1、12017 春高中数学 第 2 章 数列数列综合检测 新人教 A 版必修 5一、选择题(本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1(2015太原市二模)在单调递减的等比数列 an中，若 a31， a2 a4 ，则 a152( B )导 学 号 54742550A2 B4C D22 2解析 由已知得： a1q21， a1q a1q3 ，52 ， q2 q10， q 或 q2(舍)，q q3q2 52 52 12 a14.2(2016江西重点中学协作体联考)若等比数列 an的各项均为正数，且a8a13 a9a122 6，则 log2
2、a1log 2a2log 2a20 ( A )导 学 号 54742551A50 B60C100 D120解析 因为等比数列 an的各项均为正数，且 a8a13 a9a122 6，所以 2a10a112 6，即 a10a112 5.所以 log2a1log 2a2log 2a20log 2(a1a2a20)log 2(a10a11)1010log 2(a10a11)10log 22510550.3(2015新课标文，5)设 Sn是等差数列 an的前 n 项和，若 a1 a3 a53，则S5 ( A )导 学 号 54742552A5 B7C9 D11解析 a1 a3 a53 a33 a31，
3、S5 5 a35.故选 A5 a1 a524(2016广东省高三适应性测试)设 Sn为数列 an的前 n 项和，且 Sn (an1)32(nN *)，则 an ( C )导 学 号 54742553A3(3 n2 n) B3 n2 nC3 n D32 n1解析 由 Sn (an1)( nN *)可得 Sn1 (an1 1)( n2， nN *)，两式相减可得32 32an an an1 (N2， nN *)，即 an3 an1 (n2， nN *)又 a1 S1 (a11)，解得32 32 32a13，所以数列 an是以 3 为首项，3 为公比的等比数列，则 an3 n.25设 an n29
4、n10，则数列 an前 n 项和最大时 n 的值为 ( C )导 学 号 54742554A9 B10C9 或 10 D12解析 令 an0，得 n29 n100，1 n10.令 an1 0，即 n27 n180， n9.9 n10.前 9 项和等于前 10 项和，它们都最大6(2016郑州教育集团联考)设等差数列 an的前 n 项和为 Sn，若 S972，则a2 a4 a9 ( C )导 学 号 54742555A12 B18C24 D36解析 S99 a572， a58， a2 a4 a93 a112 d3( a14 d)3 a424，故选 C7(2015石家庄市二模)等比数列 an的前
5、n 项和为 Sn，已知 S3 a25 a1， a72，则 a5 ( A )导 学 号 54742556A B12 12C2 D2解析 由条件得Error!Error! Error! a5 a1q4 42 .132 128设等差数列 an的公差 d 不为 0， a19 d.若 ak是 a1与 a2k的等比中项，则 k 等于( B )导 学 号 54742557A2 B4C6 D8解析 a a1a2k，2k(8 k)2d29 d(82 k)d， k4.9(2016云南师大附中月考)等比数列 an的前 n 项和为 Sn，若S2a (a2 a4 a2n)， a1a3a58，则 a8 ( C )12 导
6、 学 号 54742558A B116 132C64 D1283解析 由等比数列 an的性质，得a1a3a5 a 8， a32.3由已知，当 n1 时， S2 a1 a2 a2， a1 a2，12 12 q2， a1 ， a8 (2) 764，故选 C10.(2016重庆巴蜀中学一诊)已12 12知各项不为 0 的等差数列 an满足 a42 a 3 a80，数列 bn是等比数列，且 b7 a7，则27b3b8b10 ( B )导 学 号 54742559A1 B8C4 D2解析 设 an的公差为 d，则由条件式可得，(a73 d)2 a 3( a7 d)0，27解得 a72 或 a70(舍去)
7、 b3b8b10 b a 8.37 3711若 an是等差数列，首项 a10， a1 007 a1 0080， a1 007a1 0080 成立的最大自然数 n 是 ( C )导 学 号 54742560A2 012 B2 013C2 014 D2 015解析 a1 007 a1 0080， a1 a2 0140， S 2 014 0，2 014 a1 a2 0142 a 1 007a1 0080， a1 0070， a1 0080，且 2(an an2 )5 an1 ，则数列 an的公比 q2. 导 学 号 54742562解析 本题考查了等比数列的通项公式 an是递增的等比数列，且 a10
8、， q1，又2( an an2 )5 an1 ，2 an2 anq25 anq， an0，2 q25 q20， q2 或 q (舍去)，12公比 q 为 2.14已知数列 an的前 n 项和为 Sn，且 Sn3 n22 n1，则数列 an的通项公式anError! .导 学 号 54742563解析 当 n1 时， a1 S14；当 n2 时， an Sn Sn1 3 n22 n13( n1)22( n1)16 n1， a14 不满足上式 anError! .15(2015银川市教学质量监测)在数列 an中， a11， a22，且an2 an1(1) n(nN *)，则 a1 a2 a5167
9、6. 导 学 号 54742564解析 利用分组求和法求解当 n 为正奇数时， an2 an0，又 a11，则所有奇数项都是 1；当 n 为正偶数时， an2 an2，又 a22，则所有偶数项是首项和公差都是 2的等差数列，所以 a1 a2 a51( a1 a3 a51)( a2 a4 a50)26 a125 a22676.2524216在如下数表中，已知每行、每列中的数都成等差数列，那么位于表中的第 n 行第n1 列的数是 n2 n.导 学 号 54742565第 1 列 第 2 列 第 3 列 第 1 行 1 2 3 第 2 行 2 4 6 第 3 行 3 6 9 解析 由题中数表，知第
10、n 行中的项分别为 n,2n,3n，组成一等差数列，设为an，则 a1 n， d2 n n n，所以 an1 n nn n2 n，即第 n 行第 n1 列的数是 n2 n.5三、解答题(本大题共 6 个小题，共 74 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17(本题满分 12 分)设等差数列 an的前 n 项和为 Sn，公比是正数的等比数列 bn的前 n 项和为 Tn，已知 a11， b13， a3 b317， T3 S312，求 an、 bn的通项公式.导 学 号 54742566解析 设 an的公差为 d， bn的公比为 q.由 a3 b317 得 12 d3 q217，由 T3 S
11、312 得 q2 q d4.由、及 q0 解得 q2， d2.故所求的通项公式为 an2 n1， bn32 n1 .18(本题满分 12 分)设数列 an的前 n 项和为 Sn，数列 Sn的前 n 项和为 Tn，满足Tn2 Sn n2， nN *.导 学 号 54742567(1)求 a1的值；(2)求数列 an的通项公式解析 (1)当 n1 时， T12 S11， T1 S1 a1，所以 a12 a11，求得 a11.(2)当 n2 时， Sn Tn Tn1 2 Sn n22 Sn1 ( n1) 22 Sn2 Sn1 2 n1， Sn2 Sn1 2 n1 Sn1 2 Sn2 n1 得 an1
12、 2 an2， an1 22( an2)，即 2( n2)an 1 2an 2求得 a123， a226，则 2，a2 2a1 2 an2是以 3 为首项，2 为公比的等比数列 an232 n1 ， an32 n1 2， nN *.19(本题满分 12 分)(2015商丘市二模)已知等差数列 an的首项 a11，公差d1，前 n 项和为 Sn， bn .1Sn导 学 号 54742568(1)求数列 bn的通项公式；(2)设数列 bn前 n 项和为 Tn，求 Tn.解析 (1) 等差数列 an中 a11，公差 d1， Sn na1 dn n 12 n2 n26 bn .2n2 n(2)bn 2
13、 ，2n2 n 2n n 1 (1n 1n 1) b1 b2 b3 bn2 112 123 134 1n n 121 12 12 13 13 14 1n 1n 12 .(11n 1) 2nn 120(本题满分 12 分)(2016全国卷理，17) Sn为等差数列 an的前 n 项和，且a11， S728.记 bnlg an，其中 x表示不超过 x 的最大整数，如0.90，lg991. 导 学 号 54742569(1)求 b1， b11， b101；(2)求数列 bn的前 1000 项和解析 (1)设 an的公差为 d，据已知有 721 d28，解得 d1.所以 an的通项公式为 an n.b
14、1lg10， b11lg111， b101lg1012.(2)因为 bnError!所以数列 bn的前 1000 项和为 1902900311893.21(本题满分 12 分)(2015北京文，16)已知等差数列 an满足a1 a210， a4 a32. 导 学 号 54742570(1)求 an的通项公式；(2)设等比数列 bn满足 b2 a3， b3 a7.问： b6与数列 an的第几项相等？解析 (1)设等差数列 an的公差为 d.因为 a4 a32，所以 d2.又因为 a1 a210，所以 2a1 d10，故 a14.所以 an42( n1)2 n2 ( n1,2，)(2)设等比数列
15、bn的公比为 q.因为 b2 a38， b3 a716，所以 q2， b14.所以 b642 61 128.由 1282 n2，得 n63.所以 b6与数列 an的第 63 项相等22(本题满分 14 分)(2015云南省检测)已知等比数列 an的前 n 项和是Sn， S18 S978. 导 学 号 547425717(1)求证： S3， S9， S6依次成等差数列；(2)a7与 a10的等差中项是否是数列 an中的项？如果是，是 an中的第几项？如果不是，请说明理由解析 (1)证明：设等比数列 an的公比为 q，若 q1，则 S1818 a1， S99 a1，S18 S92178. q1.
16、S18 (1 q18)， S9 (1 q9)， S18 S91 q9.a11 q a11 q1 q9 ，解得 q2 .78 13 S3 ， S6a1 1 q31 q 32 a11 q a1 1 q61 q .34 a11 qS9 (1 q9) .a11 q 98 a11 q S9 S3 ， S6 S9 ，38 a11 q 38 a11 q S9 S3 S3 S9. S3， S9， S6依次成等差数列(2)a7与 a10的等差中项等于 .a7 a102 14a1 18a12 a116设 a7与 a10的等差中项是数列 an中的第 n 项，则 a1(2 )n1 ，13 a116化简得(2) (2) 4 ，则 4，解得 n13.n 13 n 13 a7与 a10的等差中项是数列 an中的第 13 项
