1、1全等三角形 知识梳理一、知识网络 对 应 角 相 等性 质 对 应 边 相 等边 边 边 S全 等 形 全 等 三 角 形 应 用 边 角 边 A判 定 角 边 角 角 角 边斜 边 、 直 角 边 HL作 图 角 平 分 线 性 质 与 判 定 定 理二、基础知识梳理（一） 、基本概念1、 “全等”的理解 全等的图形必须满足：（1）形状相同的图形；（2）大小相等的图形；即能够完全重合的两个图形叫全等形。同样我们把能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。2、全等三角形的性质（1）全等三角形对应边相等；（2）全等三角形对应角相等；3、全等三角形的判定方法（1）三边对应相等的两个三角形全等。（2
2、）两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等。（3）两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等。（4）两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等。（5）斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。4、角平分线的性质及判定性质：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等2判定：到一个角的两边距离相等的点在这个角平分线上（二）灵活运用定理1、判定两个三角形全等的定理中，必须具备三个条件，且至少要有一组边对应相等，因此在寻找全等的条件时，总是先寻找边相等的可能性。2、要善于发现和利用隐含的等量元素，如公共角、公共边、对顶角等。3、要善于灵活选择适当的方法判定两个三角形全等。（1）已知条件中有两角对应相等
3、，可找：夹边相等（ASA）任一组等角的对边相等(AAS)（2）已知条件中有两边对应相等，可找夹角相等(SAS)第三组边也相等(SSS)（3）已知条件中有一边一角对应相等，可找任一组角相等(AAS 或 ASA)夹等角的另一组边相等(SAS)证明两三角形全等或利用它证明线段或角的相等的基本方法步骤：1.确定已知条件（包括隐含条件，如公共边、公共角、对顶角、角平分线、中线、高、等腰三角形、等所隐含的边角关系）；2.回顾三角形判定公理，搞清还需要什么；3.正确地书写证明格式（顺序和对应关系从已知推导出要证明的问题）。常见考法 （1 ）利用全等三角形的性质：证明线段（或角）相等；证明两条线段的和差等于另
4、一条线段；证明面积相等；（2 ）利用判定公理来证明两个三角形全等；（ 3）题目开放性问题，补全条件，使两个三角形全等。误区提醒 3（1 ）忽略题目中的隐含条件；（2 ）不能正确使用判定公理。轴对称知识梳理一、基本概念1.轴对称图形如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就叫做对称轴.折叠后重合的点是对应点，叫做对称点.2.线段的垂直平分线经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线3.轴对称变换由一个平面图形得到它的轴对称图形叫做轴对称变换.4.等腰三角形有两条边相等的三角形，叫做等腰三角形.相等的两条边叫做腰，另一条边叫做底
5、边，两腰所夹的角叫做顶角，底边与腰的夹角叫做底角.5.等边三角形三条边都相等的三角形叫做等边三角形.二、主要性质1.如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线.或者说轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线.2.线段垂直平分钱的性质线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等.3.（1）点 P（x，y）关于 x 轴对称的点的坐标为 P（x，-y）.（2）点 P（x,y）关于 y 轴对称的点的坐标为 P（-x，y）.4.等腰三角形的性质（1）等腰三角形的两个底角相等（简称“等边对等角” ）.（2）等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的
6、高相互重合.（3）等腰三角形是轴对称图形，底边上的中线（顶角平分线、底边上的高）所在直线就是它的对称轴.（4）等腰三角形两腰上的高、中线分别相等，两底角的平分线也相等.（5）等腰三角形一腰上的高与底边的夹角是顶角的一半。（6）等腰三角形顶角的外角平分线平行于这个三角形的底边.5.等边三角形的性质（1）等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于 60.（2）等边三角形是轴对称图形，共有三条对称轴.（3）等边三角形每边上的中线、高和该边所对内角的平分线互相重合.4三、有关判定1.与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上.2.如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等
7、（简写成“等角对等边” ）.3.三个角都相等的三角形是等边三角形.4.有一个角是 60的等腰三角形是等边三角形.一、选择题1如图，给出下列四组条件： ； ；ABDECFAD， ， BEBCEF， ， ； ， ， AD， ，其中，能使 的条件共有（ ） A1 组 B2 组 C3 组 D4 组2.如图， 分别为 的 ， 边的中点，将此三角形沿 折叠，使点， 落在 边上的点 处若 ，则 等于（ ）P8P3.如图（四） ，点 是 A上任意一点， B，还应补充一个条件，才能推出CD 从下列条件中补充一个条件，不一定能推出 ACPD 的是（ ）A BB C ADD B5A B C D424852584.如
8、图，在ABC 与DEF 中，已有条件 AB=DE，还需添加两个条件才能使ABCDEF，不能添加的一组条件是( ) (A)B=E,BC=EF（B）BC=EF，AC=DF (C)A=D，B= E （D）A= D，BC=EF5如图，ABC 中， C = 90，AC = BC，AD 是 BAC 的平分线， DEAB 于 E，若 AC = 10cm，则DBE 的周长等于( )A10cm B8cm C6cm D9cm6 如图所示，表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有（ ）1 处 2 处 3 处 4 处7某同学把一块三角形的玻璃打碎了 3 块，现在要到
9、玻璃店去配一块完全一样的玻璃，那么最省事的方法是（ ）A带去 B带去 C带去 D带去8如图，在 Rt 中， 90 ， E是 A的垂直平分线，交 AC于点 D，交C于点 E已知 1，则 的度数为（ ）A 30 B 40 C 50 D 609如图， ， =30，则 的度数为（ ）A BAA20 B 30 C35 D4010如图，ACAD，BCBD，则有（ ）AAB 垂直平分 CD BCD 垂直平分 ABCADPB图（四）EDCBA6CAB 与 CD 互相垂直平分 DCD 平分ACB11尺规作图作 AOB的平分线方法如下：以 O为圆心，任意长为半径画弧交 OA、B于 C、 D，再分别以点 C、 D为
10、圆心，以大于 12CD长为半径画弧，两弧交于点 P，作射线 P， 由作法得 P 的根据是（ ）ASAS BASA CAAS DSSS 12.如图, C=90,AD 平分BAC 交 BC 于 D,若 BC=5cm,BD=3cm,则点 D 到 AB 的距离为( )A. 5cm B. 3cm C. 2cm D. 不能确定13如图，OP 平分 ， ， ，垂足分别为 A，B下列结论中不AOBO一定成立的是（ ）A B 平分PPC D 垂直平分14.如图，已知 那么添加下列一个条件后，仍无法判定 的是（ ）C A B ADC C DA 90 15.观察下列图形，则第 个图形中三角形的个数是（ ）n第 1
11、个 第 2 个 第 3 个A B C D2n4n4n4n二、填空题1.如图，已知 AD， AE，要使 ABC E ，可补充的条件ADCEBABC DBCDABCDCABO BAPO DPCAB7是 （写出一个即可） 2.如图,在ABC 中,C=90,AC=BC,AD 平分BAC 交 BC 于 D,DEAB 于 E,且AB=5cm,则DEB 的周长为 _3.如图， BACD，请你添加一个条件： ，使 OCD（只添一个即可） 4.如图，在 ABC 中，C=90ABC 的平分线 BD 交 AC 于点 D,若 BD=10 厘米，BC=8 厘米，DC=6 厘米，则点 D 到直线 AB 的距离是_厘米。5
12、.观察图中每一个大三角形中白色三角形的排列规律，则第 5 个大三角形中白色三角形有 个 6.已知：如图，OADOBC，且O70，C25，则AEB_度.7 如图，C 为线段 AE 上一动点（不与点 A，E 重合） ，在 AE 同侧分别作正三角形 ABC 和正三角形 CDE、AD 与 BE 交于点 O，AD 与 BC 交于点 P，BE 与 CD 交于点 Q，连结 PQ.以下五个结论：AD=BE；PQAE ；AP=BQ；DE=DP；AOB=60.恒成立的结论有_（把你认为正确的序号都填上） 。8.如图所示，AB = AD，1 = 2，添加一个适当的条件，使ABC ADE，则需要添加的条件是_.第 1
13、个 第 2个 第 3个A CEB DOABCDEDOCBABABCDEQPOBEDCA8三、解答题1.如图，已知 AB=AC，AD=AE ，求证：BD=CE.2.如图，在 中， ，分别以 为边作两个等腰直ABC 40BAC， ABC，角三角形 和 ，使 DE9DE（1）求 的度数；（2）求证： 3.如图，在ABE 中，ABAE,ADAC,BADEAC, BC、DE 交于点 O.求证：(1) ABCAED； (2) OBOE .4.如图，D 是等边ABC 的边 AB 上的一动点，以 CD 为一边向上作等边EDC，连接AE，找出图中的一组全等三角形，并说明理由OCEBDAEDCBAAB D E C
14、95.如 图 ， 在 ABC 和 DCB 中 ， AB = DC， AC = DB， AC 与 DB 交 于 点 M（1）求证：ABCDCB ；（2）过点 C 作 CNBD，过点 B 作 BNAC，CN 与 BN交于点 N，试判断线段 BN 与 CN 的数量关系，并证明你的结论6.（如图，四边形 ABCD的对角线 与 BD相交于 O点， 12， 34求证：（1） ；（2） 7如图，在 和 中，现给出如下三个论断：ABC D ； ；D 请选择其中两个论断为条件，另一个论断为结论，构造一个命题12（1）写出所有的真命题（写成“ ”形式，用序号表示）： （2）请选择一个真命题加以证明B CA DMN
15、21 DCBA O12 3410你选择的真命题是： 证明：8.已知：如图，B、E、F、C 四点在同一条直线上，ABDC，BECF，B C求证：OAOD9如图，ABC 中，BAC=90 度，AB=AC，BD 是ABC 的平分线，BD 的延长线垂直于过 C 点的直线于 E，直线 CE 交 BA 的延长线于 F求证：BD=2 CE10.如图， ，请你,ABCDAEBDAEF于 点 ， ， 平 分 交 于 点写出图中三对全等三角形，并选取其中一对加以证明B D CFA 郜EFEDCBA1111 （7 分）已知：如图，DCAB，且 DC=AE，E 为 AB 的中点，（1）求证：AEDEBC（2）观看图前，在不添辅助线的情况下，除EBC 外，请再写出两个与AED 的面积相等的三角形 （直接写出结果，不要求证明）：12如图，E、F 分别为线段 AC 上的两个动点，且 DEAC 于 E，BFAC 于 F，若AB=CD，AF=CE，BD 交 AC 于点 M（1）求证：MB=MD，ME=MF（2）当 E、F 两点移动到如图的位置时，其余条件不变，上述结论能否成立？若成立请给予证明；若不成立请说明理由OE DCBA
