1、1、应力和应变应力和应变的概念可以通过考虑一个棱柱形杆的拉伸这样一个简单的方式来说明。一个棱柱形的杆是一个遍及它的长度方向和直轴都是恒定的横截面。在这个实例中，假设在杆的两端施加有轴向力 F，并且在杆上产生了均匀的伸长或者拉紧。 通过在杆上人工分割出一个垂直于其轴的截面 mm，我们可以分离出杆的部分作为自由体【如图 1(b)】 。在左端施加有拉力 P，在另一个端有一个代表杆上被移除部分作用在仍然保存的那部分的力。这些力是连续分布在横截面的，类似于静水压力在被淹没表面的连续分布。 力的集度，也就是单位面积上的力，叫做应力，通常是用希腊字母，来表示。假设应力在横截面上是均匀分布的【如图 1(b)】
2、 ，我们可以很容易的看出它的合力等于集度，乘以杆的横截面积 A。而且，从图 1 所示的物体的平衡，我们可以看出它的合力与力 P 必须的大小相等，方向相反。因此，我们可以得出等式(1)可以作为棱柱形杆上均匀应力的方程。这个等式表明应力的单位是，力除以面积。当杆被力 P 拉伸时，如图所示，产生的应力是拉应力，如果力在方向是相反，使杆被压缩，它们就叫做压应力。 使等式(1)成立的一个必要条件是，应力，必须是均匀分布在杆的横截面上。如果轴向力 P 作用在横截面的形心处，那么这个条件就实现了。当力 P 没有通过形心时，杆会发生弯曲，这就需要更复杂的分析。目前，我们假设所有的轴向力都是作用在横截面的形心处
3、，除非有相反情况特别说明。同样，除非另有说明，一般也假设物体的质量是忽略的，如我们讨论图 1 的杆一样。 轴向力使杆产生的全部伸长量，用希腊字母 表示【如图 1(a)】 ，单位长度的伸长量，或者应变，可以用等式来决定。 L 是杆的总长。注意应变 是一个无量纲的量。只要应变是在杆的长度方向均匀的，应变就可以从等式(2)中准确获得。如果杆处于拉伸状态，应变就是拉应变，代表材料的伸长或者延长 如果杆处于受压状态，那么应变就是压应变，这也就意味着杆上临近的横截面是互相靠近的。 当材料的应力和应变显示的是线性关系时，也就是线弹性。这对多数固体材料来说是极其重要的性质，包括多数金属，塑料，木材，混凝土和陶
4、瓷。处于拉伸状态下，杆的应力和应变间的线性关系可以用简单的等式来表示。E 是比例常数，叫做材料的弹性模量。注意 E 和应力有同样的单位。在英国科学家托马斯杨(1773 1829)研究杆的弹性行为之后，弹性模量有时也叫做杨氏模量。对大多数材料来说，压缩状态下的弹性模量与处于拉伸时的弹性模量的一样的。 2、拉伸应力应变行为一个特殊材料中应力和应变的关系是通过拉伸测试来决定的。材料的试样通常是圆棒的形式，被安置在测试机上，承受拉力。当载荷增加时，测量棒上的力和棒的伸长量。力除以横截面积可以得出棒的应力，伸长量除以伸长发生方向的长度可以得出应变。通过这种方式，材料的完整应力应变图就可以得到。 图 1
5、所示的是结构钢的应力应变图的典型形状，轴向应变显示在水平轴，对应的应力以纵坐标表示为曲线 OABCDE。从 O 点到 A 点，应力和应变之间是直接成比例的，图形也是线性的。过了 A 点，应力应变间的线性关系就不存在了，因此 A 点处的应力叫做比例极限。随着荷载的增加，应变比应力增加的更快，直到在 B 点，在拉应力没有明显增大的情况下，物体也发生了相当大的伸长。这种现象叫做材料的屈服，点 B 处的应力叫做屈服点或者屈服应力。在区域 BC 材料开始具有塑性，棒也开始塑性伸长，伸长量是在比例极限处伸长量的 10 或者 15 倍。 在 C 点，材料开始应变硬化，并且进一步的阻力，阻止载荷的增加。这样，
6、随着进一步的伸长，应变增加，并且在 D 点达到最大值，或者极限应变。过了这一点，棒的拉伸伴随着载荷的减少，试样最后在图上 E 点断裂。 在棒伸长期间，发生了侧面的收缩，导致棒的横截面积减小。这个现象在 C 点之前，对应力应变图没有影响，但是过了这一点，面积的减小对应力的计算值有明显的影响。棒就会发生明显的颈缩(如图 2 所示)，并且如果颈处狭窄部分的实际横截面积被用于计算，将会发现真实的应力应变曲线是虚线 CE。尽管在极限应力达到之后，棒上的总荷载有实际的减小，这个减小是由于面积的减少，而不是材料强度的减小。 在失效点之前，材料实际经受了应力的增加。然而，为了多数实用目的，常规的应力应变曲线
7、OABCDE 是基于试样最初的横截面积，为设计目的提供了令人满意的信息。 图 1 的图形，画出来是为了表示应力应变曲线的一般特性。在应力应变曲线的最初区域，材料表现的既有弹性又有线性。钢材的应力应变图上的从 O 到 A 的区域就是很好的例子。紧接着大的塑性应变，明显屈服点的出现，对于在今天是很普通的结构化金属钢材来说稍微有点独特。铝合金从线性到非线性区域是更渐渐的转变。 在失效之前，钢和许多铝合金承受了更大的应变，所以被归类为易延展的。另一方面，脆性材料在很低的应变时就失效了。实例包括陶瓷，铸铁，混凝土，某些金属合金，和玻璃。 3、圆棒的扭转 让我们设想一下，一个具有圆形横截面的棒被作用在其末
8、端的力偶扭转(如图 1)。以这种方式加载的棒据称是处于纯扭转。从考虑对称性可以看出，圆棒的横截面在纵轴方向是作为刚体扭转的，半径依然是直的，横截面是圆形的。并且，如果棒扭转的总角度比较小的话，棒的长度和半径 r 都不会改变。 在扭转期间，对应于棒的一端，棒的另一端绕着纵轴会发生扭转。例如，如果我们把棒的左端看做固定的，那么对应于棒的左端，棒的右端会旋转一个角度。同时，棒表面的纵向线例如 nn，会旋转一个小的角度到位置。因为扭转，棒表面的矩形单元，例如图中所示的在两个横截面之间相距的单元，被扭转成长菱形。 当一个杆状物承受纯扭转时，扭转角的变化率沿着棒的长度方向是恒定不变的。这个常数代表单位长度
9、的扭转角，用符合 表示。这样，我们得出，L 是轴的长度。然后，我们可以得到切应变。作用在单元边线处的切应力有图 1 所示的方向。对于线弹性材料，切应力大小是。等式(1)(2)把杆状物的应变和应力与单位长度的扭转角联系起来。杆状物内部的应力表述用的方式类似于用于杆状物表面的表述方式。因为棒横截面的半径依然是直的，在扭转时没有扭曲，我们看到位于半径为 的圆柱体表面的内部单元，是纯剪切并伴随着对应的切应变，应力可以从下述的表达式得出。这些等式表明，从轴心处切应力和切应变随着径向距离是线性变化的，并且在外表面达到最大值。 作用在横截面的切应力，由等式(3b)给出，伴随着作用在杆状物纵向平面的相等的切应
10、力。这个结果是从这样一个事实得到的，就是相等的切应力总是存在于相互垂直的平面。如果材料纵向受剪弱于侧向受剪(例如，木材)，受扭杆状物的第一次断裂将会出现在它的纵向表面。杆状物表面的纯剪切应力的表述等效于，对于杆状物轴扭转45。的单元上的拉应力和压应力。如果一种受拉比受剪弱的材料受扭，那么材料将会沿着与轴成 45。的螺旋线处以收缩的方式失效。通过扭转一支粉笔的方式就可以很容易的演示这种失效。 可以建立施加的扭矩 T 和产生的扭转角间的关系。切应力的合力必须静定的等于合扭矩。作用在单元面积 dA 上的剪切力是，这个力对于棒轴的力矩是。在等式(3b)中，力矩等于。合力矩 T 是整个横截面上的单元力矩
11、的总和，因此，总和，因此，是圆截面的极惯性矩。从等式(4)我们可以得到，是单位长度的扭转角，与扭矩 T 成正比，与乘积，是相反的，是杆的扭转刚度。 4、梁的挠曲一根承受轴横向力的棒叫做梁。图 1 中的梁，一端是针状支撑，另一端的滚动支撑，叫做简支梁或者简单的梁。简支梁的本质特征是在弯曲时梁的两端可以自由转动，但是它不能够横向移动。另外，梁的一端可以沿轴向自由移动。一端是嵌入式或者固定，另一端的自由的梁，叫做悬臂梁。梁的固定端既不可以转动也不可以移动，自由端则可以转动和移动。 梁上的荷载可以分为集中力，例如图 1 中的力 ，或者分布载荷，可以表述为沿着梁轴单位距离作用单位力。轴向力 作用于横截面
12、的法向，通过横截面的质心。剪力?平行于横截面，弯矩 作用于平面梁，被叫做合应力。 剪力、弯矩 和梁上荷载的关系可以表述为。这个等式表示，在分布载荷(或者没有载荷)作用于梁上时，弯矩的变化率等于剪力的代数值。如果梁上作用有集中力，那么在集中力作用点剪力处，将会有突变，或者不连续。 作用在梁侧面的载荷将会引起梁的挠曲。如图 所示，在力作用前，梁的纵轴是直的。在弯曲后，梁的轴变成了曲线，表现为曲线，让我们假设 xy 平面是对称与梁的平面，并且所有的载荷都作用在平面内。那么曲线，叫做梁的挠曲线，也会在平面内。 从图形的几何形状可以看出，是曲率，等于曲率的半径的倒数。这样，曲率等于角度在沿着挠曲线测量的
13、长度方面的变换率。 梁挠曲线的基本微分方程可以表述为，是梁从初始位置的挠度。必须在每个事例中求积分来获得挠度。这个步骤包括方程的连续积分，作为结果的积分常数从梁的边界条件获得。应该明白，只有在材料适用于胡克定律并且挠曲线的斜率是很小的时候，方程才是有效。 另一种获得梁挠度的方法是力矩面积法。这个方法得名于它利用了弯矩图的面积。当想得到挠度或者梁上一点处的斜率，而不是获得挠曲线的整个方程，这个方法是特别有用的。 作用在横截面上任意一点处的正应力和切应力，可以使用方程，其中 是在横截面中性轴方面的第二力矩(或者惯性矩)，Q 是梁平面面积的第一力矩(或者静态矩)。可以看出梁外缘处正应力是最大的，在中
14、性轴处为零，在外缘处切应力为零，在中性轴处经常达到最大。梁上的剪力 V 和弯矩 M 经常随着距离变化，距离规定是从它们作用在梁上的横截面处开始的。当设计一个梁时，非常想知道梁上所以横截面处和的值，提供这方面信息的一个很简便的方法是画一个表达它们沿着梁轴变化的图。为了画出图，我们把横截面的位置作为横坐标，把对应的剪力或者弯矩的值作为纵坐标。这样的图像叫做剪力图或者弯矩图。 图 1 中的简支梁是静定梁中的一种。这种梁的特征的它所有的反作用力都是由静力平衡方程决定的。反作用力的数目多于静力平衡方程数目的梁叫做超静定梁。对于静定梁，我们可以通过求解静力平衡方程快速获得梁的反作用力。然而，当梁是超静定时
15、，我们不能仅从静力方面求解解决。取而代之的是，我们必须考虑梁的挠度，并且获得相容方程作为静力方程的补充。 6、刚体的平衡 静力学的主要目标是建立一个基本理论，来管理作用在处于平衡状态的物体上的力。描述阻止物体移动的力的一个手段是自由体受力图，它使物体从周围的事物中隔离出来。在受力图中，我们展示了施加在物体上的所有力，记住牛顿第三定律告诉我们的，力是物体之间相互作用的结果。构建受力图的过程帮助我们理解系统的参数是很重要的。 构建自由体受力图的部分任务的为了检查支撑结构，以便我们可以推导出应用在物体上的什么类型的力。这些力有时叫做约束力，因为它们代表支撑结构约束物体移动的方式。对这些力的另一个术语
16、是反作用力，因为它们代表支撑结构对物体移动趋势做出反应的方式。反作用力被用来约束物体的移动，反作用力偶被用来约束物体的转动。在任何时候支撑结构的类型允许物体在特定方向移动，或者是绕着特定轴转动，那么在哪个方向将没有反作用力或力偶。 我们可以为条件建立一个数学推导公式，如果物体处于精力平衡状态，那么这个公式必须满足。在我们研究作用在处于静力平衡的物体上的力之间的关系之前，让我们想象用作用在一些合适点 C的等效的力偶系，来代替作用在物体上的真实的力。力 R 是真实力的合力，描述了在点 C 处合力压或拉的效果。力偶是在点 C 真实力的力偶之和。这个力偶描述了真实力引起的物体绕着点 C 转动的合趋势。
17、为了使一个刚体处于静力平衡状态，应该使作用在物体上的力系满足合力为 0，合力偶为 0。 设定合力和合力偶为 0 的最直接的方式是，实际计算所以力的合力和在任意点处力偶的和。我们接着使合矢量等于 0，这样我们就得到F = 0，Mc= 0 。在空间力系的事例中，力和合力偶每个有三个组成部分，因此等式，1，等效于下面的六个静力平衡的标量等式。Fx= 0，Fy= 0，Fz= 0 ， Fcx= 0，Fcy= 0，Fcz= 0 。对于并发系统力的平衡方程是方程式，2a，b，的特殊例子，可以从令点 C 成为并发点看出。 一个求解静力平衡方程的方法，得出了反作用力和自由体受力图上显示的未知力。点 C 对于合力
18、偶来说是任意的。我们一般应该选择点 C 沿着至少一个未知反作用力的作用线的方向，这是为了从力偶方程中消除未知力。这个过程简化了要求解的方程。简化方程的能力启发我们考虑可供选择的公式时，选择力偶是在超过一点处的合力偶。 在平面力学的例子中，只有三个不寻常的静力平衡标量方程。这些方程可以从三个可供选择的公式之中获得，如下所示：(1). 在一点处的力偶等于 0，在两个方向的合力等于 0。这是方程，2a，b，的方法。 (2). 在两点处的合力偶等于 0，在不垂直所选两点连线方向上的合力等于 0。 (3). 在三个不共线点处的合力偶等于 0 对于空间力学的例子，简化并不是必须的，由于在空间力系中力偶的测
19、定比平面力要稍长一些。 14、圆柱的屈曲 圆柱的选择通常是结构设计中非常关键的部分，因为圆柱的失效经常会产生灾难性的影响。而且，在弯曲或者挠曲状态，圆柱比杆更难设计，因为圆柱的行为更加复杂。如果一个与宽度相比很长的圆柱承受轴向力，它可能一屈曲失效，也就是，当载荷接近临界值挠度快速增加。这个值叫做临界载荷。当达到临界载荷时，与圆柱形状转变有关的屈曲现象，从稳定平衡状态到不稳定平衡状态。 为了研究圆柱的行为，我们通过考虑一个细长的、理想的，长度为 L 的直圆柱来开始研究，并且圆柱在底端固定，在顶端自由如图 1 所示。如果轴向载荷 小于临界值，棒将保持竖直，并且只承受轴向压缩。这个平衡直型是稳定的，
20、也就意味着，如果施加有侧向力，并且产生了小的挠度，将会发生挠曲，当侧向力移除后，棒将会恢复到直型。 然而，随着 p 逐渐增加，当等于时，达到中性平衡状态。在这个载荷时，圆柱理论上可以有任意小的挠度，一个很小的侧向力就可以产生一个在侧向力移除后也不会消失的挠曲。在载荷的更大值时，圆柱失稳并将会被破坏。 圆柱的临界载荷可以通过使用挠曲线方程来计算。对于图 1(b)所示的圆柱，方程是， ，式中 是自由端的挠度。使用记号 ，我们可以写处方程(1)的通解，形式为 。圆柱嵌入端的边界条件，得出 和 ，挠曲线方程变成 。利用圆柱顶端的边界条件，顶端的边界条件，我们得出 ，于是我们可以得出结论或者= 0 或者
21、，= 0。 如果= 0，那么就没有圆柱的挠曲因此没有屈曲。图 1(a)可以表现这样一个事实。其他的可能性是，= 0，我们可以从方程(3)看出可以有任意小值。 = 0 成立需要 ，并且= 1，3，4。因此，我们可以得到无数的临界值 。这个方程表明，随着 的增加，挠曲线将会有更多的波在上面。当= 1 时，曲线上有 12 波，如图 1(b)所示。对于= 3 和= 5 的挠曲线在图1(c)和(d)各自显示。尽管它们代表圆柱屈曲的理论可能模型，它们没有实际价值，因为圆柱在对应于圆柱最小临界载荷的第一模型就屈曲了。 一端简支，一端固支的圆柱的临界屈曲载荷，可以从前面例子的解中得到。例如，在对称中很明显，处
22、于屈曲第一模型时的，带有铰接端的圆柱的挠曲线在中点处有垂直切线。因此，棒处于图1(b)时，圆柱的二分之一处都是同样的状态，通过把，取代为 2也就是 ，我们可以从方程(4)得到临界载荷。如果圆柱两端固支，对于第一屈曲模型的挠曲线是余弦曲线，这个曲线在从末端起，距离处有拐点。所以，通过把 L 取代为 也就是 ，我们可以得到临界载荷。 从方程(4)我们可以看出，圆柱的临界载荷正比于抗弯刚度，反比于长度的平方。因此，临界载荷的增加可以通过增大横截面的惯性矩。这个结果的实现可以通过尽可能地从横截面的形心处分布材料。因此，对于圆柱体，管状构件比具有同样横截面积的实体构件要更加经济。 通过减小这样形式截面的
23、壁厚，增加横向尺寸，圆柱的稳定性增加了，因为更大了。对于壁厚有一个很低的限制，然而，低于这个限制，壁本身就会不稳定。因此，不是从整体来研究圆柱的屈曲，在壁上会有以壁的起皱形成的波纹形式的局部屈曲。这种形式的屈曲叫做局部屈曲，需要更详细的研究。 15、什么是动力学问题， 当一个结构受到动荷载作用时，整体或局部的加速伴随着惯性力的产生。由于惯性力的影响，在加载过程中和之后应力是变化的，因此在加载过程中只有在对应的瞬时才有对应力的特别描述。然而，在许多情况下，当载荷是逐渐加上去或是变化的很慢，动力的影响是不重要并且是可以忽略的。当突然加荷载时，惯性力是必须考虑的而且在极端情况下，例如撞击或共振，动力
24、的影响是主导的。 正如前面提到的，动力的影响，换言之，也就是物体上应力在变化的过程中惯性力的影响，是依赖于动荷载的情况。有三组典型的现象可以区别。是，1，应力的准静态描述， ，2，共振，和，3，应力波。这几组的的范围并没有清晰的定义，然而，与许多组相联系的现象经常可以发生在同一动态事件中。 物体的动态响应不仅依赖一作用力的重要性，对于一个决定性的程度，也依赖于它们改变的频率。这样的话，当作用力的改变产生应力波时，这些波的频率是由于作用力改变的频率决定的。如果力的改变是由于撞击或是冲击物，这意味着物体被撞击的响应是依赖于两物体的接触时间。 当作用在物体上的力变化很慢，因此频率是很低的，那么波长与
25、物体的尺寸相比是很大的。在一个极端的例子中，应力的分布是独立于力的变化率的。尽管在加载过程中，应力随尺寸变化，它们的分布至始至终是一样的，并且与静态加载下的情况是一样的。作用在物体上的外力在整个过程中始终平衡，而且当撤去外力后应力就消失了。在这种情形下的问题叫做准静态。 当循环加载的频率与物体的共振频率是同阶的，应力波和它们的响应产生振动，换言之，就是纵向的或挠曲的振动。由于惯性力，应力的分布在一些范围与同类的静态或准静态的例子是不同的，并且外力在整个过程中是不平衡的。 如果物体上的作用力改变的频率是很高的，换言之，就是与物体尺寸相比很短的波的产生，应力波的影响是主要的。在这种情况下，应力的分
26、布与在静态或准静态下的分布是有很大不同的。 经常遇到的一个问题是，在包含应力波，或在有缺口或在外形不规则物体下振动的动力状态下，决定应力集中的因素是什么。在这种情况下，采用的顺序依赖于波长和缺口的相关尺寸。如果缺口的尺寸与波长相比是很小的，那么缺口附近的应力分布与同规格静力加载下是相似的。与物体上一小部分相关的模型上的加载，将会产生同样的应力分布。 当应力波的波长和物体的尺寸是同阶或是更小时，例如，有个缺口在上面，将会用动态的方法解答。这在振动中也是一样的。由于应力集中系数依赖与所包含的应力波的波长，很明显并没有一般的实用的动态下的应力集中系数。 17、势能法 势能的概念在结构力学中是非常重要
27、的。在接下来的讨论中，我们将讲述势能在结构分析中是如何应用的，它与应变能的联系，和位移法。另外，可以看出在精确分析不可行的情况下，势能经常被用于结构的近似分析。 在某些实际结构中，任何力学的或者结构系统的势能被定义为功，如果系统从实际结构移动到参考结构，那么所有的作用力所产生的就是功。总的来说，参考结构经常被认为是未加载结构的形状。因此，势能就是，当结构从加载结构移动到它未加载时的位置时，所有作用力做的功。 结构上的作用力由外力和内力组成。内力被认为是连续固体问题的应力或者是梁、桁架或者框架例子中的合应力。内力的势能很显然是储存在承载结构中应变能， ，因为如果结构从实际情况移动到它未加载的形状
28、，恢复做的功等于应变能。 外力的势能是负的，因为如果结构从最终位置恢复到它的最初位置，结构上的载荷做的是负功。因此，载荷的势能可以表示为 ，式中 代表结构上的载荷，是对应的位移，是载荷的数量。 特别需要注意，载荷 的势能不同于结构加载期间 做的功。在加载过程中，力 逐渐从零增加到最终值，这个载荷做的功可以表示为 。另一方面，当结构从最终位置恢复到参考状态时，势能的力做的功(作用在最终值)。 对于用势能法进行结构分析的目的，未知位移1 ，2 ， 必须首先被确定。然后应变能，可以表示成那些位移的函数。另外，假设结构上的所有载荷，记为 ，对应于未知位移。在这些条件下，结构系统的总势能可以通过合并结构
29、的应变能和载荷的势能获得，所以 。总势能的这个表达式可以用于任何弹性结构，不论它表现的线性或者非线性。 通过采用势能关于任何一个位置位移 i 的偏导数，可以得到下面的方程 。从卡式第一定理，我们知道，所以可以得到 n 维方程组，表达如下 。 从概念上来看，方程(5)有特别的意义，因为它表明，当结构的势能有驻值时，或者是最小值、最大值或者是中性值，结构的平衡条件是满足的。因此，方程(5)被认为是位移法的平衡方程。或者，方程(5)被认为是势能驻值原理的数学表达式。 势能驻值原理表明，如果弹性结构(线性或者非线性)的势能表述为未知位移的函数，那么当假定总势能有一个驻值，而位移有这样一个值时，结构将处
30、于平衡状态。通常结构处于稳定平衡，然后总势能是最小值。在这些条件下，方程(5)阐述了最小势能原理。对于不稳定结构，势能有最大值或者中性值。 势能驻值原理的应用导致有许多和联立方程一样多的位置位移。这些方程是位移法的平衡方程，它们可以解出未知位移。如果结构表现为线性，方程(5)导出了刚度法的平衡方程，这个方程被看做是位移法的特例。然而，必须意识到，在应用力学中势能驻值原理是基本原理，而且在实际中被用于种类繁多的复杂结构。另外，除了结构分析它也可以用于其它方面。 、虚功原理 在学习静力学的过程中，通常会介绍虚位移和虚功的概念，它们被用于解决静力平衡问题。 “虚”这个字意指完全假设的量，它在真实意义
31、或者物理意义上并不存在。因此，虚位移是一个假想的位移，可以任意的应用在一个结构系统中。它不是一个真实的位移，不同于作用在梁上载荷引起的挠度。在虚位移上真实力作用产生的功叫做虚功。 虚位移的概念适用于在一组载荷作用下处于平衡状态的刚体，这组载荷可能包括力、力偶和均布载荷。刚体被给予一个虚位移，这个虚位移包括一个任意方向的平移，一个绕着任意轴的转动，或者是转动和平移的组合。在所有的例子中，如果物体处于平衡状态，那么力做的虚功都等于零。一般我们必须限制虚位移为一个很小的量，以使力的作用线在虚位移中不会改变。 在结构分析的使用中，我们必须扩展虚位移原理，以包括变形结构的例子。对于这种结构，我们不仅要考
32、虑外力的虚功，也要考虑内力的虚功。为了表明这是如何实现的，让我们考虑一个在力、弯矩、扭矩和均布载荷，作用下处于完全通用样式的结构。当然了，结构在多种载荷作用下处于静止平衡状态。 现在，假设结构被赋予一个虚变形，这个虚变形包括它的变形形状的小改变。这个虚变形以非特定的方式强加于结构上，并且完全独立于这样一个事实，这个事实是结构已经经受了由作用在它上面的载荷引起的实变形。这样一个实变形有一个由载荷和结构的特性决定的明确的大小。然而，虚位移代表加在结构上的额外的变形，这个结构以前在真实载荷作用是平衡形状。 虚变形上唯一的限制是，它必须代表在物理意义上能够存在的变形形状。换句话说，形状的虚改变必须与结
33、构的支座条件相适应，并且必须保持结构单元间的连续性。除了这个限制，形状的虚改变可以任意的用于结构上。不应该对实载荷引起的结构的变形形状感到困惑。 在虚变形过程中，结构的每一个单元将会移动到一个新位置，并且形状也会发生变形。所以，作用在单元上的力产生虚功。让我们用符号，?，来记虚功的总和。这个与一个单元有关的功被认为由两部分组成，(1)由于单元作为刚体的移动产生的功，(2)与单元变形有关的功。于是 。因为单元处于平衡状态，在单元作为刚体移动的过程中，力做的虚功 dWr 必须等于零，因此上述的方程可以简化为 。这个方程表明，在它的虚位移过程中作用在单元上的力做的虚功，等于在只有单元虚变形的过程中那
34、些同样的力做的虚功。现在，如果我们从结构的所有单元方面来总结方程(2)中的虚功关系，我们得到 ，应该理解积分是在整个结构上进行的。 可以对方程(3)的积分做一个简单的说明。方程左边的积分是在结构的虚变形过程中，所有力和作用在所有单元的所有面上的载荷和应力，做的总虚功。然而，我们应该注意到，每个单元的边与邻近单元的边是直接联系的。所有，作用在一个单元上的应力的虚功将会精确的抵消作用在邻近单元上相反应力产生的相等的虚功。唯一存在的虚功是作用在单元外边界上外力做的功。因此，我们得出结论，方程(3)左边的积分等于作用在结构上外力做的虚功。我们把这个量作为外力功，并且记为。 方程(3)右边的项，可以通过对与单元变形有关的虚功积分得到。这个功包括作用在单元上所有力的影响，力有应力和外载荷。然而，当单元变形时，只有应力做功。因此，方程(3)的第二项实际上只代表应力做的虚功。这个虚功等于当单元处于虚变形情况下应力做的功。通过对所有单元求和得到的虚功的总和，叫做内功记做 。因此，方程(3)变为 。 方程(4)表述了虚功原理，它也可以表述如下，如果一个在载荷系统作用下处于平衡状态的变形结构，被给予一个小变形，那么外载荷做的虚功等于内力(或者应力)做的虚功。注意在虚功原理的发展中，并没有考虑结构材料的性质。所以，虚功原理适用于所有结构，不需考虑材料表现的是线性还是非线性，弹性或者非弹性。
