1、1高中数学 第一章 导数及其应用 1.6 微积分基本定理课堂探究 新人教 A 版选修 2-2探究一 利用微积分基本定理计算定积分1求函数 f(x)在某个区间上的定积分时，要注意：(1)掌握基本初等函数的导数以及导数的运算法则，正确求解导数等于被积函数的原函数当这个原函数不易求时，可将被积函数适当变形后再求解具体方法是能化简的化简，不能化简的变为幂函数、正弦函数、余弦函数、指数函数、对数函数以及常数的和或差(2)精确定位积分区间，分清积分上限与积分下限2常见函数的定积分公式(1) Cdx Cx (C 为常数)ba|ba(2) xndx xn1 (n1)ba1n 1 |ba(3) sin xdxc
2、os x .|(4) cos xdxsin x .ba|ba(5) dxln x (b a0)ba1x |(6) exdxe x .|(7) axdx (a0 且 a1)baxln a|b【典型例题 1】计算下列定积分：(1) (x22 x3)d x；1(2) (cos xe x)dx；0(3) dx；e11x(4) dx.312x3 1x2思路分析：根据导数与积分的关系，求定积分要先找到一个导数等于被积函数的原函数，再根据牛顿莱布尼茨公式写出答案，找原函数可结合导数公式表解：(1) x22 x3，(13x3 x2 3x)2 (x22 x3)d x1(13x3 x2 3x)1| .(83 4
3、6) (13 1 3) 253(2)(sin x)cos x，(e x)e x， (cos xe x)dx(sin xe x)00|(sin 0e 0)sin()e 1.1e(3)(ln x) ，1x dxln x ln eln 11.e11x 1|(4) 2 x 且 2 x ，2x3 1x2 1x2 (x2 1x) 1x2 2 .312x3 1x2 (x2 1x)3|(9 13) 223探究二 分段函数与复合函数定积分的求解1在求定积分时，会遇到被积函数是分段函数或绝对值函数的情况，这时我们就要根据不同的情况把分段函数在区间 a， b上的积分分成几段积分和的形式分段的标准是：使每段上的函数表
4、达式确定，按照原来函数分段的情况分段即可2当被积函数的原函数是一个复合函数时，要特别注意原函数的求解与复合函数的求导区分开来例如：对于被积函数 ysin 3x，其原函数应为 y cos 3x，而其导数应13为 y3cos 3 x.【典型例题 2】计算下列定积分：(1) |x3|d x；52(2)若 f(x)Error!求 f(x)dx；21(3) e2xdx；10(4) dx.1022x 1思路分析：(1)(2)写成分段函数，利用定积分性质求解；(3)(4)利用复合函数求定积分3解：(1)| x3| 32),5x,， |x3|d x |x3|d x |x3|d x52323 (3 x)dx (
5、x3)d x353 (3x12x2)|(12x2 3x)5| .(9129 6 2) (252 15 92 9) 52(2)由已知 f(x)dx x2dx (cos x1)d x1010 x3 (sin x x)13 0|20| .13 (1 2) 43 2(3) e 2x， e2xdx e2x e .(12e2x) 1012 0|12 12(4)ln(2 x1) ，22x 1 dxln(2 x1) ln 3ln 1ln 3.1022x 1 0|探究三 微积分基本定理的应用定积分的应用体现了定积分与函数的内在联系，可以通过定积分构造新的函数，进而可利用该函数的性质求参数的值也可对这一函数进行性
6、质、最值等方面的考查，解题过程中通常应用转化的思想方法【典型例题 3】设 f(x) ax b，且 f(x)2dx1，求 f(a)的取值范围1思路分析：由定积分求出 a， b 的关系，消元转化为二次函数的值域问题解：由 f(x)2dx1 可得，1(ax b)2dx (a2x22 abx b2)dx1 1，(a23x3 abx2 b2x)|即 2a26 b23，且 b2 ，3 2a26 36 12即 b .22 224于是 f(a) a2 b3 b2 b 3 2 ，所以 f(a) .32 (b 16) 1912 22 1912探究四 易错辨析易错点：对微积分定理记忆不准确而导致运算错误【典型例题 4】计算 2dx.1(x1x)错解： 2dx dx1(x1x) 1(x2 2 1x2) (13x3 1x 2x)| x3 2 x13 |1x 1| (132 3) 2(12)13 (1 12) (7) 2 .13 12 296错因分析：本题产生错误的主要原因是对微积分基本定理记忆不准，定理中的式子应为 f(x)dx F(x) F(b) F(a)，而非 f(x)dx F(a) F(b)ba|aba正解： 2dx dx1(x1x) 1(x2 2 1x2) (13x3 1x 2x)| (1323 12 22) (1313 1 21) .(83 12 4) (13 1 2) 296
