1、2018 届数学高考一轮复习 立体几何：(二) 空间中直线 、平面 间的关系及其证明 知识梳理题型剖析1【考点 1:空间中点、线、面的基本关系 】1.平面的基本性质公理 1：如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线上的所有点在这个平面内(即直线在平面内).公理 2：经过不在同一条直线上的三点,有且只有一个平面(即可以确定一个平面).公理 3：如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条通过这个点的公共直线.2.公理 4平行于同一条直线的两条直线互相平行.3.定理空间中,如果两个角的两条边分别对应平行,那么这两个角相等或互补.4.直线与直线的位置关系(1)位置关系的分类Error
2、!(2)异面直线所成的角定义：设 a,b 是两条异面直线,经过空间任一点 O 作直线 aa,bb,把 a与 b所成的锐角(或直角)叫作异面直线a,b 所成的角(或夹角).范围： .(0，25.直线与平面的位置关系有平行、相交、在平面内三种情况.6.平面与平面的位置关系有平行、相交两种情况.题型 1：平面基本性质及其应用【典型例题】例 1(1)在下列命题中,不是公理的是( )A.平行于同一个平面的两个平面相互平行B.过不在同一条直线上的三点,有且只有一个平面C.如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线上所有的点都在此平面内D.如果两个不重合的平面有一个公共点 , 那么他们有且只有一条过该点
3、的公共直线解析：选 A 选项 A 是面面平行的性质定理,是由公理推证出来的 ,而公理是不需要证明的.(2)下列命题正确的是 .经过三点确定一个平面；梯形可以确定一个平面；两两相交的三条直线最多可以确定三个平面；如果两个平面有三个公共点,则这两个平面重合.解析 经过不共线的三点可以确定一个平面,不正确；两条平行线可以确定一个平面,正确；两两相交的三条直线可以确定一个或三个平面,正确；命题 中没有 说清三个点是否共线,不正确.(3)以下四个命题中正确的是 .不共面的四点中,其中任意三点不共线；若点 A、B、C 、D 共面,点 A、B、C、E 共面,则点 A、B、C、D、E 共面；若直线 a、b 共
4、面,直线 a、c 共面,则直线 b、c 共面；依次首尾相接的四条线段必共面.解析 假设 其中有三点共线,则该直线和直线外的另一点确定一个平面.这与四点不共面矛盾,故其中任意三点不共线,所以 正确 .从条件看出两平面有三个公共点 A、B、C,但是若 A、B、C 共线,则结论不正确；不正确；不正确 ,因为 此时所得的四边形的四条边可以不在一个平面上,如空间四边形.例 2如图所示,正方体 ABCDA1B1C1D1 中,E 、F 分别是 AB 和 AA1 的中点.求证：(1)E、C、D 1、F 四点共面；(2)CE、D 1F、DA 三线共点.2018 届数学高考一轮复习 立体几何：(二) 空间中直线
5、、平面 间的关系及其证明 知识梳理题型剖析2证明 (1)连接 EF,CD1,A1B.E、F 分别是 AB、AA1 的中点,EFBA1.又 A1BD1C,EFCD1,E、C、D1、F 四点共面 .(2)EFCD1,EFCD1,CE 与 D1F 必相交,设交点为 P,则由 PCE,CE平面 ABCD,得 P平面 ABCD.同理 P平面 ADD1A1.又平面 ABCD平面 ADD1A1 DA,P直线 DA.CE、D1F、DA 三线共点.【变式训练】1.如图,l, A、B,C ,且 Cl,直线 ABlM,过 A,B,C 三点的平面记作 ,则 与 的交线必通过( )A.点 A B.点 B C.点 C 但
6、不过点 M D.点 C 和点 M答案 D解析 AB ,MAB,M.又 l,Ml,M.根据公理 3 可知,M 在 与 的交线上.同理可知,点 C 也在 与 的交线上.2.平面 、 相交 ,在 、 内各取两点 ,这四点都不在交线上 ,这四点能确定_个平面.答案 1 或 4解析 若过四点中任意两点的连线与另外两点的连线相交或平行,则确定一个平面；否则确定四个平面.3.如图,空间四边形 ABCD 中,E、F、G 分别在 AB、BC、CD 上,且满足 AEEBCF FB21,CGGD 3 1,过E、F、G 的平面交 AD于点 H.(1)求 AHHD；(2)求证：EH 、 FG、BD 三线共点 .(1)解
7、 2,EF AC,AEEB CFFBEF平面 ACD,而 EF平面 EFGH,平面 EFGH平面 ACDGH,EFGH,ACGH. 3.AHHD CGGDAHHD31.(2)证明 EFGH,且 , ,EFAC 13GHAC 142018 届数学高考一轮复习 立体几何：(二) 空间中直线 、平面 间的关系及其证明 知识梳理题型剖析3EFGH,EFGH 为梯形.令 EHFGP,则 PEH,而 EH平面 ABD,又 PFG,FG平面 BCD,平面 ABD平面 BCDBD,PBD.EH、FG、BD 三线共点.题型 2：空间中直线关系的判断【典型例题】例 1(1)(教材习题改编)给出命题 :若两条直线和
8、第三条直线所成的角相等,则这两条直线互相平行.若两条直线都与第三条直线垂直,则这两条直线互相平行.若两条直线都与第三条直线平行,则这两条直线互相平行.其中不正确的命题的个数为_.答案：2(2)(2015福建六校联考)设 a,b,c 是空间中的三条直线,下面给出四个命题：若 ab,bc,则 ac；若 ab,bc,则 ac；若 a 与 b 相交 ,b 与 c 相交,则 a 与 c 相交；若 a平面 ,b平面 ,则 a,b 一定是异面直线.上述命题中正确的命题是_( 只填序号).解析：由公理 4 知正确；当 ab,bc 时,a 与 c 可以相交、平行或异面,故错；当 a 与 b 相交,b 与 c 相
9、交时,a 与c 可以相交、平行,也可以异面,故错；a,b ,并不能说明 a 与 b“不同在任何一个平面内”,故错.答案：(3)(2014广东)若空间中四条两两不同的直线 l1,l2,l3,l4,满足 l1l2,l2l3,l3l4,则下列结论一定正确的是( )A.l1l4 B.l1l4C.l1 与 l4 既不垂直也不平行D.l1 与 l4 的位置关系不确定解析：选 D 构造如图所示的正方体 ABCDA1B1C1D1,取 l1 为 AD,l2 为 AA1,l3 为 A1B1,当取 l4 为 B1C1 时,l 1l4,当取 l4为 BB1 时,l 1l4,故排除 A,B,C,选 D.例 2(1)如图
10、,在正方体 ABCDA 1B1C1D1 中,M,N 分别是 BC1,CD1 的中点,则下列判断错误的是 ( )A.MN 与 CC1 垂直 B.MN 与 AC 垂直C.MN 与 BD 平行 D.MN 与 A1B1 平行答案 D解析 连接 B1C,B1D1,则点 M 是 B1C 的中点,MN 是 B1CD1 的中位线,MNB 1D1,CC1B1D1,ACB1D1,BDB1D1,MNCC1,MNAC,MNBD.又 A1B1 与 B1D1 相交,MN 与 A1B1 不平行,故选 D.(2)如图所示,正方体 ABCDA1B1C1D1 中,M、N 分别是 A1B1、B 1C1 的中点.问：AM 和 CN
11、是否是异面直线？说明理由；D1B 和 CC1 是否是异面直线？说明理由.2018 届数学高考一轮复习 立体几何：(二) 空间中直线 、平面 间的关系及其证明 知识梳理题型剖析4解 (1)不是异面直线.理由如下：连接 MN、A1C1、AC.M、N 分别是 A1B1、B1C1 的中点 ,MNA1C1.又 A1A 綊 C1C,A1ACC1为平行四 边形,A1C1AC,MNAC,A、M、N、C 在同一平面内 ,故 AM 和 CN 不是异面直线.(2)是异面直线.证明如下：ABCDA1B1C1D1 是正方体,B、C 、C1、D1 不共面.假设 D1B 与 CC1 不是异面直线,则存在平面 ,使 D1B平
12、面 ,CC1平面 ,D1、B、C、C1,与 ABCDA1B1C1D1 是正方体矛盾.假 设不成立 ,即 D1B 与 CC1 是异面直 线.【变式训练】1.已知 a,b 是异面直线,直线 c 平行于直线 a,那么 c 与 b( )A.一定是异面直线 B.一定是相交直线C.不可能是平行直线 D.不可能是相交直线答案 C解析 由已知得直线 c 与 b 可能为异面直线也可能为相交直线,但不可能为平行直线,若 bc,则 ab,与已知 a、b 为异面直线相矛盾.2.若空间三条直线 a,b,c 满足 ab,bc,则直线 a 与 c( )A.一定平行 B.一定相交C.一定是异面直线D.平行、相交、异面直线都有
13、可能答案 D解析 当 a,b,c 共面时,a c；当 a,b,c 不共面时,a 与 c 可能异面也可能相交.3.设 P 表示一个点,a,b 表示两条直线, 表示两个平面,给出下列四个命题,其中正确的命题是_.Pa,Pa；ab P,ba；ab,a,Pb,P b； b,P ,PPb答案：4.已知 l1,l2,l3 是空间三条不同的直线,则下列命题正确的是( )A.l1l2,l2l3l1l3B.l1l2,l2l3l1l3C.l1l2l3l1,l2,l3 共面D.l1,l2,l3 共点 l1,l2,l3 共面答案 B解析 当 l1l2,l2l3时,l 1 与 l3 也可能相交或异面,故 A 不正确；l 1l2,l2l3l1l3,故 B 正确；当 l1l2l3时,l 1,l2,l3 未必共面,如三棱柱的三条侧棱,故 C 不正确；l 1,l2,l3 共点时,l 1,l2,l3 未必共面,如正方体中从同一顶点出发的三条棱,故 D 不正确.
