+c 的符号；根据抛物线的对称性确定一元二次方程的两根之和；根据函数图象确定使 y3成立的 x 的取值范围21x【答案】B6.如图所示的二次函数 y=ax2+bx+c 的图象中，刘星同学观察得出了下面四条信息：（1）b 24ac0；（2）c 1；（3）2a b0；（4）a+b+c0你认为其中错误的有（ ） A、2 个 B、3 个 C、4 个 D、1 个【知识点】二次函数图象与系数的关系【数学思想】数形结合【解题过程】解：（1）根据图示知，该函数图象与 x 轴有两个交点，=b 24ac 0，故本选项正确；（2）由图象知，该函数图象与 y 轴的交
9、点 0y1，c1，故本选项错误；（3）由图示，知对称轴 x= 1，又函数图象的开口向下， 2baa0，b2a ，即 2ab0，故本选项正确；（4）根据图示可知，当 x=1，即 y=a+b+c0， a+b+c0；故本选项正确综上所述，其中错误的是（2），共有 1 个故选 D【思路点拨】由抛物线的开口方向判断 a 与 0 的关系，由抛物线与 y 轴的交点判断 c 与 1 的关系，然后根据对称轴及抛物线与 x 轴交点情况进行推理，从而对所得结论进行判断【答案】D能力型 师生共研7.如图，二次函数 的图象与 轴正半轴相2yaxbcy交，其顶点坐标为（ ），下列结论：1, ； ； ； .0ac 0b24
10、acb0abc16其中正确结论的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4【知识点】二次函数图象与系数的关系【数学思想】数形结合【解题过程】解：根据二次函数图象反应出的数量关系，逐一判断正确性：根据图象可知： 0， 0， 0，正确；acac顶点坐标横坐标等于 ， ， ，正确；1212ba0b顶点坐标纵坐标为 1， ， ，正确；4c24ca当 =1 时， ，错误x0yab正确的有 3 个故选 C【思路点拨】 利用对称轴进行判定； 利用顶点坐标纵坐标24acb判定【答案】C 8.如图为抛物线 的图象，A、B、C 为抛物线与坐标轴的交点，且2yaxbcOA=OC=1，则下列关系中正确的是（
11、 ）A、 B、 C、 D、1ab1b0；8a+c0；9a+3b+c0.其中正确的有( )A.4 个 B.3 个 C.2 个 D.1 个-2 -1x=1Oyx【知识点】二次函数图象与系数的关系【数学思想】数形结合【解题过程】解：（1）图象与 x 轴交于两点，b 24ac0，正确；（2）观察图象知，a 0， b0，正确；（3）对称轴是 x=1， ，b=-2a.图象上的点 (-2,4a-2b+c)在第二象12a限，4a-2b+c0，把 b=-2a 代入，得 8a+c0，正确；（4）图象上的点(3,9a+3b+c)在第四象限，9a+3b+c 0，错误；（5）把 b=-2a 代入 6a+3b+c 中化简
12、得 c,而 c0，6a+3b+c0，错误其中正确的有 3 个，故选 B【思路点拨】能根据二次函数的图象确定 a,b,c, 及相关代数式的符号是解题关键.【答案】B10.如图，已知二次函数 y=ax2+bx+c（a0）的图象与 x 轴交于点 A（1，0），与 y 轴的交点 B 在（0， 2）和（0，1）之间（不包括这两点），对称轴为直线x=1下列结论：abc0 4a+2b+c0 4acb 28a a bc 32其中含所有正确结论的选项是（ ）18A B C D【知识点】二次函数图象与系数的关系，二次函数性质【数学思想】数形结合【解题过程】解：函数开口方向向上，a0；对称轴在 y 轴右侧ab 异号
13、，抛物线与 y 轴交点在 y 轴负半轴，c0，abc0，故正确；图象与 x 轴交于点 A（1，0），对称轴为直线 x=1，图象与 x 轴的另一个交点为（3，0），当 x=2 时， y0，4a+2b+c0，故错误；图象与 x 轴交于点 A（1，0），当 x=1 时，y= （ 1） 2a+b（1）+c=0 ，ab+c=0，即 a=bc，c=ba，对称轴为直线 x=1 =1，即 b=2a，2b19c=ba= （2a）a=3a ，4acb 2=4a（3a）（2a） 2=16a208a04acb 28a故正确图象与 y 轴的交点 B 在（0， 2）和（0，1）之间，2c123a1， a ；3故正确a0，
14、bc0，即 bc；故正确；故选：D【思路点拨】能根据二次函数的图象确定 a,b,c, 及相关代数式的符号是解题关键.【答案】D自助餐1.已知二次函数 y=ax2+bx+c 的图象如图，其对称轴 x=1，给出下列结果b 24ac；abc0；2a+b=0 ；a+b+c0；ab+c0，则正确的结论是（ ） A、 B、 C、 D、20【知识点】二次函数图象与系数的关系【数学思想】数形结合【解题过程】解：根据抛物线与 x 轴的交点情况，抛物线的开口方向，对称轴及与 y 轴的交点，当 x=1 时的函数值，逐一判断：抛物线与 x 轴有两个交点，=b 24ac0，即 b24ac，故正确；抛物线对称轴为 x=
15、，与 y 轴交于负半轴，b02aab0，c0，abc0，故错误；抛物线对称轴为 x= ，2a b=0，故错误；b12a当 x=1 时， y0，即 a+b+c0，故正确；当 x=1 时，y0，即 ab+c0，故正确正确的是故选 D【思路点拨】能根据二次函数的图象确定 a,b,c, 及相关代数式的符号是解题关键.【答案】D2.不论 x 为何值，二次函数 y=ax -x+c 的值恒为负，那么 a , c 应满足（ ）20.14aAc0.14aBc0.14aCc0.D【知识点】二次函数图象与系数的关系【数学思想】数形结合【解题过程】解：不论 x 为何值，二次函数 y=ax -x+c 的值恒为负，2二次
16、函数图象应开口向下，a0；且图象与 x 轴无交点，b -4ac0,21-4ac0, .ac41故选 C【思路点拨】二次函数 y=ax +bx+c 的值恒为负的条件是 a0 且 b -4ac02 2【答案】C213.二次函数 y=ax2+bx+c 的图象如图所示，且 P=|2a+b|+|3b2c|，Q=|2ab| |3b+2c|，则 P，Q 的大小关系是 【知识点】二次函数图象与系数的关系，绝对值化简【数学思想】数形结合【解题过程】解：抛物线的开口向下，a0， 0，2bb0，2ab0， =1，2ab+2a=0，x=1 时，y=ab+c0 bb+c 0，23b2c0，抛物线与 y 轴的正半轴相交，
17、c0，3b+2c0，P=3b 2c，Q=b2a3b2c=2a2b2c，QP= 2a2b2c3b+2c=2a5b=4b022PQ，故答案为：P Q 【思路点拨】能根据二次函数的图象确定 a,b,c, 及相关代数式的符号是解题关键.【答案】P Q4.如图是二次函数 y=ax2+bx+c 图象的一部分，图象过点 A（3，0），对称轴为直线 x=1，给出以下结论：abc 0 b 24ac0 4b+c0 若 B（ ，y 1）、52C（ ，y 2）为函数图象上的两点，则 y1y 2当3x1 时，y0，其中正确的结论是（填写代表正确结论的序号） 【知识点】二次函数图象与系数的关系，二次函数性质【数学思想】数
18、形结合【解题过程】解：由图象可知，a0，b0，c 0，abc0，故错误抛物线与 x 轴有两个交点，b 24ac0，故正确抛物线对称轴为 x=1，与 x 轴交于 A（ 3，0），抛物线与 x 轴的另一个交点为（1，0），a+b+c=0， =1，2bab=2a，c= 3a，4b+c=8a3a=5a0，故 正确B（ ，y 1）、C （ ，y 2）为函数图象上的两点，52又点 C 离对称轴近，23y 1y 2，故错误，由图象可知，3x1 时，y0，故正确正确，故答案为【思路点拨】能根据二次函数的图象确定 a,b,c, 及相关代数式的符号是解题关键.【答案】5.二次函数 的图象开口向上，图象经过点（ 1
19、，2）和（1，0），2yaxbc且与 轴相交于负半轴给出四个结论： ； ； abcab； 其中结论正确的个数为 （ ）ac1A1 B2 C3 D4 【知识点】二次函数图象与系数的关系，二次函数性质【数学思想】数形结合【解题过程】解： ，错误；0,abc ， 0ab由图象可知：对称轴 且对称轴 ，所以 正确；2x 12x 20ab ， 由图象可知：当 时 ， 当 时1y,c,y 与0.abcc0ab相加得 解得 正确； 2, 移项得 又 正确.1c1c ， 1,a故正确结论的序号为.故选 C.【思路点拨】能根据二次函数的图象确定 a,b,c, 及相关代数式的符号是解题关键.【答案】C6.已知二次
20、函数 的图象 Q 与 X 轴有且只有一个交点 P，与 Y 轴的2yaxbc交点为 B（0，4），且 acb， 24（1）求该二次函数的解析表达式（2）将一次函数 y3 x 的图象作适当平移，使它经过点 P，记所得的图象为L，图象 L 与 Q 的另一个交点为 C，求PBC 的面积【知识点】一次函数，二次函数图象性质，三角形面积【数学思想】数形结合【解题过程】解：（1）由 B（0，4）得，c=4. Q 与 x 轴的交点 P（ ，0），2ba由条件 ，得 ，所以 = ，即 P（ ，0）acc2c所以 解得4,20.b1,4.ab所求二次函数的解析式为 2yx（2）设图象 L 的函数解析式为 y= x+b，因图象 L 过点 P（ ，0）32所以 ，即平移后所得一次函数的解析式为6by= 3x令 = ，24x解得 ， 15将它们分别代入 y= ，36得 ， 10y29所以图象 L 与 Q 的另一个交点为 C（ ，9）5如图，过 C 作 CDx 轴于 D，则SPBC =S 梯形 BCDOS PCD S PBO = =15 11(4)39242225【思路点拨】二次函数 的图象与 X 轴有且只有一个交点时，2yaxbc=0，与 x 轴的交点坐标为（ ，0）.【答案】（1） ；（2）15.24yx
