1、1高中数学 第一章 导数及其应用本章整合 新人教 A 版选修 2-2知识网络专题探究专题一 导数的几何意义及其应用1导数的几何意义：函数 y f(x)在点 x x0处的导数 f( x0)就是曲线 y f(x)在点(x0， f(x)0)处的切线的斜率2导数的几何意义的应用，利用导数的几何意义可以求出曲线上任意一点处的切线方程 y y0 f( x0)(x x0)，明确“过点 P(x0， y0)的曲线 y f(x)的切线方程”与“在点P(x0， y0)处的曲线 y f(x)的切线方程”的异同点3围绕着切点有三个等量关系，在求解参数问题中经常用到2【例 1】已知曲线 y x3 .13 43(1)求曲线
2、在点 P(2,4)处的切线方程；(2)求曲线过点 P(2,4)的切线方程；(3)求斜率为 4 的曲线的切线方程提示： 切 点 坐 标 切 线 斜 率 点 斜 式 求 切 线 方 程解：(1) P(2,4)在曲线 y x3 上，13 43且 y x2，在点 P(2,4)处的切线的斜率 k y| x2 4.曲线在点 P(2,4)处的切线方程为 y44( x2)，即 4x y40.(2)设曲线 y x3 与过点 P(2,4)的切线相切于点 A ，13 43 (x0， 13x03 43)则切线的斜率 k x02.|切线方程为 y x02(x x0)，(13x03 43)即 y x02x x03 .23
3、 43点 P(2,4)在切线上，42 x02 x03 ，23 43即 x033 x0240. x03 x024 x0240. x02(x01)4( x01)( x01)0.( x01)( x02) 20，解得 x01 或 x02，故所求的切线方程为 4x y40 或 x y20.(3)设切点为( x0， y0)，则切线的斜率 k x204， x02.切点为(2,4)或 .( 2， 43)斜率为 4 的曲线的切线方程为 y44( x2)和 y 4( x2)，43即 4x y40 和 12x3 y200.3专题二 利用导数研究函数的单调性借助导数研究函数的单调性，尤其是研究含有 ln x，e x，
4、 x3等线性函数(或复合函数)的单调性，是近几年高考的一个重点其特点是导数 f( x)的符号一般由二次函数来确定；经常同一元二次方程、一元二次不等式结合，融分类讨论、数形结合于一体【例 2】若 a1，求函数 f(x) ax( a1)ln( x1)的单调区间解：由已知得函数 f(x)的定义域为(1，)，且 f( x) (a1)，ax 1x 1(1)当1 a0 时， f( x)0，函数 f(x)在(1，)上单调递减；(2)当 a0 时，由 f( x)0，解得 x .1af( x)， f(x)随 x 的变化情况如下表：x ( 1， 1a) 1a (1a， )f( x) 0 f(x) A极小值 A从上
5、表可知，当 x 时， f( x)0，函数 f(x)在 上单调递减；( 1，1a) ( 1， 1a)当 x 时， f( x)0，函数 f(x)在 上单调递增(1a， ) (1a， )综上所述，当1 a0 时，函数 f(x)在(1，)上单调递减当 a0 时，函数 f(x)在 上单调递减，函数 f(x)在 上单调递增( 1，1a) (1a， )【例 3】若函数 f(x) x3 ax2( a1) x1 在区间(1,4)内为减函数，在区间13 12(6，)上为增函数，试求实数 a 的取值范围解：函数 f(x)的导数 f( x) x2 ax a1.令 f( x)0，解得 x1 或 x a1.当 a11，即
6、 a2 时，函数 f(x)在(1，)上为增函数，不合题意当a11，即 a2 时，函数 f(x)在(，1)上为增函数，在(1， a1)内为减函数，在(a1，)上为增函数依题意当 x(1,4)时， f( x)0，当 x(6，)时， f( x)0.故 4 a16，即 5 a7.因此 a 的取值范围是5,7专题三 利用导数求函数的极值和最值1极值和最值是两个迥然不同的概念，前者是函数的“局部”性质，而后者是函数的4“整体”性质另函数有极值未必有最值，反之亦然2判断函数“极值”是否存在时，务必把握以下原则：(1)确定函数 f(x)的定义域；(2)解方程 f( x)0 的根(3)检验 f( x)0 的根的
7、两侧 f( x)的符号：若左正右负，则 f(x)在此根处取得极大值若左负右正，则 f(x)在此根处取得极小值即导数为零点未必是极值点，这一点是解题时的主要失分点，学习时务必引起注意3求函数 f(x)在闭区间 a， b上的最大值、最小值的方法与步骤：(1)求 f(x)在( a， b)内的极值；(2)将(1)求得的极值与 f(a)， f(b)相比较，其中最大的一个值为最大值，最小的一个值为最小值【例 4】(1)函数 f(x) ，求 y f(x)在 上的最值；1x 2x2 1x3 4， 12(2)若 a0，求 g(x) 的极值点1x 2x2 ax3解：(1) f( x) ，(x 1)(x 3)x4令
8、 f( x)0，得3 x1，令 f( x)0，得 x3，或1 x0，或 x0，当 x 时， x， f( x)， f(x)的变化如下表： 4， 12x 4(4，3)3(3，1)1 ( 1， 12)12f(x) 0 0 f(x) 964 A极小值427 A极大值0A2最大值为 0，最小值为2.(2)g( x) ，x2 4x 3ax4设 u x24 x3 a，1612 a，当 a 时，0，即 g( x)0，43所以 y g(x)没有极值点5当 0 a 时， x12 ，43 4 3ax22 0.4 3a g(x)的递减区间为(， x1)，( x2,0)，递增区间为( x1， x2)有两个极值点 x12
9、 ， x22 .4 3a 4 3a【例 5】已知 f(x) x2 axln x， aR.(1)若 a0，求函数 y f(x)在点(1， f(x)处的切线方程；(2)若函数 f(x)在1,2上是减函数，求实数 a 的取值范围；(3)令 g(x) f(x) x2，是否存在实数 a，当 x(0，e(e 是自然对数的底数)时，函数 g(x)的最小值是 3，若存在，求出 a 的值；若不存在，说明理由解：(1)当 a0 时， f(x) x2ln x，所以 f( x)2 x f(1)1， f(1)1.1x所以曲线 y f(x)在点(1， f(1)处的切线方程为 x y0.(2)因为函数在1,2上是减函数，所
10、以 f( x)2 x a 0 在1,2上恒成立，1x 2x2 ax 1x令 h(x)2 x2 ax1，有Error!得Error! 得 a .72(3)假设存在实数 a，使 g(x) axln x(x(0，e)有最小值 3， g( x) a 1x.ax 1x当 a0 时， g( x)0，所以 g(x)在(0，e上单调递减， g(x)min g(e) ae13， a (舍去)4e当 e 时， g( x)0 在(0，e上恒成立，1a所以 g(x)在(0，e上单调递减g(x)min g(e) ae13， a (舍去)4e当 0 e 时，令 g( x)00 x ，所以 g(x)在 上单调递减，在1a
11、1a (0， 1a)上单调递增(1a， e所以 g(x)min g 1ln a3， ae 2，满足条件(1a)6综上，存在实数 ae 2，使得当 x(0，e时 g(x)有最小值 3.专题四 利用导数证明不等式从近几年高考题看，利用导数证明不等式这一知识点常考到，一般出现在高考题解答题中利用导数解决不等式问题(如：证明不等式，比较大小等)，其实质就是利用求导数的方法研究函数的单调性，而证明不等式(或比较大小)常与函数最值问题有关因此，解决该类问题通常是构造一个函数，然后考查这个函数的单调性，结合给定的区间和函数在该区间端点的函数值使问题得以求解其实质是这样的：要证不等式 f(x) g(x)，则构
12、造函数 (x) f(x) g(x)，只需证 (x)0 即可，由此转化成求 (x)最小值问题，借助于导数解决【例 6】已知函数 f(x) x2ex1 x3 x2.13(1)讨论函数 f(x)的单调性；(2)设 g(x) x3 x2，试比较 f(x)与 g(x)的大小23解：(1) f( x) x(x2)(e x1 1)，由 f( x)0 得 x12， x20， x31.当2 x0 或 x1 时， f( x)0；当 x2 或 0 x1 时， f( x)0，所以函数 f(x)在(2,0)和(1，)上是单调递增的，在(，2)和(0,1)上是单调递减的(2)f(x) g(x) x2ex1 x3 x2(e
13、x1 x)因为对任意实数 x 总有 x20，所以设 h(x)e x1 x.h( x)e x1 1，由 h( x)0 得 x1，则当 x1 时， h( x)0，即函数 h(x)在(，1)上单调递减，因此当 x1 时， h(x) h(1)0.当 x1 时， h( x)0，即函数 h(x)在(1，)上单调递增，因此当 x1 时， h(x) h(1)0.当 x1 时， h(1)0.所以对任意实数 x 都有 h(x)0，即 f(x) g(x)0，故对任意实数 x，恒有 f(x) g(x)专题五 导数的应用解决优化问题的步骤(1)首先要分析问题中各个数量之间的关系，建立适当的函数模型，并确定函数的定义域(
14、2)其次要通过研究相应函数的性质，如单调性、极值与最值，提出优化方案，使问题得以解决，在这个过程中，导数是一个有力的工具7(3)最后验证数学问题的解是否满足实际意义【例 7】某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量 y(单位：千克)与销售价格 x(单位：元/千克)满足关系式 y 10( x6) 2，其中 3 x6， a 为常数已知ax 3销售价格为 5 元/千克时，每日可售出该商品 11 千克(1)求 a 的值；(2)若该商品的成本为 3 元/千克，试确定销售价格 x 的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大解：(1)因为 x5 时， y11，所以 1011， a2.a2(2)由(1
15、)可知，该商品每日的销售量 y 10( x6) 2，所以商场每日销售该商品2x 3所获得的利润f(x)( x3) 2x 3 10(x 6)2210( x3)( x6) 2(3 x6)从而， f( x)10( x6) 22( x3)( x6)30( x4)( x6)于是，当 x 变化时， f( x)， f(x)的变化情况如表：x (3,4) 4 (4,6)f( x) 0 f(x) 单调递增 极大值 42 单调递减由上表可得， x4 是函数 f(x)在区间(3,6)内的极大值点，也是最大值点所以，当x4 时，函数 f(x)取得最大值，且最大值等于 42.答：当销售价格为 4 元/千克时，商场每日销
16、售该商品所获得的利润最大专题六 定积分的应用由定积分求曲边梯形面积的方法步骤(1)画出函数的图象，明确平面图形的形状(2)通过解方程组，求出曲线交点的坐标(3)确定积分区间与被积函数，转化为定积分计算(4)对于复杂的平面图形，常常通过“割补法”求各部分的面积之和【例 8】如图所示，求由曲线 y ， y2 x， y x 所围成的图形的面积x138解：由Error! Error!Error!得交点(1,1)，(0,0)，(3，1)，故 S dx dx10x (13x) 31(2 x) ( 13x) dx dx10(x13x) 1(2 23x) 260|(2x 13x2)| 6 92 .23 16
17、13 13 136专题七 恒成立问题解决恒成立问题的方法(1)若关于 x 的不等式 f(x) m 在区间 D 上恒成立，则转化为 f(x)max m.(2)若关于 x 的不等式 f(x) m 在区间 D 上恒成立，则转化为 f(x)min m.(3)导数是解决函数 f(x)的最大值或最小值问题的有力工具【例 9】已知函数 f(x) xln x.(1)若函数 g(x) f(x) ax 在区间e 2，)上为增函数，求 a 的取值范围；(2)若对任意 x(0，)， f(x) 恒成立，求实数 m 的最大值 x2 mx 32解：(1)由题意得g( x) f( x) aln x a1.函数 g(x)在区间
18、e 2，)上为增函数，当 xe 2，)时， g( x)0，即 ln x a10 在e 2，)上恒成立 a1ln x.又当 xe 2，)时，ln x2，)1ln x(，3， a3.(2)2 f(x) x2 mx3，即 mx2 xln x x23.9又 x0， m .2xln x x2 3x令 h(x) ，2xln x x2 3xh( x)(2xln x x2 3) x (2xln x x2 3)xx2(2ln x 2 2x)x (2xln x x2 3)x2 ，2x x2 3x2令 h( x)0，解得 x1 或 x3(舍)当 x(0,1)时， h( x)0，函数 h(x)在0,1)上单调递减，当 x(1，)时，h( x)0，函数 h(x)在(1，)上单调递增 h(x)min h(1)4，即 m 的最大值为 4.
