1、远辉教育远辉教育奥数班第十二讲简单统筹规划主讲人：杨老师 学生：四年级 电话：62379828一、 学习要点：最优化概念反映了人类实践活动中十分普遍的现象，即要在尽可能节省人力、物力和时间的前提下，努力争取获得在允许范围内的最佳效益因此，最优化问题成为现代应用数学的一个重要研究对象，它在生产、科学研究以及日常生活中都有广泛的应用作为数学爱好者，接触一些简单的实际问题，了解一些优化的思想是十分有益的二、 典例剖析：例 1 妈妈让小明给客人烧水沏茶洗开水壶要用 1 分钟，烧开水要用 15 分钟洗茶壶要用 1 分钟，洗茶杯要用 1 分钟，拿茶叶要用 2 分钟小明估算了一下，完成这些工作要 20 分钟
2、为了使客人早点喝上茶，按你认为最合理的安排，多少分钟就能沏茶了？分析 本题取自华罗庚教授 1965 年发表的统筹方法平话烧水沏茶的情况是：开水要烧，开水壶要洗，茶壶茶杯要洗，茶叶要取怎样安排工作程序最省时间呢？办法甲：洗好开水壶，灌上凉水，放在火上，在等待水开的时候，洗茶杯，拿茶叶，等水开了，沏茶喝办法乙：先做好一切准备工作，洗开水壶，洗壶杯，拿茶叶，灌水烧水，坐等水开了沏茶喝办法丙：洗开水壶，灌上凉水，放在火上坐待水开，开了之后急急忙忙找茶叶，洗壶杯，沏茶喝谁都能一眼看出第一种办法好，因为后两种办法都“窝了工”开水壶不洗，不能烧开水，固为洗开水壶是烧开水的先决条件，没开水、没茶叶、不洗壶杯，
3、我们不能沏茶，因而这些又是沏茶的先决条件它们的相互关系可以用下图的箭头图来显示箭杆上的数字表示完成这一工作所需的时间，例如表示从把水放在炉上到水开的时间是 15 分钟从图上可以一眼看出，办法甲总共要 16 分钟，而办法乙、丙需 20 分钟洗壶杯、拿茶叶没有什么先后关系，而且是由同一个人来做，因此可以将上图合并成下图解 先洗开水壶用 1 分钟，接着烧开水用 15 分钟，在等待水开的过程中，同时洗壶杯、拿茶叶，水开了就沏茶，总共用了 16 分钟又因为烧开水的 15 分钟不能减少，烧水前必须用 1 分钟洗开水壶，所以用16 分钟是最少的说明：本题涉及到的统筹方法，是生产、建设、工程和企业管理中合理安
4、排工作的一种科学方法，它对于进行合理调度、加快工作进展，提高工作效率，保证工作质量是十分有效的例 2 用一只平底锅煎饼，每次能同时放两个饼如果煎 1 个饼需要 2 分钟（假定正、反面各需 1 分钟），问煎 1993 个饼至少需要几分钟？分析 由于 1993 数目较大，直接入手不容易我们不妨先从较小的数目来进行探索规律如果只煎 1 个饼，显然需要 2 分钟；如果煎 2 个饼，仍然需要 2 分钟；远辉教育如果煎 3 个饼，初学者看来认为至少需要 4 分钟：因为先煎 2 个饼要 2 分钟；再单独煎第 3 个饼，又需要 2 分，所以一共需要 4 分钟但是，这不是最佳方案最优方法应该是：首先煎第 1 号
5、、第 2 号饼的正面用 1 分钟；其次煎第 1 号饼的反面及第 3 号饼的正面又用 1 分钟；最后煎第 2 号、第 3 号饼的反面再用 1 分钟；这样总共只用 3 分钟就煎好了 3 个饼解：如果煎 1993 个饼，最优方案应该是：煎第 1、2、3 号饼用“分析”中的方法只需要 3 分钟；煎后面 1990 个饼时，每两个饼需要 2 分钟，分 19902=995（次）煎完，共需要 2995=1990（分钟）；这样总共需要 3+1990=1993（分钟）说明：通过本例可以看出，掌握优化的思想，合理统筹安排操作程序，就能够节省时间，提高效率例 3 5 个人各拿一个水桶在自来水龙头前等候打水，他们打水所
6、需的时间分别是 1 分钟、2 分钟、3 分钟、4 分钟和 5 分钟如果只有一个水龙头，试问怎样适当安排他们的打水顺序，才能使每个人排队和打水时间的总和最小？并求出最小值分析 5 个人排队一共有 54321=120 种顺序，把所有情形的时间总和都计算出来，就太繁琐了凭直觉，应该把打水时间少的人排在前面所费的总时间会省些考虑用“逐步调整”法来严格求解解：首先证明要使所费总时间最省，应该把打水时间需 1 分钟的人排在第一位置假如第一位置的人打水时间要 a 分钟（其中 2a5），而打水需 1 分钟的人排在第 b 位（其中2b5）我们将这两个人位置交换，其他三人位置不变动这样调整以后第 b 位后面的人每
7、人排队打水所费的时间与调整前相同，并且前 b 个人每人打水所费时间也未受影响，但是第二位至第 b 位的人排队等候的时间都减少了（a-1）分钟，这说明调整后五个人排队和打水时间的总和减少了换言之，把打水需 1 分钟的人排在第一位置所费总时间最省其次，根据同样道理，再将打水需 2 分钟的人调整到第二位置；将打水需 3、4、5 分钟的人逐次调整到第三、四、五位所以将五人按照打水所需时间由少到多的顺序排队，所费时间最省这样得出 5人排队和打水时间总和的最小值是15+24+33+4 2+51=35（分钟）说明：本题涉及到排序不等式，有兴趣的读者可参阅高年级的数学奥林匹克教材排队提水的问题，在其他一些场合
8、也是会遇到的例如，有一台机床要加工 n 个工件，每个工件需要的加工时间不一样，问应该按照什么次序加工，才能使总的等待时间最短例 4 有 157 吨货物要从甲地运往乙地，大卡车的载重量是 5 吨，小卡车的载重量是 2 吨，大卡车与小卡车每车次的耗油量分别是 10 公升与 5 公升问如何选派车辆才能使运输耗油量最少？这时共需用油多少公升？解：依题意，大卡车每吨耗油量为 105=2（公升）；小卡车每吨耗油量为 52=2.5（公升）为了节省汽油应尽量选派大卡车运货，又由于157=531+2，因此，最优调运方案是：选派 31 车次大卡车及 1 车次小卡车即可将货物全部运完，且这时耗油量最少，只需用油10
9、31+51=315 （公升）说明：本题是 1960 年上海市数学竞赛试题上述解法是最朴素的优化思想选派每吨耗油量较少的卡车下面用代数的知识来解题：设选派大卡车 a 车次，小卡车 b 车次，依题意：5a+2b=157，即 10a=314-4b于是总耗油量为：W=10a+5b=314=4b+5b=314+b显然，当 b 越小时，W 也越小又由 5a+2b=157 易知，b 最小值是 1，故 W 的最小值是 314+1=315（公升）若取 b=0，则需派 32车次大卡车，耗油量则需 320 公升远辉教育例 5 有十个村，坐落在从县城出发的一条公路上（如下页图，距离单位是公里），要安装水管，从县城送自
10、来水供给各村，可以用粗细两种水管粗管足够供应所有各村用水，细管只能供一个村用水粗管每公里要用 8000 元，细管每公里要用 2000 元把粗管和细管适当搭配、互相连接，可以降低工程的总费用按你认为最节约的办法，费用应是多少？分析 由题意可知，粗管每公里的费用恰好是细管每公里费用的 4 倍因此，如果在同一段路上要安装 4根以上的细管，就应该用一根粗管来代替，便可降低工程的总费用解：假设从县城到每个村子都各接一根细管（如上图），那么在BA1、BA2、BA3、BA4、BA5 、BA6 之间各有 10、9、8、7、6、5 根细管，应该把 B 与 A6 之间都换装粗管，工程的总费用将最低，这时的总费用是
11、：a=8000（30+5+2+4+2+3）+2000（24+23+22+5）=414000（元）说明：容易验证，从县城 B 起铺设粗管到 A6 或 A7 或者 A6A7 之间任何一个地点都是最节约的办法，总费用仍是 414000 元下面详细论证其他安装方案的总费用都大于 a当粗管从县城 B 铺设到超过 A7 向 A8 移动一段路程 d（0d2）公里时，粗管费用增加 8000d（元），而细管费用仅减少2000d3=6000d（元）这时总费用比 a 多 2000d（元）当粗管从县城 B 铺设到超过 A8 向 A9 移动一段路程 d（0d2）公里时，粗管费用增加8000（2+d）=16000+800
12、0d（元），而细管增费用仅减少2000（232d）=120004000d（元）这时总费用比 a 多 4000+4000d（元）当粗管从县城 B 铺设到超过 A9 向 A10 移动一段路程 d（0d5）公里时，粗管费用增加8000（2+2+d）=32000+8000d（元）而细管费用仅减少2000（23+22+d ）=20000+2000d（元）这时总费用比 a 多 120006000d（元）综上所述，从县城 B 铺设粗管到超过 A7 点以东的任何地点的安装总费用都大于 a类似地，可以验证从县城铺设粗管到 A6 点以西的任何地点的总费用也都大于 a例 6 有 1993 名少先队员分散在一条公路上
13、值勤宣传交通法规，问完成任务后应该在公路的什么地点集合，可以使他们从各自的宣传岗位沿公路走到集合地点的路程总和最小？分析 由于 1993 数目较大，不易解决我们先从人数较小的情况入手当只有 2 个人时，设 2 人宣传岗位分别为 A1 和 A2（如上图），显然集合地点选在 A1 点或 A2 点或者 A1A2 之间的任何一个地点都可以因为由 A1、A2 出发的人走过的路程总和都等于 A1A2当有 3 个人时，则集合地点应该选在 A2 点（如右图）因为若集合地点选在 A1A2 之间的 B 点，那时 3 个人所走的路程总和是A1B+A2B+A3B=（A1B+A3B）+A2B=A1A3+A2B；若集合地
14、点选在 A2A3 之间的 C 点，那时 3 个人所走的路程总和是：A1C+A2C+A3C=（A1C+A3C）+A2C=A1A3+A2C；远辉教育而集合地点选在 A2 点时， 3 个人所走路程总和仅是 A1A3当然 A1A3 比 A1A3+A2B 及 A1A3+A2C都小当有 4 个人时，由于集合地点无论选在 A1A4 之间的任何位置，对 A1、A4 岗位上的人来说，这 2 人走的路程和都是 A1A4（如下图）因此，集合地点的选取只影响 A2、A3 岗位上的人所走的路程，这就是说，问题转化为“2 个人站在 A2 和 A3 岗位的情形”根据上面已讨论的结论可知，集合地点应选在A2 或 A3 或者
15、A2A3 之间任何地点当有 5 个人时，类似地可把问题转化为“ 3 个人站在 A2、A3 、A4 岗位的情形”（如下图）根据已讨论的结论可知，集合地点应选在 A3 点依此递推下去，我们就得到一个规律：当有偶数（ 2n）个人时，集合地点应选在中间一段 AnAn+1 之间的任何地点（包括 An 和 An+1 点）；当有奇数（2n+1）个人时，集合地点应选在正中间岗位 An+1 点本题有 1993=2996+1（奇数）个人，因此集合地点应选在从某一端数起第 997 个岗位处说明：本题的解题思路值得掌握，那就是先从简单的较少的人数入手，通过逐步递推，探索一般规律，从而解决某些数字较大的问题模拟测试1妈
16、妈杀好鱼后，让小明帮助烧鱼他洗鱼、切鱼、切姜片葱花、洗锅煎烧，各道工序共花了 17分钟（如下图），请你设计一个顺序，使花费的时间最少2用一只平底锅煎饼，每次能同时放两个饼如果煎一个饼需要 4 分钟（假定正、反面各需 2 分钟），问煎 m 个饼至少需要几分钟？3小明、小华、小强同时去卫生室找张大夫治病小明打针要 5 分钟小华换纱布要 3 分钟，小强点眼药水要 1 分钟问张大夫如何安排治病次序，才能使他们耽误上课的时间总和最少？并求出这个时间4赵师傅要加工某项工程急需的 5 个零件，如果加工零件 A、B、C、D、E 所需时间分别是 5 分钟、3 分钟、4 分钟、7 分钟、6 分钟问应该按照什么次序
17、加工，使工程各部件组装所耽误的时间总和最少？这个时间是多少？5某水池可以用甲、乙两个水管注水，单放甲管需 12 小时注满，单放乙管需 24 小时注满若要求10 小时注满水池，并且甲、乙两管合放的时间尽可能地少，则甲、乙两管合放最少需要多少小时？6山区有一个工厂它的十个车间分散在一条环行的铁道上四列货车在铁道上转圈，货车到了某一车间，就要有装卸工装上或卸下货物当然，装卸工可以固定在车间等车（各车间所需装卸工人数如图所示）；也可以坐在货车到各车间去；也可以一部分装卸工固定在车间，另一部分坐车问怎样安排才能使装卸工的总人数最少？最少需多少名工人？远辉教育答案：112 分钟2若 m1 时，至少需要 4 分；若 m2 时，至少需要 2m 分钟3按小强、小华、小明的顺序安排，耽误上课的时间总和为：13+32+5=14（分钟）4按 B、C、A、E、D 的顺序加工，耽误时间总和最少为：35+44+53+6 2+7=65（分钟）6464+4+2+6+11=207（人）远辉教育附加：速算与巧算（1） （2） （3）678354()83147658471()（4） （5） （6）290137631971257（7） （8） （ 9）2359()130521367218579（10） （11）29399393远辉教育（12） （13） (14) 2019874321812534510
