1、12017 春高中数学 第 3 章 不等式 3.3 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题 第 2 课时 线性规划的概念课时作业 新人教 A 版必修 5基 础 巩 固一、选择题1若 x0， y0，且 x y1，则 z x y 的最大值为 ( B )导 学 号 54742770A1 B1C2 D2解析 可行域为图中 AOB，当直线 y x z 经过点 B 时， z 最小从而 z 最大 zmax1.2已知 x、 y 满足约束条件Error!，则 z2 x4 y 的最小值为 ( B )导 学 号 54742771A5 B6C10 D10解析 可行域为图中 ABC 及其内部的平面区域，当直线 y 经
2、过点x2 z4B(3，3)时， z 最小， zmin6.3(2015唐山市一模)设 x， y 满足约束条件Error!则 z3 x2 y 的最大值为( D )导 学 号 54742772A8 B92C28 D29解析 约束条件满足的区域如图阴影部分所示，目标函数 z3 x2 y 在点 A(5,7)处取得最大值 29.4若 x、 yR，且Error!，则 z x2 y 的最小值等于 ( B )导 学 号 54742773A2 B3C5 D9解析 不等式组表示的可行域如图所示：画出直线 l0： x2 y0，平行移动 l0到 l 的位置，当 l 通过点 M 时， z 取到最小值此时 M(1,1)，即
3、 zmin3.5(2015南昌市一模)设 x、 y 满足约束条件Error!，则目标函数 z x y( A )导 学 号 54742774A有最小值 2，无最大值B有最大值 3，无最小值C有最小值 2，最大值 3D既无最小值，也无最大值解析 画出不等式组Error!表示的平面区域，如下图，由 z x y，得 y x z，令 z0，画出 y x 的图象当它的平行线经过点 A(2,0)时， z 取得最小值，最小值为 2；无最大值故选 A36(2015洛阳市期末)实数 x， y 满足Error!则 z x2 y 的最小值是( A )导 学 号 54742775A1 B12C5 D1解析 不等式组表示
4、的平面区域如图所示，平移直线 x2 y0 知，当 z x2 y 经过点 A(1，1)时，取得最小值， zmin121.二、填空题7若非负变量 x、 y 满足约束条件Error!，则 x y 的最大值为 4.导 学 号 54742776解析 由题意知 x、 y 满足的约束条件Error!.画出可行域如图所示设 x y ty x t， t 表示直线在 y 轴截距，截距越大， t 越大作直线 l0： x y0，平移直线 l0，当 l0经过点 A(4,0)时， t 取最大值 4.8在平面直角坐标系 xOy 中， M 为不等式组Error!所表示的区域上一动点，则| OM|的最小值是 .2导 学 号 5
5、4742777解析 本题考查不等式组表示平面区域及点到直线距离问题4不等式组所表示平面区域如图，由图可知| OM|的最小值即 O 到直线 x y20 的距离故| OM|的最小值为 .| 2|2 29(2016全国卷文，13)设 x， y 满足约束条件Error!则 z2 x3 y5 的最小值为10. 导 学 号 54742778解析 作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示，由图知当z2 x3 y5 经过点 A(1，1)时， z 取得最小值， zmin2(1)3(1)510.三、解答题10某工厂生产甲、乙两种产品，其产量分别为 45 个与 55 个，所用原料为 A、 B 两种规格金属板，
6、每张面积分别为 2 m2与 3 m2.用 A 种规格金属板可造甲种产品 3 个，乙种产品 5 个；用 B 种规格金属板可造甲、乙两种产品各 6 个问 A、 B 两种规格金属板各取多少张，才能完成计划，并使总的用料面积最省？ 导 学 号 54742779解析 设 A、 B 两种金属板分别取 x 张、 y 张，用料面积为 z，则约束条件为Error!.目标函数 z2 x3 y.作出以上不等式组所表示的平面区域(即可行域)，如图所示5z2 x3 y 变为 y x ，得斜率为 ，在 y 轴上截距为 且随 z 变化的一族平行23 z3 23 z3直线当直线 z2 x3 y 过可行域上点 M 时，截距最小
7、， z 最小解方程组Error! ，得 M 点的坐标为(5,5)此时 zmin253525 (m 2)答：当两种金属板各取 5 张时，用料面积最省能 力 提 升一、选择题11(2015衡水中学三调)若 x， y 满足约束条件Error!目标函数 z ax2 y 仅在点(1,0)处取得最小值，则 a 的取值范围是 ( A )导 学 号 54742780A(4,2) B(1,2)C(4,0) D(2,4)解析 作出可行域如图所示，由已知可得：1 2，即4 a2.a212(2016北京理，2)若 x， y 满足Error!，则 2x y 的最大值为 ( 导 学 号 54742781C )A0 B3C
8、4 D5解析 不等式组Error!，表示的可行域如图中阴影部分所示(含边界)，6由Error! ，解得Error! 故当目标函数 z2 x y 经过点 A(1,2)时， z 取得最大值，zmax2124.故选 C13不等式组Error!表示的平面区域内的整点个数为 ( B )导 学 号 54742782A2 B3 C4 D5解析 不等式 y2 x0 表示直线 y2 x0 的右下方区域(含边界)， x2 y30表示直线 x2 y30 右上方区域(不含边界)，5 x3 y50 表示直线 5x3 y50 左下方区域，所以不等式组表示的平面区域是上述三区域的公共部分，即如图所示的 ABC区域可求得 A
9、( ， )、 B( ， )、 C( ， )，所以 ABC 区域内的点( x， y)满足35 65 511 1011 197 207 x ， y .35 197 207 1011 x、 yZ，0 x2，2 y0，且 x、 yZ.经检验，共有三个整点(0,0)，(1，1)，(2，2)二、填空题14在 ABC 中，三个顶点分别为 A(2,4)、 B(1,2)、 C(1,0)，点 P(x， y)在 ABC 的内部及其边界上运动，则 y x 的取值范围为1,3. 导 学 号 547427837解析 画出三角形区域如图，易知 kAB 1，23令 z y x，则 y x z，作出直线 l0： y x，平移直
10、线 l0，当经过点 C 时，zmin1，当经过点 B 时， zmax3，1 z3.15已知点 M、 N 是Error!所围成的平面区域内的两点，则| MN|的最大值是 .17导 学 号 54742784解析 不等式组表示的平面区域如图中的阴影部分所示，直线 x y10 与直线 x y6 垂直，直线 x1 与 y1 垂直，| MN|的最大值是| AB| 5 1 2 2 1 2 .17三、解答题16设 x、 y 满足条件Error!. 导 学 号 54742785(1)求 u x2 y2的最大值与最小值；(2)求 v 的最大值与最小值yx 5解析 满足条件的可行域如图所示(阴影部分)(1)令 x2
11、 y2 u 表示一组同心圆(圆心为点 O)，且对同一圆上的点， x2 y2的值都相等由图可知( x， y)在可行域内取值，当且仅当圆 O 过 C 点时， u 最大，过点(0,0)时， u最小由Error! ，解得Error! . C(3,8)， umax3 28 273， umin0 20 20.(2)v 表示可行域内的点( x， y)和定点 D(5,0)的连线的斜率，yx 5由图可知 kBD最大， kCD最小8由Error! ，解得Error! . B(3，3) vmax ， vmin 4. 33 5 32 83 517咖啡馆配制两种饮料，甲种饮料每杯含奶粉 9 g，咖啡 4 g，糖 3 g
12、；乙种饮料每杯含奶粉 4 g，咖啡 5 g，糖 10 g，已知每天原料的使用限额为奶粉 3 600 g，咖啡 2 000 g，糖 3 000g.如果甲种饮料每杯能获利 0.7 元，乙种饮料每杯能获利 1.2 元，每天在原料的使用限额内饮料能全部售出，若你是咖啡馆的经理，你将如何配制这两种饮料？导 学 号 54742786解析 经营咖啡馆者，应想获得最大的利润，设配制饮料甲 x 杯，饮料乙 y 杯，线性约束条件为Error!，利润 z0.7 x1.2 y，因此这是一个线性规划问题，作出可行域如图，因为 ，所以在可行域内的整数点 A(200,240)使94 810 712 310zmax0.72001.2240428(元)，即配制饮料甲 200 杯，乙 240 杯可获得最大利润
