1、2.1 复变函数的积分,（一）复变函数积分的定义,复平面上的路积分定义: 复平面分段光滑曲线 l 上的连续函数 f(z)，作和,1,A ,x,y,o, B,z0,zn,l,z1,zk-1,zk,k,第二章 复变函数的积分,若,2,即,存在且与k的选取无关, 则这个和的极限称为函数 f(z) 沿曲线 l从 A到 B的路积分，记为,分量形式：f(z)=u(x,y)+iv(x,y), z=x+iy,参数形式：曲线 l 的参数方程 x=x(t), y=y(t), 起始点A 和结束点 BtA, tB,3,（二）复变函数积分的性质,因为复变函数的路积分可以归结为两个实变函数的线积分，所以实变函数线积分的许
2、多性质也适用于复变函数路积分。,1.常数因子可以移到积分号之外2.函数和的积分等于各函数积分的和3.反转积分路径，积分值变号,4,4.全路径上的积分等于各分段上的积分之和 即： 如果 l=l1+l2+ln5.积分不等式1：6.积分不等式2： 其中 M 是 |f(z)| 在 l 上的最大值，L 是 l 的全长。,5,例 计算积分,一般而言，复变函数的积分不仅与起点和终点有关，同时还与路径有关。,解：,6,2.2 柯西（Cauchy）定理 研究积分与路径之间的关系（一）单连通区域情形单连通域 在其中作任何简单闭合围线，围线内的点都是属于该区域内的点。单连通区域的Cauchy 定理 ：如果函数 f(
3、z) 在闭单连通区域 中单值且解析， 则沿 中任何一个分段光滑的闭合曲线 l (也可以是 的边界 ), 函数的积分为零。,复习数学分析中的Green公式:,试着证明 Cauchy 积分定理:,假定函数P(x,y),Q(x,y)及其对x、y偏导数是闭合曲线 l 及所围单通区域 S上的连续函数，则,因 f(z)在 上解析，因而 在 上连续，对实部虚部分别应用格林公式，将回路积分化成面积分,8,又u、v 满足C-R条件,解：函数 根据Cauchy积分定理, 有,例 ：计算积分,推广：若 f(z)在单连通域B上解析，在闭单连通域 上连续，则沿 上任一分段光滑闭合曲线 l (也可以是 的边界)，有,9,
4、（二）复通区域情形,函数在区域上存在奇点，作一些适当的闭合曲线把这些奇点挖掉而形成的带“孔”区域，即所谓的复通区域。,复连通区域的Cauchy 定理：如果 f(z) 是闭复连通区域 中的单值解析函数，则,l 为外边界线， li为内边界线，积分沿边界线正向。,证：作割线连接内外边界线，复通区域变成了单通区域， f(z)在这单通区域上解析，由单通区域Cauchy 定理，有,10,沿同割线两边缘上的积分值相互抵消,沿内、外境界线逆时针方向积分相等。,11,柯西定理总结：1. 若f(z)在单连通域B上解析，在闭单连通域 上连续，则沿 上任一分段光滑闭合曲线l(也可以是 的边界)的积分为零； 2. 闭复
5、连通区域上的解析函数沿所有内外境界线正方向的积分为零；3. 闭复连通区域上的解析函数沿外境界线逆时针方向的积分等于沿所有内境界线逆时针方向积分之和.,12,由Cauchy 定理可推出:在闭单连通区域或闭复连通区域上解析的函数 f(z)，只要起点和终点固定不变,当积分路径连续变形时(不跳过“孔”)时，函数的路积分值不变。即路积分值只依赖于起点和终点，而与积分路径无关。,故,2.3 不定积分（原函数）,F(z) 的性质：(1) F(z) 在B上是解析的；(2) F (z)= f(z) 即 F(z) 是 f(z) 的一个原函数。,根据 Cauchy 定理，若函数 f(z) 在单连通区域 B上解析,则
6、沿B上任一分段光滑曲线 l 的积分 只与起点和终点有关，而与路径无关。因此如果固定起点 z0 而变化终点 z, 可以定义一个以终点z为自变量的单值函数F(z):,13,原函数不是唯一的，原函数之间仅仅相差一常数。,14,还可以证明(Newton-Leibniz 公式)：,例：求积分 ，其路径为直线段。解：由于 于全平面解析，故只要求出 f(z) 的任一个原函数即可.,15,例(p14):已知 解析函数实部 u=x2-y2 ,求 f(z),故,解：根据(p10),16,例(重要):计算积分( n 为整数）,(2)如果 l 包含 点, 又要分两种情况：,解：(1)如果 l 不包含 点，被积函数总解
7、析,按柯西定理， I=0;,(a) n0, 因被积函数解析, 故 I=0;,(b) n0,被积函数在l 内有奇点 ， 由柯西定理推论可知，l 可连续变形为以 为圆心而半径为R的圆周C,在 C 上,17,(一) n-1,(二) n=-1,总结起来有,18,2.4 柯西（Cauchy）公式解析函数是一类具有特殊性质的函数，特殊性表现之一是，在解析区域各处的函数值并不相互独立，而是密切相关，这种关联的表现之一就是Cauchy 积分公式.(一)单连通域情形 若 f(z)在闭单通区域 上单值解析；l 为 的境界线，为 内的任一点,则有Cauchy 积分公式：,柯西积分公式的数学意义：一个解析函数f(z)
8、在区域B内的值由它在该区域边界上的值 f(z)所决定。,19,证明： 由 p28（2.3.4）式,从而仅需证明,因被积函数一般以 为奇点，作如图所示回路C，有,20,对右端值作一估计,因,于是,（2.4.2）左端与 无关，故必有,21,如果 点在 内任意变动，上式也成立。因此用z 代替 ，用代替z，将柯西公式改写为,对复连通区域，（2.4.3）式仍成立只要将 l 理解成所有境界线，且均取正向.,一个解析函数在圆心处的值等于它在圆周上的平均值。,22,（二）无界区域的Cauchy积分公式如果：f(z) 在 l 外部解析，且当 |z| 时，f(z) 0 (一致)， 则：,注意： l和l 的方向不同
9、，但都是所考虑区域的正方向（正方向是指：当沿着该方向走动时，所考虑的区域始终在左方）,23,（三）Cauchy 积分公式的重要推论（任意次可导！）：,由于z为区域的内点,积分变数 在区域的境界线上, z- 0 ,积分号下的函数 在区域上处处可导，因此，可在积分号下对z求导,反复在积分号下对z求导可得,解析函数任意阶导数都存在，并且都是这个区域内的解析函数.,24,例 计算积分 I, 其中 l 为不经过点 0 和 1 的正向曲线。解： (1) 如果 0 和 1 都不在l 中，则被积函数解析，因 此, 由 Cauchy 定理得 I=0;,25,（3）若仅 1 在 l内,26,而在 l0 上及l0 包围的圆内 f0(z) 解析，同样，在 l1 上及l1 包围的圆内 f1(z) 解析，故利用 Cauchy 积分公式，由上面的结果得,27,最后，我们有：其中 B 为曲线 l 包围的区域。,28,例：p31习题 第1题 ，x作为参数，t为复变数解：把 表为回路积分如下:,证明：以 =x-z 代入上式,本节作业：第31页第2题,
