1、1高中数学 第 2 章 推理与证明 2.3 数学归纳法自我小测 苏教版选修 2-21数列 1,13,135,1357，的一个通项公式为_2用数学归纳法证明不等式 2n n2成立时， n 应取的第一个值为_3用数学归纳法证明不等式 n314 n1 时， n 所取的第一个值 n0为_4用数学归纳法证明“1 n(nN *，且 n1)”时，由n k(k1)不等式成立，推证 n k1 时，左边应增加的项数是_5凸 n 边形有 f(n)条对角线，则凸 n1 边形的对角线条数 f(n1)与 f(n)之间的关系为6用数学归纳法证明 2n1 n2 n2( nN)时，第一步的验证为_7已知 x1 且 x0， nN
2、 *，且 n2，求证：(1 x)n1 nx.8用数学归纳法证明：15913(4 n3)2 n2 n.9求证： an1 ( a1) 2n1 能被 a2 a1 整除， nN *.10已知函数 (x0)设数列 an满足 a11， an1 f(an)，数列 bn3f满足 bn| an |，用数学归纳法证明 .1(3)2nb2参考答案1 答案： n22 答案：53 答案：24 答案：2 k 解析：增加的项数为(2 k1 1)(2 k1)2 k.5 答案： f(n1) f(n) n1 解析：如图，设凸 n1 边形为 A1A2AnAn1 ，连结A1An，则凸 n1 边形的对角线是由凸 n 边形 A1A2An
3、的对角线加上 A1An，再加上从 An1 点出发的 n2 条对角线，即 f(n1) f(n)1 n2 f(n) n1.6 答案：当 n0 时，2 01 20 2022，结论成立7 答案：证明：(1)当 n2 时，左边(1 x)212 x x2， x0，12 x x212 x.左边右边，不等式成立.(2)假设当 n k 时，不等式成立，即(1 x)k1 kx 成立，则当 n k1 时，左边(1 x)k1 (1 x)k(1 x). x1，1 x0.(1 x)k(1 x)(1 kx)(1 x)1( k1) x kx2. x0，1( k1) x kx21( k1) x.(1 x)k1 1( k1) x
4、 成立，即当 n k1 时不等式成立.由(1)(2)可知，不等式对于所有的 n2 的正整数都成立.8 答案：证明：(1)当 n1 时，左边1，右边1，命题成立.(2)假设 n k(k1)时，命题成立，即 15913(4 k3)2 k2 k.则当 n k1 时，15913(4 k3)(4 k1)2 k2 k(4 k1)2 k23 k12( k1) 2( k1).当 n k1 时，命题成立.3综上所述，原命题成立.9 答案：证明：(1)当 n1 时， a11 ( a1) 211 a2 a1，命题显然成立.(2)假设 n k 时， ak1 ( a1) 2k1 能被 a2 a1 整除，则当 n k1
5、时，ak2 ( a1) 2k1 aak1 ( a1) 2(a1) 2k1 aak1 ( a1) 2k1 ( a1) 2(a1) 2k1 a(a1) 2k1 aak1 ( a1) 2k1 ( a2 a1)( a1) 2k1 .由归纳假设知，上式中的两部分均能被 a2 a1 整除，故 n k1 时命题成立.根据(1)(2)知，对任意 nN*，命题成立.10 答案：证明：当 x0 时， f(x)1 1.因为 a11，所以 an1( nN*).下面用数学归纳法证明不等式 .1(3)2nb(1)当 n1 时， b1 1，不等式成立.3(2)假设当 n k(k1)时，不等式成立，即 ，1)2kk那么 bk1 | ak1 | .3 1(1)|3|1(3)2kkkab所以，当 n k1 时，不等式也成立.根据(1)和(2)，可知不等式对任意 nN*都成立.
