1、12017 春高中数学 第 2 章 数列综合素质检测 新人教 B 版必修 5 (时间：120 分钟 满分 150 分)一、选择题(本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1数列 1，的一个通项公式 an是 ( B )23354759 导 学 号 27542565A an B ann2n 1 n2n 1C an D ann2n 3 n2n 3解析 解法一：当 n1 时， a11 只有选项 B 满足，故选 B解法二：数 1，的第 n 项 an的分子是 n，分母是 2n1，故选 B233547592若等比数列 an的公比 q0，且 q
2、1，又 a1a3 a5B a2 a60，且 q1，又 a10， q0， q4.故选 B2125数列 an满足 a119， an1 an3( nN )，则数列 an的前 n 项和 Sn最大时， n的值为 ( B )导 学 号 27542569A6 B7C8 D9解析 an1 an3， an1 an3( nN )，故数列 an是首项为 19，公差为3 的等差数列 an a1( n1) d193( n1)223 n.由 an223 n0，得 n0， a80， a75.2710若 an是等差数列，首项 a10， a1 007 a1 0080， a1 007a1 0080 成立的最大自然数 n 是 (
3、C )导 学 号 27542574A2 012 B2 013C2 014 D2 015解析 a1 007 a1 0080， a1 a2 0140， S 2 014 0，2 014 a1 a2 0142 a 1 007a1 0080， a1 0070， a1 0080，且 2(an an2 )5 an1 ，则数列 an的公比 q2. 导 学 号 27542577解析 an是递增的等比数列，且 a10， q1，又2( an an2 )5 an1 ，2 an2 anq25 anq， an0，2 q25 q20， q2 或 q (舍去)，公比 q 为 2.1214若等比数列 an的各项均为正数，且 a
4、10a11 a9a122e 5，则 ln a1ln a2ln a2050. 导 学 号 27542578解析 由等比数列的性质可知 a10a11 a9a122e 5a1a20e 5，于是 a1a2a20(e 5)10e 50，所以 ln a1ln a2ln a20ln( a1a2a20)ln e 5050.15若数列 an满足 a12， an1 ，则 a2 0131.1an 1 导 学 号 27542579解析 a12， an1 ， a21 ，1an 1 1a1 12a31 1， a41 2， a51 ，1a2 1a3 1a4 12数列 an的值呈周期出现，周期为 3. a2 013 a31.
5、16某地区为防洪抗旱大面积植树造林，如图，在区域( x， y)|x0， y0内植树，第 1 棵树在点 A1(0,1)，第 2 棵树在点 B1(1,1)，第 3 棵树在点 C1(1,0)，第 4 棵树在点C2(2,0)，接着按图中箭头方向，每隔一个单位种一棵树，那么第 2 016 棵树所在的点的坐5标是 (8,44). 导 学 号 27542580解析 将 OA1B1C1设为第一个正方形，种植 3 棵树，第二个正方形新种植 5 棵树，第三个正方形新种植 7 棵树，它们构成一个首项为 3、公差为 2 的等差数列，所以前 n项和 Sn3 n 2 n22 n.因为 S431 935， S442 024
6、，所以 2 0242 n n 120168，根据图象知第 2 016 棵树所在的点的坐标是(8,44)三、解答题(本大题共 6 个小题，共 74 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17(本题满分 12 分)在等差数列 an中， a1 a38，且 a4为 a2和 a9的等比中项，求数列 an的首项、公差及前 n 项和. 导 学 号 27542581解析 设该数列公差为 d，前 n 项和为 Sn.由已知，可得 2a12 d8，(a13 d)2( a1 d)(a18 d)，所以 a1 d4， d(d3 a1)0，解得 a14， d0，或 a11， d3，当 a14， d0 时， Sn4 n
7、.当 a11， d3 时， Sn .3n2 n218(本题满分 12 分)(2015四川文，16)设数列 an(n1,2,3，)的前 n 项和 Sn满足 Sn2 an a1，且 a1， a21， a3成等差数列. 导 学 号 27542582(1)求数列 an的通项公式；(2)设数列 的前 n 项和为 Tn，求 Tn.1an解析 (1)由已知 Sn2 an a1，有 an Sn Sn1 2 an2 an1 (n2)，即 an2 an1 (n2)，从而 a22 a1， a32 a24 a1.又因为 a1， a21， a3成等差数列，即 a1 a32( a21)，所以 a14 a12(2 a11)
8、，解得 a12.所以，数列 an是首项为 2，公比为 2 的等比数列6故 an2 n.(2)由(1)得 ，1an 12n所以 Tn 1 .12 122 12n121 (12)n1 12 12n19(本题满分 12 分)(2016北京文，15)已知 an是等差数列， bn是等比数列，且b23， b39， a1 b1， a14 b4.导 学 号 27542583(1)求 an的通项公式；(2)设 cn an bn，求数列 cn的前 n 项和解析 (1)等比数列 bn的公比 q 3，b3b2 93所以 b1 1， b4 b3q27.b2q设等差数列 an的公差为 d.因为 a1 b11， a14 b
9、427，所以 113 d27，即 d2.所以 an2 n1( n1,2,3，)(2)由(1)知， an2 n1， bn3 n1 ，因此 cn an bn2 n13 n1从而数列 cn的前 n 项和Sn13(2 n1)133 n1 n2 .n 1 2n 12 1 3n1 3 3n 1220(本题满分 12 分)(2015湖北理，18)设等差数列 an的公差为 d，前 n 项和为Sn，等比数列 bn的公比为 q.已知 b1 a1， b22， q d， S10100. 导 学 号 27542584(1)求数列 an， bn的通项公式；(2)当 d1 时，记 cn ，求数列 cn的前 n 项和 Tn.
10、anbn解析 (1)由题意有Error!，即 Error!，解得Error! 或Error!.故Error! 或Error!.(2)由 d1，知 an2 n1， bn2 n1 ，故 cn ，于是2n 12n 17Tn1 ，32 522 723 924 2n 12n 1Tn ，12 12 322 523 724 925 2n 12n可得Tn2 3 ，12 12 122 12n 2 2n 12n 2n 32n故 Tn6 .2n 32n 121(本题满分 12 分)(2016山东文，19)已知数列 an的前 n 项和 Sn3 n28 n， bn是等差数列，且 an bn bn1 .导 学 号 275
11、42585(1)求数列 bn的通项公式；(2)令 cn .求数列 cn的前 n 项和 Tn. an 1 n 1 bn 2 n解析 (1)由题意知，当 n2 时， an Sn Sn1 6 n5，当 n1 时， a1 S111，符合上式所以 an6 n5.设数列 bn的公差为 d.由Error! 即Error!可解得 b14， d3，所以 bn3 n1.(2)由(1)知 cn 3( n1)2 n1 . 6n 6 n 1 3n 3 n又 Tn c1 c2 cn，得 Tn322 232 3( n1)2 n1 ，2Tn322 332 4( n1)2 n2 ，两式作差，得 Tn322 22 32 42 n
12、1 ( n1)2 n2 34 ( n1)2 n2 4 1 2n1 23 n2n2所以 Tn3 n2n2 .22(本题满分 14 分)已知正项数列 an的前 n 项和为 Sn，且 an和 Sn满足：4Sn( an1) 2(n1,2,3). 导 学 号 27542586(1)求 an的通项公式；(2)设 bn ，求 bn的前 n 项和 Tn；1anan 18(3)在(2)的条件下，对任意 nN *， Tn 都成立，求整数 m 的最大值m23解析 (1)4 Sn( an1) 2，4 Sn1 ( an1 1) 2(n2)，得4(Sn Sn1 )( an1) 2( an1 1) 2.4 an( an1)
13、 2( an1 1) 2.化简得( an an1 )(an an1 2)0. an0， an an1 2( n2)由 4a1( a11) 2得 a11， an是以 1 为首项，2 为公差的等差数列 an1( n1)22 n1.(2)bn ( )1anan 1 1 2n 1 2n 1 12 12n 1 12n 1 Tn12 1 13 13 15 12n 1 12n 1 (1 ) .12 12n 1 n2n 1(3)由(2)知 Tn (1 )，12 12n 1Tn1 Tn (1 ) (1 )12 12n 3 12 12n 1 ( )0.12 12n 1 12n 3数列 Tn是递增数列 Tnmin T1 .13 ， m .m2313 233整数 m 的最大值是 7.
