1、选修 45 不等式选讲最新考纲：1.理解绝对值的几何意义，并了解下列不等式成立的几何意义及取等号的条件：(1)| a b| a| b|(a，bR)(2)|ab| |ac |cb|( a，bR).2.会利用绝对值的几何意义求解以下类型的不等式：| axb| c，|ax b|c，|xc| xb| a.3.了解柯西不等式的几种不同形式，理解它们的几何意义，并会证明.4.通过一些简单问题了解证明不等式的基本方法：比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法、数学归纳法1含有绝对值的不等式的解法(1)|f(x)|a(a0)f(x )a 或 f(x)0)ab0 时等号成立( )(2)对| ab| |a|b|当且
2、仅当 ab0 时等号成立( )(3)|axb|c (c0)的解等价于c axbc.( )(4)不等式|x1|x 2|1，xy 2，则 x0，y0.( )答案 (1) (2) (3) (4) (5) 2不等式|2x1|x 2 B| ab| ab|5 时，不等式可化为(x1)(x 5)0 时， c 或|xa| xb|k 的解集为 R，则实数 k 的取值范围是_解题指导 切入点：绝对值的几何意义；关键点：把恒成立问题转化为最值问题解析 (1)|x 1|x 2|(x1)(x 2)| 3，a 2 a23，解得 a .12 1 174 1 174即实数 a 的取值范围是 . 1 174 ， 1 174 (
3、2)解法一：根据绝对值的几何意义，设数 x，1,2 在数轴上对应的点分别为 P， A，B ，则原不等式等价于 PAPBk 恒成立 AB3，即|x1| |x2|3.故当 kk 恒成立，从图象中可以看出，只要 k f(x)max，f (x)a 恒成立acd，则 ；a b c d(2) 是|ab|cd 得( )2( )2.a b c d因此 .a b c d(2)若|ab|cd.由(1)得 .a b c d若 ，则( )2( )2，即a b c d a b c dab2 cd2 .ab cd因为 abc d，所以 abcd.于是(ab) 2(ab )24ab 是|ab| ，此时 1 时，f (x)E
4、rror!f( x)minf(a) a 12a5，解得 a4.答案 6 或 47若关于 x 的不等式|a|x1| | x2| 存在实数解，则实数 a 的取值范围是_解析 f(x )|x 1|x2| Error!f(x)3.要使|a|x 1| x2|有解，|a|3，即 a3 或 a3.答案 (，33， )8已知关于 x 的不等式|xa|1x0 的解集为 R，则实数 a 的取值范围是_解析 若 x1(x1) 2 对任意的x1， ) 恒成立，即( a1)(a1)2x 0 对任意的 x1，)恒成立，所以Error!(舍去 )或Error!对任意的 x1，恒成立，解得 a0 时，将不等式5a 整理，得
5、a25a40，无解；4a 4a当 a1 ，a ，即 a 的取值范围为 .12 (12， )14(2015新课标全国卷 )已知函数 f(x)| x1| 2|xa|，a0.(1)当 a1 时，求不等式 f(x)1 的解集；(2)若 f(x)的图象与 x 轴围成的三角形面积大于 6，求 a 的取值范围解 (1)当 a1 时，f(x)1 化为|x1|2|x 1|10.当 x1 时，不等式化为 x40，无解；当10 ，解得 0，解得 1x1 的解集为Error!.(2)由题设可得，f(x )Error!所以函数 f(x)的图象与 x 轴围成的三角形的三个顶点分别为 A ，B(2a1,0)，C(a，a1)
6、，ABC 的面积为 (a1) 2.(2a 13 ，0) 23由题设得 (a1) 26，故 a2.23所以 a 的取值范围为(2，)15设函数 f(x)|x 1| xa|.(1)若 a1 ，解不等式 f(x)3；(2)如果xR，f(x)2，求 a 的取值范围解 (1)当 a1 时，f(x)|x1| |x1|，f(x)Error!作出函数 f(x)|x 1|x 1|的图象由图象可知，不等式 f(x) 3 的解集为Error!.(2)若 a1， f(x)2|x 1|，不满足题设条件；若 a1，f(x)Error!f(x)的最小值为 a1.对于x R，f(x )2 的充要条件是| a1|2，a 的取值
7、范围是(，13，) 16(2015福建卷 )已知 a0，b0，c0 ，函数 f(x)|xa|xb|c 的最小值为 4.(1)求 ab c 的值；(2)求 a2 b2c 2 的最小值14 19解 (1)因为 f(x)|xa| |xb|c|(xa)(xb)| c |ab| c ，当且仅当ax b 时，等号成立又 a0，b0，所以|ab|ab，所以 f(x)的最小值为 ab c.又已知 f(x)的最小值为 4，所以 abc 4.(2)由(1)知 abc4，由柯西不等式得(491)(14a2 19b2 c2)2(abc) 216，(a22 b33 c1)即 a2 b2c 2 .14 19 87当且仅当 ，12a213b3 c1即 a ，b ，c 时等号成立87 187 27故 a2 b2c 2 的最小值为 .14 19 87
