1、1高中数学 第一章 导数及其应用 B章末测试 新人教 A版选修 2-2(高考体验卷)(时间：90 分钟 满分：100 分)第卷(选择题 共 50分)一、选择题(本大题共 10小题，每小题 5分，共 50分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1(2014课标全国高考)设曲线 y axln( x1)在点(0,0)处的切线方程为y2 x，则 a( )A0 B1C2 D32(2014陕西高考)定积分 (2xe x)dx的值为( )10Ae2 Be1Ce De13(2013浙江高考)已知函数 y f(x)的图象是下列四个图象之一，且其导函数y f( x)的图象如下图所示，则该函数的图象是
2、( )4(2014山东高考)直线 y4 x与曲线 y x3在第一象限内围成的封闭图形的面积为( )A2 B42 22C2 D45(2013课标全国高考)已知函数 f(x) x3 ax2 bx c，下列结论中错误的是( )A x0 R， f(x0)0B函数 y f(x)的图象是中心对称图形C若 x0是 f(x)的极小值点，则 f(x)在区间(， x0)单调递减D若 x0是 f(x)的极值点，则 f( x0)06(2013湖北高考)一辆汽车在高速公路上行驶，由于遇到紧急情况而刹车，以速度v(t)73 t (t的单位：s， v的单位：m/s)行驶至停止在此期间汽车继续行驶的251 t距离(单位：m)
3、是( )A125ln 5 B825ln 113C425ln 5 D450ln 27(2013大纲全国高考)若函数 f(x) x2 ax 在 是增函数，则 a的取值1x (12， )范围是( )A1,0 B1，)C0,3 D3，)8(2013福建高考)设函数 f(x)的定义域为 R， x0(x00)是 f(x)的极大值点，以下结论一定正确的是( )A xR， f(x) f(x0)B x0是 f( x)的极小值点C x0是 f(x)的极小值点D x0是 f( x)的极小值点9(2013湖北高考)已知函数 f(x) x(ln x ax)有两个极值点，则实数 a的取值范围是( )A(，0) B (0，
4、12)C(0,1) D(0，)10(2013浙江高考)已知 e为自然对数的底数，设函数 f(x)(e x1)( x1)k(k1,2)，则( )A当 k1 时， f(x)在 x1 处取到极小值B当 k1 时， f(x)在 x1 处取到极大值C当 k2 时， f(x)在 x1 处取到极小值D当 k2 时， f(x)在 x1 处取到极大值3第卷(非选择题 共 50分)二、填空题(本大题共 5小题，每小题 5分，共 25分把答案填在题中的横线上)11(2013湖南高考)若 x2dx9，则常数 T的值为_0T12(2013广东高考)若曲线 y ax2ln x在点(1， a)处的切线平行于 x轴，则a_.
5、13(2013江西高考)设函数 f(x)在(0，)内可导，且 f(ex) xe x，则 f(1)_.14(2014江苏高考)在平面直角坐标系 xOy中，若曲线 y ax2 (a， b为常数)过bx点 P(2，5)，且该曲线在点 P处的切线与直线 7x2 y30 平行，则 a b的值是_15(2012上海高考)已知函数 y f(x)的图象是折线段 ABC，其中 A(0,0)，B ， C(1,0)函数 y xf(x)(0 x1)的图象与 x轴围成的图形的面积为_(12， 5)三、解答题(本大题共 4小题，共 25分解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)16(本小题 6分)(2014安徽高考)设
6、函数 f(x)1(1 a)x x2 x3，其中 a0.(1)讨论 f(x)在其定义域上的单调性；(2)当 x0,1时，求 f(x)取得最大值和最小值时的 x的值17(本小题 6分)(2014课标全国高考)设函数 f(x) aexln x ，曲线bex 1xy f(x)在点(1， f(1)处的切线方程为 ye( x1)2.(1)求 a， b；(2)证明： f(x)1.18(本小题 6分)(2013浙江高考)已知 aR，函数 f(x)2 x33( a1) x26 ax.(1)若 a1，求曲线 y f(x)在点(2， f(2)处的切线方程；(2)若| a|1，求 f(x)在闭区间0,2| a|上的最
7、小值19(本小题 7分)(2013福建高考)已知函数 f(x) x aln x(aR)(1)当 a2 时，求曲线 y f(x)在点 A(1， f(1)处的切线方程；(2)求函数 f(x)的极值4参考答案一、1解析： y axln( x1)， y a .1x 1 y| x0 a12，得 a3.答案：D2解析：因为( x2e x)2 xe x，所以 (2xe x)dx( x2e x)|10(1e 1)(0e 0)e.10答案：C3解析：由导函数图象知，函数 f(x)在1,1上为增函数当 x(1,0)时 f( x)由小到大，则 f(x)图象的增长趋势由缓到快，当 x(0,1)时 f( x)由大到小，
8、则 f(x)的图象增长趋势由快到缓，故选 B答案：B4解析：由Error!解得 x2 或 x0 或 x2，所以直线 y4 x与曲线 y x3在第一象限内围成的封闭图形面积应为 S (4x x3)20dx 04.2201()|(222 1424)答案： D5解析： x0是 f(x)的极小值点，则 y f(x)的图象大致如下图所示，则在(， x0)上不单调，故 C不正确答案：C6解析：由于 v(t)73 t ，且汽车停止时速度为 0，251 t因此由 v(t)0 可解得 t4，即汽车从刹车到停止共用 4 s.该汽车在此期间所行驶的距离5s dt40(7 3t251 t) 7t3t22 25ln(t
9、 1)40|425ln 5(m)答案：C7解析：由条件知 f( x)2 x a 0 在 上恒成立，即 a 2 x在1x2 (12， ) 1x2上恒成立(12， )函数 y 2 x在 上为减函数，1x2 (12， ) ymax 2 3. a3.故选 D1(12)2 12答案：D8解析：选项 A，由极大值的定义知错误；对于选项 B，函数 f(x)与 f( x)的图象关于 y轴对称， x0应是 f( x)的极大值点，故不正确；对于 C选项，函数 f(x)与 f(x)图象关于 x轴对称， x0应是 f(x)的极小值点，故不正确；而对于选项 D，函数 f(x)与 f( x)的图象关于原点成中心对称，故正
10、确答案：D9解析： f( x)ln x ax x ln x2 ax1，函数 f(x)有两个极值点，即(1x a)ln x2 ax1 0有两个不同的根(在正实数集上)，即函数 g(x) 与函数 y2 a在ln x 1x(0，)上有两个不同交点因为 g( x) ，所以 g(x)在(0,1)上递增，在(1，)上递减，所以 g(x) ln xx2max g(1)1，如图若 g(x)与 y2 a有两个不同交点，须 02 a1.6即 0 a ，故选 B12答案：B10解析：当 k1 时， f(x)(e x1)( x1)， f( x) xex1， f(1)e10， f(x)在 x1 处不能取到极值；当 k2
11、 时， f(x)(e x1)( x1) 2，f( x)( x1)( xexe x2)，令 H(x) xexe x2，则 H( x) xex2e x0， x(0，)说明 H(x)在(0，)上为增函数，且 H(1)2e20， H(0)10，因此当 x0 x1( x0为 H(x)的零点)时， f( x)0， f(x)在( x0,1)上为减函数当 x1 时， f( x)0， f(x)在(1，)上是增函数 x1 是 f(x)的极小值点，故选 C答案：C二、11解析： x2，(13x3) x2dx x3 T309， T3.0T13 |13答案：312解析：由曲线在点(1， a)处的切线平行于 x轴得切线的
12、斜率为 0，由 y2 ax及导数的几何意义得 y| x1 2 a10，解得 a .1x 12答案：12三、13解析：令 ex t，则 xln t， f(t)ln t t， f( t) 1，1t f(1)2.答案：214解析：由曲线 y ax2 过点 P(2，5)，bx得 4a 5.b27又 y2 ax ，bx2所以当 x2 时，4 a ，b4 72由得Error!所以 a b3.答案：315解析：由题意 f(x)Error!则 xf(x)Error! xf(x)与 x轴围成图形的面积为 10x2dx (10 x210 x)dx x3 101103 2| .(5x2103x3)2|103 18
13、(5 103) (54 10318) 54答案：54三、16分析：(1)利用导数判断函数单调性的方法，先求导，再令其等于 0，求出导函数的零点，即为相应的极值点，结合导函数的开口方向从而得出导函数在相应区间的正负，从而得到原函数的单调区间(2)讨论极值点 x2在不在区间0,1内是问题的关键，要通过分类讨论，得出函数 f(x)在0,1上的变化趋势，从而得出 f(x)在0,1上的最值情况若函数 f(x)在0,1上有单调性，那么 f(x)的最值就在区间的端点处取得若 f(x)在0,1上单调递增，那么 f(x)在 x0 处取得最小值，在 x1 处取得最大值若 f(x)在0,1上单调递减，那么 f(x)
14、在 x0 处取得最大值，在 x1 处取得最小值若函数 f(x)在0,1上不单调，就要看能不能把区间0,1再细分成几部分，通过讨论函数 f(x)在每一部分的单调性确定其在整个区间上的最值情况特别要注意的是函数在区间端点处的函数值要比较大小，以确定哪一个才是最值解：(1) f(x)的定义域为(，)， f( x)1 a2 x3 x2.令 f( x)0，得 x1 ， x2 ， x1 x2. 1 4 3a3 1 4 3a3所以 f( x)3( x x1)(x x2)当 x x1或 x x2时， f( x)0；当 x1 x x2时， f( x)0.故 f(x)在(， x1)和( x2，)内单调递减，在(
15、x1， x2)内单调递增(2)因为 a0，所以 x10， x20.当 a4 时， x21.8由(1)知， f(x)在0,1上单调递增所以 f(x)在 x0 和 x1 处分别取得最小值和最大值当 0 a4 时， x21.由(1)知， f(x)在0， x2上单调递增，在 x2,1上单调递减所以 f(x)在 x x2 处取得最大值 1 4 3a3又 f(0)1， f(1) a，所以当 0 a1 时， f(x)在 x1 处取得最小值；当 a1 时， f(x)在 x0 处和 x1 处同时取得最小值；当 1 a4 时， f(x)在 x0 处取得最小值17分析：(1)由已知可得 f(1)e(11)22，切线
16、斜率 ke f(1)，由此可求出 a， b.(2)由(1)可求 f(x)，结合不等式的特点将之转化为 g(x) h(x)的形式，通过比较 g(x)的最小值与 h(x)的最大值进行证明解：(1)函数 f(x)的定义域为(0，)， f( x) aexln x ex ex1 ex1 .ax bx2 bx由题意可得 f(1)2， f(1)e.故 a1， b2.(2)由(1)知， f(x)e xln x ex1 ，从而 f(x)1 等价于 xln x xe x .2x 2e设函数 g(x) xln x，则 g( x)1ln x.所以当 x 时， g( x)0；(0，1e)当 x 时， g( x)0.(1
17、e， )故 g(x)在 单调递减，在 单调递增，从而 g(x)在(0，)的最小值为 g(0，1e) (1e， ) .(1e) 1e设函数 h(x) xe x ，则 h( x)e x(1 x)2e所以当 x(0,1)时， h( x)0；当 x(1，)时， h( x)0.故 h(x)在(0,1)单调递增，在(1，)单调递减，从而 h(x)在(0，)的最大值为 h(1) .1e综上，当 x0 时， g(x) h(x)，即 f(x)1.18解：(1)当 a1 时， f( x)6 x212 x6，所以 f(2)6.9又因为 f(2)4，所以切线方程为 y6 x8.(2)记 g(a)为 f(x)在闭区间0
18、,2| a|上的最小值f( x)6 x26( a1) x6 a6( x1)( x a)令 f( x)0，得到 x11， x2 a.当 a1 时，x 0 (0,1) 1 (1， a) a (a,2a) 2af(x) 0 0 f(x) 0 单调递增 极大值 3a1 单调递减极小值a2(3 a)单调递增 4a3比较 f(0)0 和 f(a) a2(3 a)的大小可得g(a)Error!当 a1 时，x 0 (0,1) 1 (1，2 a) 2 af( x) 0 f(x) 0 单调递减 极小值 3a1 单调递增 28 a324 a2得 g(a)3 a1.综上所述， f(x)在闭区间0,2| a|上的最小
19、值为 g(a)Error!19解：函数 f(x)的定义域为(0，)， f( x)1 .ax(1)当 a2 时， f(x) x2ln x， f( x)1 (x0)，2x因而 f(1)1， f(1)1，所以曲线 y f(x)在点 A(1， f(1)处的切线方程为 y1( x1)，即 x y20.(2)由 f( x)1 ， x0 知：ax x ax当 a0 时， f( x)0，函数 f(x)为(0，)上的增函数，函数 f(x)无极值；当 a0 时，由 f( x)0，解得 x a.又当 x(0， a)时， f( x)0；当 x( a，)时， f( x)0，从而函数 f(x)在 x a处取得极小值，且极小值为 f(a) a aln a，无极大值综上，当 a0 时，函数 f(x)无极值；当 a0 时，函数 f(x)在 x a处取得极小值 a aln a，无极大值10
