1、1高中数学 第一章 导数及其应用教材习题点拨 新人教 A版选修 2-2复习参考题A组1解：(1)3；(2) y4.2解：(1) y ； 2sin xcos x 2xcos2x(2) y3( x2) 2(3x1)(5 x3)；(3) y2 xln 2ln x ；2xx(4) y .2x 2x2 2x 1 43解： F .2GMmr34解：(1) f( t)0.因为红茶的温度在下降(2) f(3)4 表明在 3 min附近时，红茶温度约以 4 /min 的速率下降图略5解：因为 f(x) ，所以 f( x) .3x2233x当 f( x) 0，即 x0 时， f(x)单调递增；当 f( x) 0，
2、即 x0 时，233x 233xf(x)单调递减6解：因为 f(x) x2 px q，所以 f( x)2 x p.当 f( x)2 x p0，即 x 1 时， f(x)有最小值p2由 1，得 p2.p2又因为 f(1)12 q4，所以 q5.7解：因为 f(x) x(x c)2 x32 cx2 c2x，所以 f( x)3 x24 cx c2(3 x c)(x c)当 f( x)0，即 x 或 x c时，函数 f(x) x(x c)2可能有极值c3由题意，当 x2 时，函数 f(x) x(x c)2有极大值，所以 c0.由于x ( ，c3) c3 (c3， c)c(c，)f( x) 0 0 f(
3、x) 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增2所以，当 x 时，函数 f(x) x(x c)2有极大值此时， 2， c6.c3 c38解：设当点 A的坐标为( a,0)时， AOB的面积最小因为直线 AB过点 A(a,0)， P(1,1)，所以直线 AB的方程为 ，即 y (x a)y 01 0 x a1 a 11 a当 x0 时， y ，即点 B的坐标是 .aa 1 (0， aa 1)因此， AOB的面积 S AOB S(a) a .12 aa 1 a22 a 1令 S( a)0，即 S( a) 0.12 a2 2a a 1 2当 a0 或 a2 时， S( a)0， a0 不符合题意
4、舍去由于x (0,2) 2 (2，)f(x) 0 f(x) 单调递减 极小值 单调递增所以，当 a2，即直线 AB的倾斜角为 135时， AOB的面积最小，最小面积为 2.9D10解：设底面一边的长为 x m，另一边的长为( x0.5) m因为钢条长为 14.8 m，所以长方体容器的高为 3.22 x.14.8 4x 4 x 0.54 12.8 8x4设容器的容积为 V，则 V V(x) x(x0.5)(3.22 x)2 x32.2 x21.6 x，0 x1.6.令 V( x)0，即6 x24.4 x1.60，所以， x (舍去)，或 x1.容易知道，415x1 是函数 V(x)的唯一极值点，
5、且为极大值点，从而是最大值点因此，长方体容器的高为 1 m时，容器最大，最大容积为 11.51.21.8 m 3.11解：设旅游团人数为 100 x时，旅行社收费为 y f(x)(100 x)(1 0005 x)5 x2500 x100 000,0 x80， xN.令 f( x)0，即10 x5000，所以 x50.容易知道， x50 是函数 f(x)在0,80内的唯一极值点，且为极大值点，从而是最大值点所以，当 x50 时， f(x)有最大值因此，旅游团人数为 150时，可使旅行社收费最多12解：设打印纸的长为 x cm时，可使其打印面积最大3因为打印纸的面积为 623.7，长为 x，所以宽
6、为 ，打印面积623.7xS(x)( x22.54) 655.907 (623.7x 23.17)26.34 x ，5.08 x98.38.3 168.396x令 S( x)0，即 6.34 0，解之，得 x22.4(负值舍去)，3 168.396x227.89.623.722.4容易知道，函数 S(x)在(5.08,98.38)内取得唯一极值，且为极大值，从而是最大值答：打印纸的长、宽分别约为 27.89 cm、22.36 cm 时，可使其打印面积最大13解：设每年养 q头猪时，总利润为 y元则y R(q)20 000100 q q2300 q20 000,0 q400， qN.12令 y0
7、，即 q3000， q300.容易知道， q300 是函数在(0,400上的唯一极值点，且为极大值点，从而是最大值点当 q300 时， y 3002300 220 00025 000(元)12答：每年养 300头猪时可使总利润最大，最大总利润为 25 000元14解：(1)2 2；(2)2e2；(3)1；3(4)原式 ； 2 200 0cosind(sin co )d(cs in ) xxx(5)原式 . 2 20 01i 415解：(1)如图(1)所示，在 x 内，cos x的图形关于 y轴对称，2， 2所以 .220 cosd cosd(1)4(2)(2)如图(2)所示，在 x，内，sin
8、 x的图形关于原点对称，所以 sin d sin d sin d 0. 0 016解： S2 2.217解：由 F kl，得 0.0490.01 k.解之，得 k4.9.所做的功为W 4.9ldl4.9 | 0.196(J) 0.31l220.31B组1解：(1) b( t)10 4210 3t.所以，细菌在 t5 与 t10 时的瞬时速度分别为0和10 4.(2)当 0 t5 时， b( t)0，所以细菌在增加；当 5 t16 时， b( t)0，所以细菌在减少2解：设扇形的半径为 r，中心角为 弧度时，扇形的面积为 S.由 l2 r r ，得 2.所以 S r 2 r2 (lr2 r2)，
9、0 r .lr 12 12(lr 2) 12 l2令 S0，即 l4 r0， r ，此时 为 2弧度容易得到， r 是函数 S r 2l4 l4 12在 内的唯一极值点，且为极大值点，从而是最大值点(0，l2)答：扇形的半径为 ，中心角为 2弧度时，扇形的面积最大l43解：设圆锥的底面半径为 r，高为 h，体积为 V，那么 r2 h2 R2，因此V r2h ( R2 h2)h R2h h3，0 h R.13 13 13 13令 V R2 h20，解得 h R.13 33容易知道， V(h)在(0， R)内只有一个极值，且为极大值，从而是最大值所以当 hR时，容积最大335把 h R代入 r2
10、h2 R2，得 r R.33 63由 R 2 r，得 时，容积最大263答：扇形的圆心角 时，容器的容积最大2634解：由于 80 k102，所以 k .45设船速为 x km/h时，总费用为 y，则 y x2 48016 x .45 20x 20x 9 600x令 y0，即 16 0， x24.容易得到，函数 y在(0，)内有唯一值，且9 600x2为极小值，从而是最小值当 x24 时，1624 784(元)，9 60024784 940(元)2024答：船速约为 24 km/h时，总费用最少，此时每小时费用约为 940元5解：设汽车以 x km/h行驶时，行车的总费用y (3 )3 14,
11、50 x100.130x x2360 130x令 y0，解得 x53(km/h)此时， y114(元)容易看出，函数 y在50,100内有唯一极值，且为极小值，从而是最小值答：最经济的车速约为 53 km/h；如果不考虑其他费用，这次行车的总费用约是 114元6解：原式 .4|040422202eded()exxxxx7解：解方程组Error!得直线 y kx与抛物线 y x x2交点的横坐标为 x0,1 k.抛物线与 x轴所围图形的面积 S (x x2)dx( )| .10 x22 x33 10 12 13 16由题设得 (x x2)dx kxdx (x x2 kx)dx |S2 1 k0 1 k0 1 k0 (1 k2x2 x33) .1 k0 1 k 36又因为 S ，所以(1 k)3 .于是 k1 .16 12 342点拨：本题也可以由面积相等直接得到 (x x2 kx) 1 k0dx kxdx (x x2)dx，由此求出 k的值但计算较为繁琐 1 k0 11 k6
