等边三角形具有轴对称性和旋转对称性.doc

1、等边三角形具有轴对称性和旋转对称性，四平八稳的图形却可以构造出千姿百态的图形，是三角形中最具魅力的图形。因为正三角形的一半是特殊的直角三角形，所以正三角形的问题又常常转化为直角三角形来解决。今撰斯文，欲展示正三角形的众多性质，你读罢定会感慨频频。一 、 三 垂 线例 1 如 图 O 是 正 三 角 形 ABC 内 任 意 一 点 ， 过 O 点 作 三 边 的 垂 线 ， 垂 足 分 别 为 D、 E、 F， 求 证 ：OD+OE+OF 等 于 正 三 角 形 的 高 。证明：连结 OA,OB,OC，设正三角形 高为 h，因为所以，因为 AB=BC=CA，所以 OD+OE+OF=h.例 2 如

2、 图 O 是 正 三 角 形 ABC 内 任 意 一 点 ， 过 O 点 作 三 边 的 垂 线 ， 垂 足 分 别 为 D、 E、 F， 求 证 ：AD+BE+CF=BD+CE+AF.解法一利用勾股定理，有 ,类似地还有其他 2 个等式，三个式子相加，化简得到：, 即 化简： ，a 是正三角形的边长。解法二如图，过 O 作 MNBC，交 AB、AC 于点 M、N，过 M 作 MHBC 交 BC于点 H,则,同理 , .又 ：在这种辅助线下，还可以设 DO=x，OE=y，OF=z，于是正三角形的高是 x+y+z，从而边长可以被表示，MD,MH,BM 可以表示。进而 AD 可以表示，这样表示 B

3、E,CF 也不难了，AD+BE+CF 就可以被 x,y,z 来表示。可以肯定 AD+BE+CF 表示后的结果一定是周长的一半。解法三如图，延长 EO、FO 交边于G,H ，过 G,H 作边的平行线 GM,HN，则.例 3 如 图 O 是 正 三 角 形 ABC 内 任 意 一 点 ， 过 O 点 作 三 边 的 垂 线 ， 垂 足 分 别 为 D、 E、 F， 求 证 ：。解：过 O 作 BC的平行线，将三角形分成上下两部分，如图，上部分相当 于证明 O 在BC 上时，黄色部分面积为正三角形面积的一半。证明如下：设 AB=2a， ，设 OF=x，则 AD= ，则黄色面积= = .如图，对于下半

4、部分的证明类似。故结论得证。二 、 三 交 线如图，在正三角形ABC 的三 边上依次取BD=CE=AF ，连 AD、BE、CF，交点是P、Q 、R ，这个图的内 部有三条交 线，里面形成一个正三角形，两个正三角形的面积之比取决于 BD 和 DC 之比。如果去掉一 条交线，又会得到一 个熟知的图形。例 4 如 上 图 及 已 知 ， 当 BD:DC=1:n 时 ， 求 小 正 三 角 形 与 大 正 三 角 形 面 积 的 比 。 （ 自 编 题 ）解：过 D 作 DGCF ，则可证 ，进而 ，又 ， ，所以 ，在ABD 中设BD=1，AB=n+1，ABD=60， ， ， ，由两个正三角形相似得

5、，小与大的面积之比是 。例 5 如 上 图 ， 正 三 角 形 ABC 中 ， BD=CE， BE、 AD 交 于 P写 出 这 个 图 形 尽 量 多 的 性 质 。 （ 自 编 题 ）解：有 2 对全等三角形；有 6 对相似三角形；APE=60；、 。三 、 到 三 顶 点 的 距 离例 6 如 图 ， P 在 正 三 角 形 ABC 内 ， P 到 三 个 顶 点 的 距 离 分 别 是 3、 4、 5， 求 ABC 的 面 积 （ 精 确到 0.01） 。解：如图，将APC 绕 A点顺时针旋转 60至AQB ，设QB=PC=3，QP=AP=4 ，PB=5，易证APC=AQB=150,如

6、左图，作 BHAQ，因BQH=30，故 BH=1.5， ，由勾股定理可以求出 AB，进而求出面积的近似值。四 、 正 三 角 形 拼 图1、 三 角 板 拼 图例 7 如 图 1 是 由 四 块 全 等 的 含 有 30角 的 直 角 三 角 板 拼 成 的 正 方 形 ， 已 知 里 面 小 正 方 形 的 边 长 为 如 图 2， 取 其 中 的 三 块 直 角 三 角 板 拼 成 等 边 三 角 形 ABC， 再 以 O 为 原 点 ， AB 所 在 直 线 为x 轴 建 立 平 面 直 角 坐 标 系 （ 自 编 题 ）（ 1） 求 等 边 ABC 的 面 积 ；（ 2） 求 BC 边

7、 所 在 直 线 的 解 析 式 ；（ 3） 将 第 四 块 直 角 三 角 板 与 CDE 重 合 ， 然 后 绕 点 E按 逆 时 针 方 向 旋 转 60后 得 ECD ， 问 点 C是 否 落 在 直 线 BC 上 ？ 请 你 作 出 判 断 ， 并 说 明 理 由 解略。2、 两 个 正 三 角 形 拼 菱 形例 8 两 个 正 三 角 形 拼 成 一 个 菱 形 ABCD， （ 1） 此 菱 形 有 哪 些 性 质 ？ （ 2） 在 BC、 CD 上 各 取 一 点E、 F， 使 BE=CF， 求 证 ： AEF 是 正 三 角 形 。解：（1）较长对角线是较短对角线的 倍；过 A

8、 点的高平分 BC；有 120的内角。在菱形中只要满足这三条之一的，必满足其余。（2）略3、 三 个 正 三 角 形 拼 梯 形例 9 如 图 ， 三 个 正 三 角 形 拼 成 等 腰 梯 形 ， 此 梯 形 有 哪 些 性 质 ？ （ 自 编 题 ）解：有 60的底角；下底是腰的 一半；周长是腰的5 倍；对角线 AC垂直腰BC； 对角线平分60的底角； 上底等于腰。一个等腰梯 形具有这 6个结论中的任意 2个，必同时满足其余的结论。五 、 正 三 角 形 内 的 正 方 形例 10 如 图 ， 正 ABC 中 ， BC= ， 在 BC 上 取 一 点 A1， 作 A1A2 BC 交 BC于

9、 A2， 在 ABC 内 部 作 正 方 形 A1A2 A3A4。 过 A3 点 作 AB 的 垂 线 交 AB 于 C4， 在 ABC 内 部 作 正 方 形 C1C2 C3C4， 其 中 C1 在 AB 上 ， C2 在 AC上 ， 并 且 所 作 的 两 个 正 方 形 边 长 相 等 。 又 过 C3 点 作 AC 的 垂 线交 AC 于 B4， 交 A3A4于 B3， 在 ABC 内 部 作 正 方 形 B1B2 B3B4， 其 中 B1 在 AC 上 。 （ 自 编 题 ）（ 1） 求 A1A2的 长 ；（ 2） 求 证 ： 正 方 形 B1B2 B3B4 的 边 长 与 正 方

10、形 A1A2 A3A4 的 边 长 相 等 ；（ 3） 求 证 ： B2 在 BC上 。 解：(1)设正方形的边长为 x，则 ， ，所以 ，解之 x=2。（2）易证是正三 角形， ，所以 ，即 ，故正方形的 边长与正方形的边长相 等。（3），又因为 ，由勾股定理得 ，故 ,即 B2 在 BC 上。六 、 两 个 正 三 角 形 组 合两个正三角形可以组成许多有趣的图形，有些图形的结论还鲜为人知呢。例 11 如 图 ABC 和 BDE 均 为 正 三 角 形 ， AE 和 CD交 于 P。 （ 1） 当 A、 B、 D 共 线 时 ， 求 证 ： APB= DPB=60； （ 2） 当 A、 B

11、、 D 不 共 线 时 ， CPB= EPB=60吗 ？ 为 什 么 ？解：两个问题的证明完全一样。作ABE 和CBD 的高BG 、BH ，有这两个三角形全等可知，BG=BH，所以 BP 平分APD （或CPE），因ABE 和CBD 可以看作绕 B 点旋转 90重合的，所以对应边AE 和 CD所成的角为60，即 APC=60 ，故结论成立 。思考：如果将EBD 沿 BD 反射，结果又会怎样呢？例 12 如 图 ， AOB 和 BCD 均 是 正 三 角 形 ， 点 O 是 坐 标 原 点 ， A(2,0)， C 是 x 轴 上 一 点 ， D、 O在 BC 异 侧 ， 问 ： 当 C 点 运

12、动 时 ， D 点 运 动 的 轨 迹 是 什 么 ？ （ 也 可 以 问 ： 当 C 点 运 动 时 ， 直 线 AD 是否 固 定 ？ 为 什 么 ）解：可以证明OBCABD，所以BAD=60，所以 D 点运动的轨迹是直线。思考：(1)将条件“D、O 在 BC 异侧”改为“D、O 在 BC 同侧”，结论又如何呢？(2)如下图，如果将条件“C 是 x 轴上一点”改为“C 是 y 轴上一点”，“正三角形BCD”改为“正三角形 CAD”，BD 和 AB的关系如何呢？(3)如下图，如果将条件“C 是 x 轴上一点”改为“C 是 OB 上一点”，“正三角形BCD”改为“正三角形 CAD”，DB 和

13、OA的关系如何呢？例 13 判 断 命 题 “ ABC 和 ABD 有 公 共 边 AB， 且 C、 D 在 AB 同 侧 ， 如 果 AD 和 BC 相 交 且 相 等 ，那 么 ABC ABD”是 否 成 立 ？解：如果我们画出如下的图形，可能很难判断命题的真假。注意，并不能因为是“边边角”就判断是假命题，关于“边边角”的更多内容，请参见“引人入胜的SSA ”。本命题确为假命题。以前，我举的反例是：在正三角形BCE 中，A 是 CE 上的点（非中点），将ABE 绕 AB 的中点旋转 180得到ABD，这就是反例。后来找到了用两个正三角形来组成反例的图形：如图，APC 和BPD 均为正三角形

14、，A 、P 、D 共线，这个图形就是反例。思考：用两个等腰三角形来代替APC 和BPD 可以吗?七 、 正 三 角 形 分 割例 14 用 多 种 方 法 将 正 三 角 形 分 割 成 4 个 等 腰 三 角 形 。解：至少有以上4 种分割方法。值得惊奇的是居然有一种不对称的分割。思考：还有其它方法吗？例 14-2 以 下 两 个 图 形 是 一 个 等 腰 Rt ABC 和 一 个 等 边 DEF， 要 求 把 它 们 分 别 分 割 成 3 个 三 角 形 ，使 得 ABC 分 出 的 3 个 三 角 形 与 DEF 分 出 的 3 个 三 角 形 分 别 相 似 。解：我想到以下几种方

15、法，一定还有其它方法哦，想到了再补充。追加：2011 年4 月 28 日江东区的数 学教研活动中，专题研究了本题，同行们又得出了以下 4种不同的分 割方法：八 、 找 等 腰 点例 15 已 知 正 三 角 形 ABC， 在 平 面 上 找 一 点 P， 使 ABP、 BCP、 CAP 均 为 等 腰 三 角 形 ， 这 样的 P 点 有 种 不 同 的 位 置 。解：如图，在 BC 的中垂线上符合条件的点有4 个，而边的中垂 线有 3 条，故共有10个不同的位置（其中形内只有一点）。九 、 正 三 角 形 网 格正三角形网格能发挥正方形网格力不能及的作用，在正三角形网格图中，能呈现五彩缤纷的

16、数额学问题。例 16 如 图 ， 在 正 三 角 形 网 格 中 有 个 格 点 ABC 及 格 点 O， 请 画 出 ABC 以 点 O 为 旋 转 中 心 逆 时针 旋 转 120的 像 。解：ABC就是所求的像。我们常常在正方形网格里将一个图形旋转 90，为什么不可以在正三角形网格里将一个图形旋转 60或 120呢？例 17 如 图 把 边 长 为 4 的 正 三 角 形 各 边 四 等 分 ， 连 结 各 分 点 得 到 16 个 小 正 三 角 形 （ 1） 在 图 1 中 ， 画 出 以 小 正 三 角 形 的 顶 点 为 顶 点 的 一 个 正 六 边 形 ABCDEF， 并 求

17、 这 个 正 六 边 的 周长 （ 2） 请 你 判 断 ： 命 题 “六 个 内 角 相 等 的 六 边 形 是 正 六 边 形 ”是 真 命 题 还 是 假 命 题 ？ 如 果 是 真 命 题 ， 请你 把 它 改 写 成 “如 果 ， 那 么 ”的 形 式 ； 如 果 是 假 命 题 ， 请 你 在 图 2中 画 图 说 明 解：略。例 18 在 如 图 的 正 三 角 形 网 格 中 ， 画 出 格 点 三 角 形 ， 使 三 边 之 比 为 ， 这 样 的 三 角 形 面 积 是值 有 种 。我的答案只有如图 3 种，不知是否还有？例 19 如 图 ， 在 正 三 角 形 网 格 中

18、 ， 一 个 小 正 三 角 形 的 面 积 为 1， 给 定 2 个 格 点 A、 B， 请 你 再 找 一 个格 点 C ， 使 得 ABC 的 面 积 为 2， 这 样 的 C 点 共 有 种 不 同 的 位 置 。解：利用平行线面积不变的原理，如图共可以找到 8 个不同的位置.例 20 如 图 是 一 个 由 基 本 图 形 经 过 若 干 次 平 移 后 得 到 的 图 形 ， 这 个 基 本 图 形 可 以 是 （ ）解：答案是 C，只要将 6 个C 的图形组合在一起即可。十 、 杂 题例 21 如 图 正 三 角 形 ABC 中 ， D 是 边 BC上 一 点 ， E 是 AC

19、上 一 点 ， ADE=60， （ 1） 若BD=3， CE=2， 求 AE； （ 2） 当 AB=8 时 ， 求 CE 的 最 大 值 。解：（1）设 AB=x，由ABDDEC 得，x:(x-3)=3:2，x=9，所以 AE=9-2=7.（2）设 BD=x，EC=y，由ABDDEC 得，x:y=8:(8-x)，则，所以 y 的最大值是 2.例 22 如 图 ， 正 三 角 形 ABC 的 边 长 为 a， P 是 中 位 线 DE 上 一 点 ， 直 线 BP、 CP 交 边 于 G、 F， 则= 。方法一：用特殊位置法解当 P 与 D 重合时， .方法二：设 GE=m，DF=n ，PE=x

20、，则 .由GPEGBC 得， ，由FPDFCB 得， ，分别解得 ， ，故 ，所以， .例 23 如 图 ， AEF 和 CDF 是 正 三 角 形 ABC 内 的 两 个 正 三 角 形 ， 已 知 ， 求的 值 。自己编的，解答留给读者吧。例 24 如 图 ABC 是 边 长 为 6 的 正 三 角 形 ， 直 线 BC 上 取 两 点 D、 E， 使 DAE=120， （ 1） 试 写出 3 个 比 例 中 项 的 式 子 ； （ 2） 已 知 BD=4， 求 AE 的 长 。解：（1） ， ， ;（2）由 ，得 CE=9，又由 ，得.例 25 如 图 边 长 为 2 的 正 三 角 形 ABC 中 ， D 是 BC 上 一 点 ， DF AC 于 F， 在 BA 延 长 线 上 取 一 点G， 使 得 AG=CD， 连 DG 交 AC 于 E， 则 EF= 。解法一：（特殊位置法）令 D 与 B 重合。则 F 是 AC之中点，E 与 A 重合，故 EF=1.解法二：作 DMAB，则易证CDM 为正三角形，且DME CAE，故 ，因此 。