1、. 广义积分,在区间 1 ， + ）上给定函数 y = 1 / x2 , 求它与直线 x = 1 , x = b 和 x 轴所围成的 曲边梯形面积 S 。,从几何上说，这个极限可以认为是函数曲线 y = 1 / x2 ， 直线 x = 1 x 轴所围成的 无穷区域（右侧无边界）的面积 ！。,一个求 “面积” 的新问题：,在区间 0 ， + ）上给定函数 y = 1 / (2x), 求它与 x 轴所围成的 无穷区域面积 S 。,求 “无穷向右延伸区域 ” 的面积 又一例,这里实质上提出了一个可以把可积函数定积分中的积分区间推广到 无穷区间 上去的问题。,A.无穷限广义积分,无穷限的广义积分的定义
2、,定义1 设 f ( x ) 在区间 a , + ) 上连续. 如果下列极限存在,则称此极限为 f ( x ) 在区间 a , + ） 上的 广义积分 ，简记 为：,定义3 设函数 f ( x ) 在区间 ( - , + )上连续. 如果下列两个极限均存在,则称此两个极限和之和为 f ( x ) 在区间 ( - , + ）上的广义积分，简记为：,则称此极限为 f ( x ) 在区间 ( - , b 上的 广义积分 ，简记为：,定义2 设 f ( x ) 在区间 ( - , b 上连续. 如果下列极限存在,二. 无穷限广义积分的计算公式 N - L公式的广义形式,实例,例. 下面的广义积分是否收
3、敛？如收敛，其值为多少？,所以该广义积分收敛，其值为 1 / k .,当 p 1 时收敛，其值为 1 / ( p 1 ) ; 当 p 1 时 发散 .,所以该广义积分,三. 无穷限广义积分的换元法与分部积分法,1 . 无穷限广义积分的换元公式,2. 无穷限广义积分的分部积分公式,设位于曲线 下方， x 轴上方的无界,无界区域为 G , 则 G 绕 x 轴旋转一周所的的体积是多少 ？ （ 2010 年考研题 ）,解：,从几何上说，这个极限可以认为是函数曲线 y = （1 / x）1 / 2 ， 直线 x = 1 , x 轴 和 y 轴所围成 的 “ 无穷区域 ”（上侧无边界）的面积 ！,在区间
4、（ 0 ，1 上给定函数 y = （1 / x）1 / 2 , 求它与直线 x = 1 , 直线 x = 和 x 轴 所围成的曲边梯形面积 S 。,由于函数 y = （1 / x）1 / 2 在区间 （ 0 ，1 上是无界的 , 这里实质上提出了一个无界函数所围区域的面积问题， 也就是无界函数的 “定积分” 问题。或者确切地说，能否把可积函数的定积分概念推广到 无界函数 上去。,求 “无穷向上延伸区域 ” 的面积 之例,B.无界函数的广义积分,无界函数的广义积分的定义,定义1 设 f ( x ) 在区间 a , b ) 上连续. f ( b 0 ) = . 如果下列极 限存在:,则称此极限为
5、f ( x ) 在区间 a , b )上的广义积分收敛，简记为：,则称此极限为 f ( x ) 在区间 ( a , b 上的广义积分收敛，简记为：,定义2 设 f ( x ) 在区间 ( a , b 上连续. f ( a + 0 ) = . 如果下列极 限存在:,定义3 设函数 f ( x ) 在区间 a , c ) (c , b 上连续 . f ( c + 0 ) = 或（和） f ( c - 0 ) = 。如果下列两个极限均存在 :,则称此两个极限和为 f ( x ) 在区间 a , c ) (c , b 上的广义积分收敛，简记为：,二. 无界函数广义积分的计算公式 N L 公式的广义形式,三. 无界函数广义积分的换元法与分部积分法,无界函数广义积分的换元公式,无界函数广义积分的分部积分公式,一般地，为简化根式：,除了常规配方法之外，有特殊的以下变量替换方法：,这时，,计算,注意： 如果以下做法,这里尽管,但不足以说明原广义积分发散；,注意到 还有,原广义积分仍可以收敛 ， 事实也是如此 。,
